高二数学选择性必修二同步练习与答案解析（基础训练）

高二数学选择性必修二同步练习《4.1数列的概念》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．数列的一个通项公式是（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．数列中不能重复出现同一个数B．与是同一数列C．不是数列D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同3．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项4．若数列{an}的通项公式为an＝n(n－2)，其中n∈N*，则a6＝（）A．8 B．15 C．24 D．355．下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可以表示为B．数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列C．数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D．数列的项数一定是无限的6．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（）A． B．C． D．7．已知数列的前项和，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．108．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）第1行1第2行23第3行4567……A．132 B．261 C．262 D．5179．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（）A．1，0，1，0 B．0，1，0，1C． D．2，0，2，010．在数列中，，，则的值为（）A． B． C． D．以上都不对二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．数列的一个通项公式是___________12．已知数列中，…，则__________．13．已知数列的前项和，则__________.14．填适当的数：1，，（________），2，，（________），15．在数列中，第3项是______；是它的第______项.16．函数的最小值记为，设，则数列，的通项公式分别是________，________.17．已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．在数列中，.若是递增数列，求的取值范围.19．已知数列的前n项和为（1）当取最小值时，求n的值；（2）求出的通项公式.20．已知数列中，.（1）写出数列的前5项.（2）猜想数列的通项公式.21．已知数列的通项公式为，且，，求和.22．已知数列满足.（1）计算；（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．数列的一个通项公式是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先写出的通项是，数列的通项公式是．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．数列中不能重复出现同一个数B．与是同一数列C．不是数列D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同【答案】D【解析】由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如，故A不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可判断，是数列，即C不正确；由数列定义可知，D正确，故选：D.3．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【答案】C【解析】令，解得.故选：C4．若数列{an}的通项公式为an＝n(n－2)，其中n∈N*，则a6＝（）A．8 B．15 C．24 D．35【答案】C【解析】代入通项公式得，，故选：C．5．下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可以表示为B．数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列C．数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D．数列的项数一定是无限的【答案】C【解析】A中，表示集合，不是数列；B中，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；D中，数列的项数可以是有限的也可以是无限的．故选：C．6．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，故A错误.对于B，，故B错误.对于C，，故C正确.对于D，，故D错误.故选：C.7．已知数列的前项和，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】由已知．故选：C．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）第1行1第2行23第3行4567……A．132 B．261 C．262 D．517【答案】B【解析】由题意知第行有个数，此行最后一个数为，∴第八行的最后一个数为，∴该数表中第9行的第6个数为261.故选：B.9．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（）A．1，0，1，0 B．0，1，0，1C． D．2，0，2，0【答案】A【解析】因为，所以分别取1，2，3，4，可得．故选：A．10．在数列中，，，则的值为（）A． B． C． D．以上都不对【答案】A【解析】在数列中，，，，，，数列是周期为3的周期数列，，．故选：A二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．数列的一个通项公式是___________【答案】，【解析】因为数列，所以通项公式可以为，故答案为：，12．已知数列中，…，则__________．【答案】【解析】当时，有①当时，有②由①÷②，可得故答案为：13．已知数列的前项和，则__________.【答案】【解析】当时，，当时，，当时，，所以，故答案为：14．填适当的数：1，，（________），2，，（________），【答案】【解析】分析可得，这列数可化为：，，，，，，，故答案为：；.15．在数列中，第3项是______；是它的第______项.【答案】【解析】令，则，所以第3项是；令，解得，所以是它的第项.故答案为：；.16．函数的最小值记为，设，则数列，的通项公式分别是________，________.【答案】【解析】当时，，即；将代入得，，故答案为，17．已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．【答案】5【解析】依题意，设，则，，故，，故；因为，，，故以此类推，n是奇数，，故，n是偶数，，故，所以.故答案为：；5.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．在数列中，.若是递增数列，求的取值范围.【答案】【解析】解析由是递增数列得，，即，整理得，恒成立，解得.∴的取值范围是.19．已知数列的前n项和为（1）当取最小值时，求n的值；（2）求出的通项公式.【答案】（1）或；（2）【解析】（1），因为，所以当或时，取最小值，（2）当时，，当时，，当时，满足上式，所以20．已知数列中，.（1）写出数列的前5项.（2）猜想数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可得：，，，.（2）猜想：21．已知数列的通项公式为，且，，求和.【答案】,.【解析】∵，，代入通项公式中得，解得，,∴,∴.22．已知数列满足.