高中数学所有公式非常有用

1、x A x2 .德摩根公式 CU(AI B)3 .包含关系4 .集合a1,a2 ,L 非空子集有2n -CUA, x CU Ax A.高中数学常用公式及常用结论1.元素与集合的关系CU AUCUB;CU(AU B) CU AI CUB .,an的子集个数共有2n个；真子集有2n - 1个;1个；非空的真子集有2n -2个.5.二次函数的解析式的三种形式2 axa(x a(x(1) 一般式 f (x)(2)顶点式f (x)(3)零点式f (x) bx c(a 0);h)2 k(a 0);Xi)(x x2)(a0).6 .闭区间上的二次函数的 最值二次函数f (x) ax2 bx c(a 0)在闭

2、区间p, q上的最值只能在x上处及2a区间的两端点处取得，具体如下:a>0bx 2ap,qf(x)minf(f (x)max maxb、),f(x)max2af(p), f(q),max f (p), f (q)b2ap,q ，f (X)min min f(p), f(q).当a<°时,若x2ap,q ,则 f (x)minminf(p), f(q),f (x)min min f(p), f (q).若 x 2a p,q,则 f(x)max max f(p),f(q),7 .定区间上含参数的二次不等式包成立的条件依据(1)在给定区间 条件是f(X,t)min(2)在给定区

3、间 条件是f(x,t)man上含参数的二次不等式f(x,t)0(x L)上含参数的二次不等式f(x,t)0(xL).0( t为参数)包成立的充要0( t为参数)包成立的充要 f(x) ax4 bx2 c0包成立的充要条件是a 02-b 4ac 08.四种命题的相互关系一否否命题若非p贝U非q互逆9.充要条件否逆否命题 若非q贝J非p(1)充分条件：若p q ,则p是q充分条件.(2)必要条件：若q p,则p是q必要条件.(3)充要条件：若p q,且q p,则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然10.函数的单调性(1)设 x1 x2 a,b,x1 x2 那么(X

4、i x2)f (xi) f(x2)0(xi x2)f(x1) f(x2)0f(xi)f(x2)xi x2f(xi) f(x2)xi x2f (x)在a,b上是增函数;f (x)在a, b上是减函数.设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f (x)0 ,则f (x)为增函数；如果f (x) 0,则f (x)为减函数.11 .奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关 于y轴对称，那么这个函数是偶函数.12 .对于函数y f (x) ( x R), f (x a) f (b x)包成立，则

5、函数f (x)的对称轴 是函数x S;两个函数y f(x a)与y f(b x)的图象关于直线x b22对称.13 .两个函数图象的对称性(i)函数y f(x)与函数y f ( x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称.(2)函数y f (mx a)与函数y f (b mx)的图象关于直线x ab对称.2m(3)函数y f (x)和y f i(x)的图象关于直线y=x对称.14 .若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f (x a) b 的图象；若将曲线f (x, y) 0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x a, y b) 0 的图象.15 .几个常见的函数方程(i)

6、正比例函数 f (x) cx, f(x y) f (x) f(y), f(i) c.(2)指数函数 f(x) ax, f(x y) f (x) f (y), f (i) a 0 .(3)对数函数 f(x) logax, f(xy)f (x) f (y), f (a) i(a 0,a i).(4)幕函数 f (x) x , f (xy) f(x)f (y), f (i)16 .有理指数幕的运算性质 ar as ar s(a 0,r,s Q).(ar)s ars(a 0,r,s Q).(3) (ab)r arbr(a 0,b 0, r Q).注：若a>0, p是一个无理数，则ap表示一个确定

7、的实数.上述有理指数 幕的运算性质，对于无理数指数幕都适用.17 .指数式与对数式的互化式loga N b ab N (a 0,a 1,N0).18 .对数的换底公式log a N 10gm N ( a 0,且 a 1, m 0,且 m 1, N 0).log ma推论 logambn logab(a 0,且 a 1, m, n 0,且 m 1, n 1, N 0).m19 .对数的四则运算法则若 a>0, aw1, g0, N>0,则(1) l0ga(MN) loga M loga N ； loga M loga M log a N ；N(3) log a M n nloga M

8、 (n R).20 .等差数列的通项公式*、an a1 (n 1)d dn a1 d(n N )；其前n项和公式为d 2 /1 小-n (a1 -d)n.2221.等比数列的通项公式n 1 a1 n*、an aq q (n N );q其前n项的和公式为22 .常见三角不等式(1)若 x (0,一)，贝 Usinx x tanx .2(2)若 x (0,),则 1 sin x cosx 金.2(3) |sin x | | cosx | 1.23 .同角三角函数的基本关系式.22.sinsin cos 1 , tan = , tan cot 1.cos24 .正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变符号看象

