2011届高三数学综合题汇总

1、2011 届高三数学综合题一、填空题：n 1将函数 y= sinx 的图像上所有的 2 倍(纵坐标不变)，10所得图像的函数解析式是2已知正四棱柱的底面边长为 2,高为 3,则该正四棱柱的外接球的表面积为3. 如图在 ABC 中，/ BAC =, AB = 1, AC = 2, D 为 BC 边上一点 DC= 2BD，贝 U AD- BC=.4. 已知函数 f(x) = 2cos2x+ sin2x 4cosx, x R,则函数 f(x)的 最大值为.2log(x+1)x,05.已知函数 f(x)= 若 f(3 2a)f(a)，贝U实数 a 的取值范围是.1 & 1 xv0. 2x6.已

2、知一个底面为正方形的长方体容器，若下底面和四个侧面的面积和27,则当容器的容积最大时，底面边长的值为 _.二、解答题：1nn7已知函数 f(x) = (1 + 2x+ msin(x+)sin(x . tanx44n30)的左、右焦点分别为 F1、F2,且椭圆上存在一点 P 满足 PF1PF2= 1. m+ 1m(1)求椭圆离心率 e 的取值范围；(2)若直线 PF2 与椭圆的右准线 I 相交于点 Q,且 PF2= 2F2Q，求直线 PF2 的方程.15. 在平面直角坐标系 xOy 中，A (2a, 0)，B (a, 0)，a 为非零常数，动点 P 满足 PA=2PB，记点 P 的轨迹曲线为 C

3、.(1)求曲线 C 的方程； (2)曲线 C 上不同两点 Q (x1, y1), R (x2, y2)满足 AR =入 AQ 点 S 为 R 关于 x 轴的对称点.1试用入表示 x1 , x2，并求入的取值范围；2当入变化时，x 轴上是否存在定点 T,使 S, T, Q 三点共线，证明你的结论.16. 已知an的前 6 项是公差不为零的等差数列，从第 5 项起是等比数列，a22+ a32=a52+ a62, S7= 1.(1) 求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn；(2) 试求所有的正整数 m,使得 am+ am+ 1 + am+ 2= amam+ 1am+ 2 成立.17. 已知数列an

4、的通项公式是 an= 2n1,数列bn是等差数列，令集合 A =a1 , a2, , , an, , , B = b1 , b2, , , bn, ,n N* .将集合 AUB 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为 cn.(1)若 cn = n, n N*，求数列bn的通项公式；cn+15 (2)若 APB=，且数列cn的前 5 项成等比数列，c1= 1, c9= 8,求满 足的正整数 n 的个数.cn418. 已知 a R,函数 f(x) = x2(x a).(1)求函数 f(x)在区间1, 2上的最小值 h(a)；1 (2)对(1)中的 h(a),若关于 a 的方程 h(a)= k(

5、a 有两个不同的实数解，求实 数 k 的取值范围；2(3) 若点 A(a1, h(a1), B(a2, h(a2), C(a3, h(a3)从左到右依次是函数 y = h(a)图象上三点，且这三点不共线，求证： ABC是钝角三角形.19. 已知函数 f(x) = (x 1)2, g(x) = alnx.(1)若两曲线 y= f(x) , y= g(x)在 x= 2 处的切线互相垂直，求 a 的值，并判断函 数F(x) = f(x) g(x)的单调性并写出其单调区间；1 (2)若函数 (xaf(x) + (x)的图象与直线 y = x 至少有一个交点，求实数 a 的 取值范围；a(3)证明对任意

6、的 n N*，都有 ln(1 + n)i = 1n i 1 成立.i届高三数学综合题Ir*匚椿函 SfcjMsm 工 的图傢上所苒的朋右平庁茬功器十单也.长减 再把所得各点的境峑 Iff 申士到腹 来的 2倍(纵峑标不变 h 所溝圈慷削函鳌解析式是【窖案】产 SM 译-剂*【说明】三毎函歡中的图慷赛换 I 可题.奧池穿少*注屋复习中的盲点.对此类问.題.靈拄廉它的变化，6D/-smjr /=raKjt-lU 的关系帶，+2,_已如正四檢拄的展面边檢为 2,鬲拘则潼正四撞注的外播拔的表面积为_.【答簾】17 【逡明】正四愫柱的外遇瑾的自诠扯是正凹怦柱椚対箱技，3.如图AABC中，BAC2T, A

7、B=i. AC=2. D BC诅上一点应三 2 施则兀斎【苔靈】j.【说朋】本題汝及利用基底来表.亍向重.向运 JI 利识.*选择一拠樹氣把舟卡向蚩出呈底表肌性后迸行运謝*变丸 若劉牛改为越咸阿帚 5?的取値范围対_+ *答簾】(一 2, 5. +4.已知函数申尸2cgit+$nA4esn rRT则函皴冲 0 的最犬值为.小【答簾】6.丿解决与几何囲形有关的向量 1 可題通常用有两种施 a(说頭】辽种粪型的血恿婭过化閒+常常轉化対爾秒黑式，一是貳血)的影点升事)，另一臺 沖呎讥+对的形式同时应注意 r 旳范啟logZ-k) Q05.已知函数金尸11_ 若人 32 巧刁 2)则歿 a 的取值范围