（1）计算；（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.【答案】（1）.，，，.（2），详见解析【解析】解：（1）当时，，.当时，，，当时，，，当时，，，当时，，.（2），，，，，由此猜想.《4.2等差数列》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．在等差数列中，，公差，则等于（）A．13 B．14 C．15 D．162．在等差数列中，，，则（）A． B． C． D．03．已知等差数列的前n项和为，且，则＝（）A．0 B．10 C．15 D．304．已知公差为2的等差数列满足，则（）A．5 B．7 C．9 D．115．在等差数列{an}中，若a4＝5，则数列{an}的前7项和S7＝（）A．15 B．20 C．35 D．456．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（）A． B． C． D．7．已知等差数列的前5项和为25，且，则（）A．10 B．11 C．12 D．138．有穷等差数列5，8，11，…，的项数是（）A． B． C． D．9.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤10．已知为等差数列，为公差，为前n项和，，则下列说法错误的是（）A． B．C．和均为的最大值 D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．与的等差中项是____________.12．数列为等差数列，已知公差，，则_______.13．已知等差数列的前n项和为，若，则_______.14．已知等差数列中，，，则公差________，________.15.设等差数列的前项和为，若，，则______，______．16．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求.19.在等差数列中，（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.20．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值．21．记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求的最小值．22．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．在等差数列中，，公差，则等于（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【解析】,故选：C.2．在等差数列中，，，则（）A． B． C． D．0【答案】C【解析】是等差数列，，.故选：C.3．已知等差数列的前n项和为，且，则＝（）A．0 B．10 C．15 D．30【答案】C【解析】由等差数列性质可知：本题正确选项：4．已知公差为2的等差数列满足，则（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由题意知，因为，可得所以.故选：C5．在等差数列{an}中，若a4＝5，则数列{an}的前7项和S7＝（）A．15 B．20 C．35 D．45【答案】C【解析】因为数列是等差数列，故可得.故选：.6．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则.故选：B7．已知等差数列的前5项和为25，且，则（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】因为，所以，则公差，故．故选：D8．有穷等差数列5，8，11，…，的项数是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等差数列中，知，，设为数列中的第k项，则，解得，故选：D9.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤【答案】A【解析】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，则由题意得，，解得，．故选：A10．已知为等差数列，为公差，为前n项和，，则下列说法错误的是（）A． B．C．和均为的最大值 D．【答案】C【解析】由，由，故选项B说法正确；因为，，所以，因此选项A说法正确；因为，所以等差数列是单调递增数列，因此没有最大值，故选项C说法错误；由，因为，所以，因此选项D说法正确.故选：C二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．与的等差中项是____________.【答案】【解析】由题得与的等差中项为.故答案为：12．数列为等差数列，已知公差，，则_______.【答案】20【解析】因为数列为等差数列，公差，所以，解得，故答案为：2013．已知等差数列的前n项和为，若，则_________.【答案】1【解析】由有，而∴结合等差数列的前n项和公式及通项公式即可得故答案为：114．已知等差数列中，，，则公差________，________.【答案】29【解析】等差数列中，，，则公差，所以.故答案为：2；915.设等差数列的前项和为，若，，则______，______．【答案】【解析】由题得；故答案为：.16．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.【答案】【解析】设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，即，，所以，，故故答案为：；17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【答案】8.【解析】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为：；五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为：.所以三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列为：，数列是以首项为8，公差为15的等差数列.空1：；空2：.故答案为：8；三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为，，所以，，解得，.所以，，所以的通项公式为，.（2）由（1）知，，因为，所以，即，化简得，解得.19.在等差数列中，（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等差数列的性质可得，解得，因此，；（2）由等差中项的性质和等差数列的求和公式得.20．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值．【答案】（1）；（2）78【解析】(1)由已知，得，.解得.又，∴.(2)∵，∴数列是递减数列．又∵，，∴当时，取得最大值，为.21．记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设的公差为，由题意得．由得．所以的通项公式为．（2）由（1)得．所以当时，取得最小值，最小值为．22．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，则.因为所以，解得，，所以数列的通项公式为.（2）由题意知，所以.《4.3等比数列》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．各项均为正数的等比数列中，，，则（）A．2 B．-2 C． D．2．等比数列中，已知，，数列的公比为（）.A． B． C．2 D．3．在等比数列中，，，则数列的前5项和等于（）A．31 B．32 C．63 D．644．与的等比中项是（）A．1 B． C．2 D．或15．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（）A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏6．