9、限25 .和角与差角公式sin( ) sin cos cos sin ;cos( ) cos cos msin sin ;a sin bcos =va2b2 sin( )(辅助角所在象BM由点(a, b)的象限决定，tan b). a26 .二倍角公式sin2cos2tan 2sin cos .22cos sin2tan2.1 tan2cos211 2sin 227 .三角函数的周期公式为常数,函数 y sin( x ) , xeR及函数y cos( x ) , x C R(A, 2且Aw0,>0)的周期T 一 ；函数 y tan( x ), x k,k Z(A,， 为常数，且 Aw 0

10、, > 0)2的周期T -.28 .正弦定理？3 2上 2R. (R是外接圆的半径)sin A sin B sin C29.余弦定理222abc 2bccosA;b2 c2 a2 2cacosB;22,2cab 2abcosC .30.面积定理(1) S(2) Srha111-bhb -chc (ha、hb、hc分别表小a、b、c边上的局). 22-absin C 21一 bcsin A21casin B.231.三角形内角和定理 在ABC,有 AC _ A B 222(A B)2C2(A B).32 .向量的数量积的运算律：(1) a b=b a (交换律)；a - b=a ( b);

11、(2) ( a) b= (a b)=(3) (a+b) - c=a - c+b - c.33 .平面向量基本定理？如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任向量，有且只有一对实数入1、入2,使得a=入1 e1+入2e2.不共线的向量e、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.34 . a与b的数量积(或内积)a - b=| a| b|cos 0 .数量积a - b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影 | b|cos 0的乘积.35 .平面向量的坐标运算(1)设 a=(xi,yi), b=(X2,y2),则 a+b=(x1 X2,y y2).(2)设 a=(xi

12、,yi), b=(X2,y2),则 a-b=(x1 X2, yi y2).uur unr uuu设 A(xi,yi), Bd.),则 AB OB OA d xl %).(4)设 a=(x,y), R ,则 a=( x, y).(5)设 a=(xi, yi) , b=(x2, y)，则 a b=(xx2 y).36 .两向量的夹角公式22yiy2(a=(xi, yi), b=(x2, y2).37 .平面两点间的距离公式 uuu uuu uur dA,B = | AB| Jab ABJ(x2 xi)2 (y2y5T(A (xi, yi), B(x2, 丫2).38 .向量的平行与垂直设 a=(x

13、i,yi), b=(x2,y2),且 b 0,则a| b b=入 a x1 y2 x2yi 0 .a b(a 0) a , b=0x1x2 y1y2 0.39 .线段的定比分点公式？uurPP2 ，uur设P(xi,yi), P2(x2,y2), P(x,y)是线段PB的分点，是实数，且PP 则uur uur uuur iOP tOP1 (1 t)OP2 (t ).140 .三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为A(xi，yi)、BWz%)、C%>3),则ABC勺重心的坐标是G(x1 x2 x3 3。为ABC的重心41.点的平移公式'.'x x hx xyy ky

14、 yyiy2uuuOA3ur%.uurOB OCuuur uurOP OPr 0.uuuPP .注：图形F上的任意一点P(x, y)在平移后图形F'上的对应点为P'(x,yj, uuu且PP的坐标为(h,k).42 .“按向量平移”的几个结论(1)点P(x, y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x h, y k).(2)函数y f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C的函数 解析式为y f(x h) k.(3)图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y f(x)UC 的函数解析式为y f (x h) k .(4)曲线C:

15、 f(x,y) 0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f (x h, y k) 0.(5)向量n=(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到的向量仍然为 m=(x, y).43 .常用不等式：(1) a,b Ra2 b2 2ab(当且仅当 a= b 时取“=”号).(2) a,b R 土上 JOb(当且仅当a=b时取“=”号).2333(3) abc3abc(a0, b0,c 0).(4)柯西不等式：(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2,a,b,c,dR.5 5)abab ab .44 .最值定理(积定和最小)已知x,y都是正数，则有(1)若积xy是定值p ,则当x

16、y时和x y有最小值2m ;(2)若和x y是定值s,则当x y时积xy有最大值1 s2.4推广已知x, y R,则有(x y)2 (x y)2 2xy(1)若积xy是定值，则当|x y|最大时，|x y|最大；当|x 丫|最小时，除y|最小.(2)若和| x y |是定值,则当| x y |最大时，|xy |最小;当|x y |最小时，|xy|最大.45 .指数不等式与对数不等式(1)当a 1时，af(x)ag(x) f (x) g(x);f(x) 0logaf(x) logag(x) g(x) 0.f(x) g(x)当0 a 1时，g(x);f (x) g(x)a a f (x)46 .斜