8、乞 a(护-1x0.【答寨】(lP)U(8|). 2【说明】要思考何题的本质杲什么？本题实际殳彰査函数的血调性.在解決函数间西时.要吾于观(2)在XBD 中.由余弦定理可得，砂=卩+22 2XlX2Xcosa=5-4cosa.XTXT- -x-3x-3四边形肋 CD 面枳黑 t 巖大而积为 245V34 9在三棱维 F-QC 中，M 丄平 ffiXBC. 2（1）AB=AC=PA=2.E. F 分别天 A梭肋 PC 的中点.求绕段肋的长 a(2)求证：“/PBC=90的充密条件-是“平而PBC丄平而PAB. *(2)先证明整性即先证明命题“若 ZPBC=90%则平面 PBC 丄平面为真命题.卩

9、因为 7M 丄平面所以以丄 BC.卩又因为 ZPBC=90%即皿丄 B7MCPB=P,所以 EC 丄平而/MB 又因九 EC 匕平而PBC.所以平面 PBC 丄平而 Mb 亠再证明充分性 BP 先证明命題“若平而 PBUL 平面刊 b 则乙 PBC=9Q。/为真命理 2在平PAB内.过力作AD1BC.D 为垂足“因为平面 PBC 丄平 ffi W. PBCHWPAB=PBy（3）样本中成绩在 80-90 之间有 2 人，役其绢号为Oh 样本中成绩在 9（M00 之间有 4 人.从上述 6 人中任取 2 人的所有选取可能为，.，0, (ZXS),(2Xi0i,(3)i故从样本中趣在 80700

10、之间任选 2 人所有可能绪舉數为 15 至少岂 1 人成集在 810 之可能结果数为 9.因此.所求槪率为力=0 6【说朋】本西考查预数.倾率及频率分布宜方图.肴査运用统计知识解決简单实际6 題的絶力.数 据处理住力和运用意识.第1间根舷修3 M 82 15 12題改煤.咎査用样本平均数怙计总体 平均数，曲一组中并没有组中详细數咼 爱求学生紇用毎组的中间值作瞽代.此 J 可需整一定 的运：須 2 间根据必像 3 茅 91 页例 2 改编.考査学生对统计、我率的认识.统计是分忻 历史的截率是预测末来频率忌紙率的近似值.槪牽忌频率的稳定值，第 3 间考查学生解决古典 It 率问題的能九 根据必倏

11、3 第 X 页例】改缩.a2.古罗马皇帝的女儿吉冬逃难到非洲.歆在海边购买“TK 鲁皮”的土地.处把一张善皮剪成了细条.结成一条长度为/的长绸.脱明的吉冬选择了如图所示的半 9 形陆地人 OB.AAOB构成角&P、Q 分别为长绳的两个嫌点.P 在 0*上.。在 C上.长绸与潯岸线 Q4、0B 所EB 住的土地即为其所有.（1）当 P、。处于什么位直时，所匣住的三角形土地 POQ 而积巖大？ （2）已知 P、Q 两点位确定（IPQVB 若点 M 是角 8 内一点当 M 处于什么位踊.所圉住的四边形土地 POQW 面枳聂肝 （1）设OP=x OQ=y 由余狂定理得卩=+护一亦OMM20 2

12、0COS8. /所以“所以 4 如 sm8W佬爲当且仅当 刊 时时号，此时 F设具编号刁BSP0P=购买的三角形土地殴面积最大1.5（2）对确定的两点 P、Q.面枳确定.只需求出叱面积的巖大值 2方法 h 在阳 2 中.PM+Qfif=l.故点 M 在以 P、。为焦点的楠圆上.2由椭圆的几何性质可知当 M 是析豳轴的一个靖点时加。而积的叢大，此时加 0 为 等腹三角形.即“到只 Q 的距离都嗣四边形戶妙而积最大.方法 2在阳 2 中.设PMFQM=y9乙 PMQ=d 则由余弦定理得卫+尸一为（:（1=吃，所以a+-P0=F-P0=NX“co$o又 WQ 面积 5=jysmo.(Z嘶，警虽护它关

13、干 cosa 单调權.*由 P-P0=2g5桎坯 a=2. 在平更啦琛I主标炙命尸的走九泌曲绘、0解：（1）设等差數列的公差为 4 氐 0）.丿由狞+&=3化简緡&如+玄）=0,因为金 5 所以彳+远 0, O所以 as=a】+4J=d,&=6+5d=2d,卩因为从第 5 项超是等比数列，所以=4d. 6X5由 &=b 猬 6G+-d+4d=h解由S 姐成的方程组.得= 341. a触城列血的通项公式为韵;：鹰前”项和 sj 笔 M 心 3 -7. ”M5.（2）经计垃当加 W4 时仅有 W!=l 和巾=3 时，等式aw+aw|+条.证明如下a4 血2 一（+呂