在等比数列中，首项则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A．4 B．－4 C．±4 D．不确定8．已知等比数列的前n项和为，公比，则等于（）A．32 B．31 C．16 D．159．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A．2 B．4 C．8 D．1610．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（）A． B． C． D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知等比数列满足且，则________.12．已知公比为的等比数列满足，则____．13．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，再倒出，又用水填满…….连续进行了次后，容器中的纯酒精还剩下，则________.14．在正项等比数列中，若，，则______；_____．15．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取.16．是正项等比数列的前和，，，则______．公比______．17．等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则________，________．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知数列的通项公式.（1）求，；（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.19．已知正项等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为．21．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.22．设是等比数列，其前项的和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求的最小值.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．各项均为正数的等比数列中，，，则（）A．2 B．-2 C． D．【答案】A【解析】因为各项均为正数的等比数列中，，，所以，所以（负值舍去）故选：A.2．等比数列中，已知，，数列的公比为（）.A． B． C．2 D．【答案】C【解析】数列是等比数列，则，（为数列的公比），则，解得.故选：C.3．在等比数列中，，，则数列的前5项和等于（）A．31 B．32 C．63 D．64【答案】A【解析】因为等比数列中，，，所以数列的前5项和，故选：A.4．与的等比中项是（）A．1 B． C．2 D．或1【答案】D【解析】由题意可设与的等比中项是，则，解得或.故选：D.5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（）A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏【答案】C【解析】根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，则有，解可得：，所以中间一层共有灯盏.故选：C6．在等比数列中，首项则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由题意可得等比数列通项，则故选：C7．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A．4 B．－4 C．±4 D．不确定【答案】A【解析】由题意知：，且若令公比为时有，∴，故选：A8．已知等比数列的前n项和为，公比，则等于（）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】B【解析】因为等比数列的前n项和为，公比，所以，又因为，所以.故选：B.9．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】等差数列中,,故原式等价于解得或各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D.10．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设第行视标边长为，第行视标边长为由题意可得：则数列为首项为，公比为的等比数列即则视力5.1的视标边长为故选：A二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知等比数列满足且，则________.【答案】【解析】因为，所以.故由等比数列的通项公式得.故答案为：12．已知公比为的等比数列满足，则_____．【答案】1【解析】因为为等比数列，且，所以，即，解得，故答案为：113．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，再倒出，又用水填满…….连续进行了次后，容器中的纯酒精还剩下，则________.【答案】5【解析】根据题意，连续进行了次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列，则数列是首项为，公比为的等比数列，则，若连续进行了次后，容器中的纯酒精还剩下，即，解得，故答案为：．14．在正项等比数列中，若，，则____；______．【答案】【解析】由题意可知，由题意可得，解得，.故答案为：；.15．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取.【答案】【解析】记第天后剩余木棍的长度，则是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，由得，所以的最小值为.所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是尺，要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过次截取.故答案为：；.16．是正项等比数列的前和，，，则______．公比______．【答案】23【解析】当时，，不满足题意，故；当时，有，解之得：.故答案为：2；3.17．等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则________，________．【答案】12【解析】设等差数列的公差为，则由得，即，解得，则，．由，，成等比数列得，即，解得．故答案为：；12三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知数列的通项公式.（1）求，；（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）因为，所以，，（2）由题意知：等比数列中，，，公比∴等比数列的通项公式19．已知正项等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，则，所以或（舍），所以，.（2）由（1）得，所以.20．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设正项等比数列的公比为，由题意可得，解得．数列的通项公式为；（2）.21．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）设等差数列的公差为（），因为，且成等比数列，所以，即，解得（舍去）或，所以，（2）由（1）可得，所以22．设是等比数列，其前项的和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为q，因为，所以，所以，又，所以，所以.（2）因为，所以，由，得，即，解得，所以n的最小值为6.《4.4数列的求和》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．若数列的通项公式是，则（）A．45 B．65 C．69 D．2．数列，，，…，，…的前n项和为（）A． B． C． D．3．已知数列为等差数列，且，，则（）A． B． C． D．