17、率公式k y""1 ( PM)、F2(x2,y2).x2 x147 .直线的五种方程(1)点斜式y y k(x x1)(直线l过点RM, y1)，且斜率为k).(2)斜截式y kx b(b为直线l在y轴上的截距).(3)两点式-y一y-x(y1y2)(R(x, y1)、Pzd,y2)(x1x?).y2 yx2 x1(4)截距式二y 1( a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0) a b(5) 一般式Ax By C 0(其中A、B不同时为0).48 .两条直线的平行和垂直若 I1 : y kx b1 , I2: y k2x b2 I1III2k1 k2,bi b2； 11

18、I2k*21.49 . li至心2的倒角公式50. Ax卜2 ki(1) tan 2-.1 k2 kl(I1 : y kx b1 , I2: y k?x b2, kk2 两种常用直线系方程平行直线系方程：与直线AxBy 0(0),人是参变量.1)By C 0平行的直线系方程是0(AW0, Bw0)垂直的直线系方垂直直线系方程：与直线Ax By C程是Bx Ay 0,人是参变量.51 .点到直线的距离d | Ax°By、0(点 P(x°, y°),直线 1 : Ax By C 0).A2 B252 . Ax By C 0或 0所表示的平面区域设直线1: Ax By

19、C 0,则Ax By C 0或0所表示的平面区域是：(1)若B 0,当B与Ax By C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与 Ax By C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.(2)若B 0,当A与Ax By C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与 Ax By C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.53 .圆的四种方程(1)圆的标准方程(2)圆的一般方程(3)圆的参数方程(4)圆的直径式方:22(x a)(y b)22xyDx Eyx a r cos.y b r sin1 (x x1 )(x x2)2r .F 0( D2 E2 4F >

20、0).(y y1)(y y) 0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、 B( x2, y2).54 .直线与圆的位置关系直线Ax By Cd d d其中dr相离r相切r相交0与圆(x a)2 (y0；0；0.b)2 r2的位置关系有三种Aa Bb C2255.椭圆与乌1(a a2b222椭圆与 4 1(a ba2b22 a PF1I e(x -), cb 0)的参数方程是0)焦半径公式2aPF2e(- x).cx a cos y bsin椭圆的的内外部x2(1)点P(x0, y°)在椭圆 a2(2)点P(x0, y°)在椭圆二 a211(a b 0)的内部 b2t 1(a b

21、 0)的外部 b22 X0a2 X0a2 y0 b22 ya b7256.双曲线与 a23 1(a b20,b 0)的焦半径公式aPF1 |e(x )|,c2 a PF2 |e(一x)|.双曲线的内外部2(1)点P(x0, y0)在双曲线一2 a x2(2)点P(x0,y0)在双曲线一 a双曲线的方程与渐近线方程的关系1(a0,b0)的内部b21(a0,b0)的外部2 x0a2 包ay2 b22 y。 b21.2(1)若双曲线方程为三 a(2)若渐近线方程为2 y b2bx a渐近线方程：三a2 y b2-0 双曲线可设为 by2 y_ b12 y b21有公共渐近线，可设为2 x-2 a2

22、y b20,焦点在轴上， 0,焦点在y轴上).57.抛物线y2 2 px的焦半径公式抛物线y2 2px(p 0)焦半径过焦点弦长CDx1 x22CFX0X1x2 P .58.直线与圆锥曲线相交的 弦长公式(弦端点 A(x1，y1), B(X2, y?),由方程y得到2ax bx c 0 ,0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率)59 .证明直线与直线的平行 的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行；(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.证明直线与平面的平行 的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行；(3)

23、转化为面面平行.证明平面与平面平行 的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.证明直线与直线的垂直 的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.证明直线与平面垂直 的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 证明 平面与平面的垂直 的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直.60

24、.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的 平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量 .61 .共线向量定理对空间任意两个向量P、A、B三点共线 uuu uuua、b(bw0) , a / b 存在实数入使 a= X b.uuu uuuuuiruuu uurAP| AB AP tAB OP (1 t)OA tOB .AB|CD AB、CD共线且AR CD不共线 AB tCD且AR CD不共线.uuu uuur62 .共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使p ax by .推论:空间一点P位于平