14、 l+t%. 2）=P XTX2 -（2ws+p +23）=?22因为 m5t 所以 2770 所以.g 2 + 1+% . 2所以仅有巾=13 时等式条+条】+% 2=a条心 2 成立.a7.已知数列（/的通项公武是编=产数列罡等差敷列.令篥合人=（6 g -） =（bi. g 心-） nGN将篥合AUB中的元素拎从小到大的顺序様列构成的数列记 为（。）丿若 o =m nNS 求数列的通项公式，卩（2）若ACB=0.且数列（cj 的前 5 项成手比数列门=1“=&求満聘的正屋数”的 个載.解，(1) c=3WR所以数列(以)的公差为 1. u当加=1 时当bi=2时.bt=n+1当加

15、=3 时&=”+2(2)因为AfB=09c】=a】=h e=e=& a故數列)中的前 5 项解在数列的前 9 项中 a当 c?=2 时，=&不&题劇舎去.卩当门=2 时c=bi=fi“=切=2/5=5=3 可“=加=4 出.“=bs=M。 =8co6y/2f符合条件.2当 c=2 时.S=G=“L4=c=茁.S=“=顷.bi.S 不是等差数列.不合题意.卩当$=2 时同理不合题克.综上.a.=2山b.=N*经计给 当”W8 时.(5 n= b 2. 3. 4 6 时.弓録立.以下证明，当心 9 时. 4(D e.=2w(加 M3)时.则戶斯 V“V(k+l/LC

16、.!=(*+1/2.且&5.卩 所吟需十古，2O=wrJ5 (m6)时，则c* 】=(+1)75, RrlUr1 +*4* 综上.可知满足竽 A?的正整数力的个数为 5.卩5 418.已知 aWR.函数 XQ=xAQr-a)(1)求函数 XQ 在区间1, 2上的豪小值(2)对(1)中的垃)若关于 a 的方程Ka)=K卄新两个不同的实数幕 求实数 k 的取值范 ffi：(3)若点*(知力(g).畑应莎瓜 6)从左至佑依次是函数尸风 a)ffi 象上三点且这 三点不共线.求证，4ABC 是钝角三角形.2解 I (1)因为幷 0=%小 所以/(x)=3Q如=盹一筝令/(x)=0.r=O3c

17、x=y. a1gX 茅 RPOyl则当 W2 时所以 Q 区间2上是増函如“所以Ka)=M=-a. a2g 扌 WaV3即 1W#V2 时.则当 lrjW. /幺)0当 yQ.卩所以刘在区间(1.爭上是减闕.在区间性 2上是增函数.所以呦亍燈=一务3若 Q3BPy2.则当 W2 时/a)W0区间h 2上是减函数.所以心)=晋)=84a*1a. a(?!)?=(aj血力(6)一力(aa)所以刼必=(6加一)+虫 6)/(G)PG)力)因为如亍 10th(i)h(aj)Ot 加)一 b(G)V0a所以衣 5?V0又儿B.C 三点不共线.所以 ZBW 寻 O PP府 C 呈钝角三角形.【说明】本題以

18、三次函皴为背衆.第一 I 可话董令査了利用导救研顽区间上函紋的廉值问题.同时考亘了分粪讨谊的数学方法，其中处理给定的区頂)1，2与含有 0,鼬动区间的分驹可趣址 本题的蘆庶.第二 1 可希重君査了方程与函数的关系，矜査了利用数形结合数学方法研究方程解 的一股方法.第三间考査利用单调甌上可构成三角形一定为钝角三角形的间題同时考査用向 积判折角的范輙识.19.已知函数XQ=(TT*g(r)-a!nr. (1)若两y=M，严 gx在 x=2 处的切拔互栢垂亘，求 a 的值并判断函数尺 Q=XR-g(x) 的单调性并写出其单调区頂 L 综上所述.函数人 0 在区间1.刀上的叢小值为-寺扣o力(6)0).卩可得7=)的图像与(2)若函数贰尸就卩+気厲的图象与直线至少有一个交点.求实数 a 的取值范團n(3)证明对任意的 new.都有臥 1+力)工弓成立.a匸 1*1Wt (t)由題意得尸(2)烈 2)= 2号=一 1删 a=-h 2所以函数 Xx)为増函数.单调増区间为(0, +8). 2(2) )=)-*x)=d(x-l+lnr.令 h(x)=Kx)-r=d(r-l)2+lnr-x. 2由懸倉鶴方程笊 Q=0 左区/敢 0+)上至少有一解. 因为)=心-仪- 1=(如_严-久令力=0 杓=占X