4．等于（）A． B．－ C． D．5．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为（）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－26．已知在等差数列中，，，则数列的前2019项和是（）A． B． C． D．7．设数列的前项和为，则的值为（）A． B．C． D．8．数列…的前项和为()A． B．C． D．9．已知数列的通项公式是，则()A． B．C． D．10．设，()A．4 B．5 C．6 D．10二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．数列{}中，，则________12．已知数列的前项和为，，，则________.13．已知数列中，，则数列的前9项和为_____________．14．已知等差数列的首项和公差都为2.则数列的通项公式=____，数列上的前2020项和为_______.15．设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差________﹔数列的前100项和________.16．等差数列，，且是与的等比中项，则______；______.17．若是数列的前项和，且，则______________三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和．19．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项.（2）设数列的前项和为，求数列的前项和为.20．已知等比数列的前项和为，且对一切正整数恒成立.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____.（从①②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（1）求；（2）若，求数列的前项和.22．已知等比数列的公比，且的等差中项为10，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．若数列的通项公式是，则（）A．45 B．65 C．69 D．【答案】B【解析】因为，所以，则，故选：B．2．数列，，，…，，…的前n项和为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴==故选：B3．已知数列为等差数列，且，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设数列的公差为，由题意得，，解得，，∴，∴，∴.故选：C.4．等于（）A． B．－ C． D．【答案】C【解析】当n为偶数时，当n为奇数时，所以综上可得：故选：C5．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为（）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2【答案】D【解析】由题可知：设数列{an}的前n项和为所以即所以故故选：D6．已知在等差数列中，，，则数列的前2019项和是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设的公差为，由得解得，则．则．故前2019项和故选：B．7．设数列的前项和为，则的值为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，对于A，当时，，所以A错误；对于B，当时，，所以B错误；对于C，当时，，所以C错误；对于D，当时，，所以D为正确选项.故选：D.8．数列…的前项和为()A． B．C． D．【答案】C【解析】1＋2＋3＋…＋(n＋)＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝(n2＋n)＋1－＝(n2＋n＋2)－故答案为C9．已知数列的通项公式是，则()A． B．C． D．【答案】B【解析】故选：B10．设，()A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【解析】由于，故原式.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．数列{}中，，则________【答案】【解析】,故答案为：12．已知数列的前项和为，，，则________.【答案】【解析】由得，所以数列以为周期，又，，所以.故答案为：.13．已知数列中，，则数列的前9项和为_____________．【答案】【解析】数列的前9项和，，两式相减得，.故答案为：.14．已知等差数列的首项和公差都为2.则数列的通项公式=____，数列上的前2020项和为_______.【答案】【解析】.设，前项和为.则.则15．设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差________﹔数列的前100项和________.【答案】1【解析】∵，，成等比数列，∴，即，又，解得．∴，，∴．故答案为：1；．注：数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．16．等差数列，，且是与的等比中项，则______；______.【答案】【解析】由且是与的等比中项，可得，解得，所以，所以，故，故答案为：；17．若是数列的前项和，且，则______________【答案】【解析】，则当时，，当时，，两式相减得，即，满足，，则，则，，.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】设等差数列的公差为，由，可得解得，所以等差数列的通项公式可得;（2）由（1）可得，所以.19．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项.（2）设数列的前项和为，求数列的前项和为.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设公差为，由，且成等比数列，则解得：或(舍去)，，故的通项.（2），则所以：20．已知等比数列的前项和为，且对一切正整数恒成立.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，与两式相减得.∵数列是等比数列，∴公比，.又，∴，∴（2）∵由得，∴21．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____.（从①②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（1）求；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）选择①②、①③、②③条件组合,；（2）【解析】（1）①由，得，即；②由，，成等比数列，得，，即﹔③由，得，即；选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔（2）由（I）得，则，即22．已知等比数列的公比，且的等差中项为10，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意可得：，∴∵，∴，∴数列的通项公式为.（Ⅱ），∴上述两式相减可得∴=《4.4数学归纳法》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A． B．C． D．2．用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（）A． B．C． D．3．用数学归纳法证明等式时，当时，左边等于（）A．1 B． C． D．4．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A． B．C． D．5．用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要6．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（）A． B．C． D．7．