25、面MA时的存在有序实数对x, y ,使uuuruuruuurMP xMA yMB ,或对空间任一定点 O,有序实数对x, y,使uur uuur uuur uuurOP OM xMA yMB . uur uuu uuu uuur63 .对空间任一点。和不共线的三点 A、B、C,满足OP xOA yOB zOC(x y z k),则当k 1时，对于空间任一点O ,总有P、A B C四点共面；当k 1时，若O 平面ABC则P、A、B、C四点共面；若。平面ABC则 P、A、B、C四点不共面.uuur uuu uuuuur uuruurA、B、C、D 四点共面 AD与 AB、AC 共面ADxAByAC

26、uuuuuu uuuuuurOD (1 x y)OA xOB yOC ( O 平面 ABC .64 .空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有P,都存在唯一的三序实数组 x, y, z,使 p = xa+yb+zc.推论设Q A、B、C是不共面的四点？则对空间任一点 uur uuu uuu uuur个有序实数x, y, z,使OP xOA yOB zOC .65 .向量的直角坐标运算设 a= (a1, a?©) , b= (bib,4)则 a + b = (a1。住 b2, a3 b3)； ab=(a1 bi,a2 b2,a3 b3);(

27、3)入 a= ( ai, a2, a3)(入 CR)；(4)ab=aiBa2b2 a3b3;设 A(xi, yi,zi) , B(X2,y2,Z2),则 uuu uur uuu AB OB OA = (X2 Xi, y2 yi,Z2 zi).66 .空间的线线平行或垂直 rr-X2y2 ;Z2设a (x,y1,4)，b 区芈工),则Xi rr rra| b ab(b 0)y1Zi rrr raba b0 xX2y1y2ZiZ20.67 .夹角公式设 a= (ai, a?®) , b= (bib,4),则cosa, b> = .a2a,a2b2a3b32a2推论(a1bl a2b

28、2 a3b3)2a；、b2 b2 b2（ai2 a； a2）（bi2 bf b；）,此即三维柯西不等式.68 .异面直线所成角 r r=ra bj|底 y1y2 g |lai IblXi2 yi2 Zi2 - X22 y22 Z22r r（其中 （0°90°）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方 向向量)69 .直线AB与平面所成角unr ituarc sin 1AB m ( m 为平面 的法向量).|AB|m|70.二面角 l 的平面角it rit rm n 2m n /1r r的法向量）arc cos-u-或arc costr-r- ( m , n

29、为十闻 ,|m|n|m|n|71 .空间两点间的距离公式若 A(Xi,yi,Zi), B(X2, y2,Z2),则uuu uuu uur 22dA,B 二 | AB| AB AB ,(X, x)0 Yi)亿乙).72 .点Q到直线l距离i uuuh V(|a|b|)2 (ab)2(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA ,向量 |a|uuurb=PQ).73 .异面直线间的距离uuir uud |CD n|（li,l2是两异面直线，其公垂向量为；,C、D分别是li,l2上任 |n|点，d为li2间的距离）.74 .点B到平面的距离uuu urd |AB n|（1为平面的法向量，AB是经过面的

30、一条斜线，A ）. |n|75 .异面直线上两点距离公式，d . h2 m2 n2 2mncos Ea',AF .（两条异面直线a、b所成的角为8,其公垂线段 AA的长度为h.在直线a、b上Z X tt t -r-r" . -n-* 1分别取两点 E、F, A E m, AF n , EF d ）.76 .三个向量和的平方公式77 .面积射影定理cos（平面多边形及其射影的面积分别是 S、S',它们所在平面所成锐二面角的为 ）.78 .欧拉定理（欧拉公式）V F E 2（简单多面体的顶点数 V、棱数E和面数F）.（1） E*面多边形边数和的一半.特别地，若每个面白勺边

31、数片 n的多边形，则面 1数F与棱数E的关系：E -nF;2（2）若每个顶点引出的棱数为 m,则顶点数V与棱数E的关系：E -mV.279.球的半径是R,则其体积V 4 R3,3其表面积S 4 R2 .1V锥体Sh（ S是锥体的底面积、h是锥体的局）.80 .组合数公式m_ Am _n(n 1) (n m 1) _Cn-Amm! (n m)!(nCM, m N,且 m n).性质：(1)Cm=C：m； (2) Cm+cnm1=Cm1.注:规定c； c；cnc2Cn 2n.81 .n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率82 .离散型随机变量的分布列的两个性质（1） P 0（i 1,2,L ）;（2） P1 P2 L 1 .83 .数学期望数学期望的性质：(1) E(a b) aE( ) b.qk 1p ,则 E 1. p2Xn Epn L(2)若B(n,p),则 E np.(3)若 服从几何分布，且P( k)g(k, p)2284 .万差 Dx1 Ep1x2Ep2 L标准差 =.D .方差的性质:(1) D a ba2D ；(2)若B(n, p),则 D np(1