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了A中的一项，但又减少了另一项D．增加了B中的两项，但又减少了另一项8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）时等式成立（）A． B． C． D．9．用数学归纳法证明命题“当n为奇数时，能被整除”，在证明正确后，归纳假设应写成（）．A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立10．在用数学归纳法求证：的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（）．A． B． C． D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．用数学归纳法证明命题“1++…+(n∈N+，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是________.12．用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.13．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．14．用数学归纳法证明：，第一步应验证的等式是__________；从“”到“”左边需增加的等式是_________.15．用数学归纳法证明：“对任意奇数n，命题成立”时，第二步论证应该是假设______命题成立，再证______时，命题也成立.16．已知为正偶数，用数学归纳法证明“”时，第一步的验证为________________________；若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设证________时等式成立.17．在数列中，a1=1，，则a3=______，an=_______.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？19．用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．20．已知数列满足，.（1）求、；（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.21．设数列的前项和为，并且满足．猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．22．在数列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）归纳出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.2．用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，∴所取的第一个正整数为2，又，故第一步应验证．故选：B3．用数学归纳法证明等式时，当时，左边等于（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】用数学归纳法证明：，在验证时，令代入左边的代数式，得到左边.故选：C4．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，等式左端，当时，等式左端，增加了项．故选：C．5．用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，“对时，命题成立”可以推出“当时，命题成立”，所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/故选：B6．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，所假设的不等式为，当时，要证明的不等式为，故需添加的项为：，故选：B.7．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了A中的一项，但又减少了另一项D．增加了B中的两项，但又减少了另一项【答案】D【解析】当时，左边，当时，左边，所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；故选D8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）时等式成立（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立.、故选B.9．用数学归纳法证明命题“当n为奇数时，能被整除”，在证明正确后，归纳假设应写成（）．A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立【答案】D【解析】此题所成立的数是所有的正奇数，根据数学归纳法的证题步骤要求，第二步所取的值的范围应从开始取值所有奇数，即．故选：D．10．在用数学归纳法求证：的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，左边，当时，左边，则.故选：D.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．用数学归纳法证明命题“1++…+(n∈N+，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是________.【答案】【解析】因为n≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+.故答案为：12．用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.【答案】【解析】当时，表达式左侧为：，表达式右侧为：，则当时，表达式为.故答案为：.13．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．【答案】【解析】由题知等式的左边有项，右边有项，且，因此第一步应验证时的等式，此时左边，右边，故答案为：．14．用数学归纳法证明：，第一步应验证的等式是__________；从“”到“”左边需增加的等式是_________.【答案】【解析】当时，应当验证的第一个式子是，从“”到“”左边需增加的式子是15．用数学归纳法证明：“对任意奇数n，命题成立”时，第二步论证应该是假设______命题成立，再证______时，命题也成立.【答案】【解析】依题意用数学归纳法证明：“对任意奇数n，命题成立”，由于为奇数，所以第二步论证应该是假设命题成立，再证时命题也成立.故答案为：；16．已知为正偶数，用数学归纳法证明“”时，第一步的验证为________________________；若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设证________时等式成立.【答案】当时，左边，右边，等式成立；【解析】对在为正偶数，用数学归纳法证明归纳基础，因为为正偶数，则基础，当时，左边，右边，等式成立；归纳假设，当（且为偶数）时，成立由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为时，等式成立故答案为：(1).当时，左边，右边，等式成立；(2).17．在数列中，a1=1，，则a3=______，an=_______.【答案】【解析】第一空：因为，，所以，；第二空：由第一空可知：，所以可得，因为，，，，所以猜想，数学归纳法证明如下：（1）当时，显然；（2）假设当时成立，即，当时，综合（1）（2），所以，故答案为：；三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？【答案】；【解析】时，左边为，时，变为，故由到的变化过程中，左边增加的都分是；时，右边为，时，变为，右边增加的部分是.故答案为：；.19．用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：（1）当时，，能被9整除，故当时，能被9整除．（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，则当时，也能被9整除.综合(1)(2)可得,对任意正整数能被9整除．20．已知数列满足，.（1）求、；（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.【答案】（1），；（2）,证明见解析.【解析】（1），；（2）猜想数列通项公式，证明如下：当时，，，所以成立；假设时成立，即，当时，，∴时，成立，综上，由①②得：.21．设数列的前项和为，并且满足．猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】【解析】（1）解：分别令，得，∵，∴，猜想：，由①可知，当时②①-②得，即当时∵，∴，（ii）假设当时，，那么当时，,∵，∴，∴，即当时也成立．∴，显然时，也成立，故对于一切，均有．22．在数列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）归纳出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．【答案】（1），，；（2）．【解析】（1）由a1=1且知：，，（2）猜想数列的通项公式为，证明如下：（i）当n=1时，左边=，右边=左边=右边即猜想成立；（ii）假设当n=时，猜想成立，即有那么当n=时，从而猜想对n=也成立；由（i）（ii）可知，猜想对任意的都成立，所以数列的通项公式为《5.1导数的概念及其意义、导数的运算》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（）A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定2．若（m为常数），则等于（）A． B．1 C．m D．3．某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（）A． B． C． D．4．已知，则（）A． B． C． D．5．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．6．已知函数在处的导数为1，则（）A．0 B． C．1 D．27．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（）A．e B． C．1 D．8．曲线在点处切线的斜率为（）A．1 B．2 C．3 D．49．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．10．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（）A． B．6 C．12 D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．曲线在点（1，2）处的切线方程为_________.12．曲线在点处的切线方程为_____.13．已知，则等于__________.（用数字作答）14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．15．函数的导数_________，_______.16．已知函数，则__________，设，则_________．17．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线是函数的切线，也是函数的切线，则实数____，_____．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（1）求导：（2）求函数在处的导数.19．，且，，，；求的值．20．已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程．21．已知函数的图像在处的切线方程是，求a，b的值；22．求曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（）A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定【答案】B【解析】在处，虽然有，但，所以在相同时间内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．故选：B.2．若（m为常数），则等于（）A． B．1 C．m D．【答案】D【解析】由题意，根据导数的概念可得，，所以.故选：D.3．某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】位移增量.故选：A.4．已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，得，则，故选：D．5．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C6．已知函数在处的导数为1，则（）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【解析】因为函数在处的导数为1，则.故选：B.7．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（）A．e B． C．1 D．【答案】B【解析】设切点坐标为，由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过原点，所以，得，因为切点在曲线上，所以，解得，所以切线的斜率为，故选：B8．曲线在点处切线的斜率为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】的导数为，可得曲线在点处切线的斜率为.故选：C.9．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误．故选：B．10．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（）A． B．6 C．12 D．【答案】A【解析】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，得.故选：A.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．曲线在点（1，2）处的切线方程为_________.【答案】【解析】，，，切线的方程是，即，故答案为．12．曲线在点处的切线方程为_____.【答案】【解析】由得，则曲线在点处的切线斜率为，因此所求切线方程为，即.故答案为：.13．已知，则等于__________.（用数字作答）【答案】-2【解析】，，，解得.故答案为：.14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．【答案】54.1【解析】当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝＝4.1.15．函数的导数________，_______.【答案】31【解析】函数的导数16．已知函数，则__________，设，则_________．【答案】【解析】，求导得，，，求导得，，解得.故答案为：；.17．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线是函数的切线，也是函数的切线，则实数____，_____．【答案】-1-2【解析】由题意可知，故，则函数的切点为，代入，得；又，故，则函数的切点为，代入，得．故答案为：－1；－2．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（1）求导：（2）求函数在处的导数.【答案】（1）；（2）1；【解析】（1）；（2）；19．，且，，，；求的值．【答案】【解析】,由,可得;由,可得;，；可得,解得:,则,即.20．已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程．【答案】4x﹣4y﹣1=0．【解析】设切点坐标为M（x0，y0），则切线斜率为2x0，又直线PQ的斜率为kPQ==1，∵切线与直线PQ平行，∴2x0=1，∴x0=，∴切点为（，），切线斜率为1．∴切线方程为y﹣=x﹣即4x﹣4y﹣1=0．21．已知函数的图像在处的切线方程是，求a，b的值；【答案】【解析】由，得，因为函数的图像在处的切线方程是，所以，即，得，所以，则，所以切点坐标为，所以，得，综上22．求曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积.【答案】【解析】依题意得，，故曲线在点处的切线方程是，即.直线与的交点坐标是，直线与x轴的交点坐标是，故直线和所围成的三角形的面积等于.《5.2导数在研究函数中的应用（1）》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B．C． D．2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A． B． C． D．3．已知函数，则其单调增区间是（）A． B． C． D．4．函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．5．如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（）A． B．C． D．6．函数的递增区间是（）A． B．和C． D．和7．函数的图像大致为（）A． B．C． D．8．已知函数与的图象如图所示，则不等式组解集为（）A． B． C． D．9．已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（）A． B． C． D．10．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．函数的单调减区间是__________.12．函数的单调递减区间是______．13．已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是_____．14．函数在区间______上是增函数，在区间______上是减函数．15．已知是定义在上的偶函数，则实数_____，写出函数在的单调递增区间是______16．已知，那么单调递增区间____；单调递减区间______.17．设函数（a为常数）.若为奇函数，则________；若是上的减函数，则a的取值范围是________.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．求函数的递减区间.19．求函数的单调区间．20．已知.（1）当时，讨论的单调区间；（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.21．已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.22.已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵在，上为减函数，在上为增函数，∴当或时，；当时，．故选：C．2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A选项，函数为偶函数，在上递增，在上递减；对于B选项，函数在上递减；对于C选项，在上恒成立，则函数在其定义域上递增；对于D选项，函数在上递减.故选：C．3．已知函数，则其单调增区间是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，函数定义域为，求导，令，得或（舍去）所以单调增区间是故选：A.4．函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，由得，即，所以函数的单调递增区间为.故选：C5．如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，．故选：C．6．函数的递增区间是（）A． B．和C． D．和【答案】C【解析】因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为.故选：C.7．函数的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.故选：C8．已知函数与的图象如图所示，则不等式组解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是的图象，虚线是的图象，不等式组解集是．故选：B．9．已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，故为上的增函数，所以即，故选：D.10．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，在内不是单调函数，故在存在变号零点，即在存在零点，∴.故选：A.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．函数的单调减区间是__________.【答案】【解析】，令，解得，所以函数的单调减区间为.故答案为：12．函数的单调递减区间是______．【答案】【解析】的定义域是，，令，解得：，所以在递减，故答案为13．已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是____．【答案】6【解析】，令，得或，所以，解得．故答案为：614．函数在区间______上是增函数，在区间______上是减函数．【答案】和【解析】=，令，解得：，令，解得：或.函数在区间,上是增函数，在区间上是减函数．15．已知是定义在上的偶函数，则实数_____，写出函数在的单调递增区间是______【答案】3【解析】是定义在上的偶函数，，，解得，，令，解得，的单调递增区间是.故答案为：3；.16．已知，那么单调递增区间___；单调递减区间______.【答案】【解析】因为,故.令可得,即.又为增函数,故当时,,单调递减；当时,,单调递增.故答案为：(1)；(2)17．设函数（a为常数）.若为奇函数，则________；若是上的减函数，则a的取值范围是________.【答案】1【解析】（1）若为奇函数则，则（2）若是上的减函数，则在上小于或者等于零，即在上恒成立，，可知在上单调递增，所以.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．求函数的递减区间.【答案】【解析】∵，∴令，解得.∴函数的递减区间为.19．求函数的单调区间．【答案】增区间为，减区间为.【解析】由得，令，即，得，从而，令，即，得，此时为增函数，又，得增区间为，令，即，得，此时为减函数，减区间为.20．已知.（1）当时，讨论的单调区间；（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】（1）当时，则，令，得令，得所以的单调递增区间为单调递减区间为（2）由题可知：在定义域R内单调递增等价于由在上单调递增，又则21．已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.【答案】（1）；（2）3.【解析】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即.22.已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）①当时，的单调递减区间为；单调递增区间为，．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．③当时，为常值函数，不存在单调区间．④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．【解析】（Ⅰ）解：当时，，．……2分由于，，所以曲线在点处的切线方程是．……4分（Ⅱ）解：，．…………6分①当时，令，解得．的单调递减区间为；单调递增区间为，．…8分当时，令，解得，或．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．……10分③当时，为常值函数，不存在单调区间．……………11分④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．…………14分《5.3导数在研究函数中的应用（2）》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（）A．的极值点一定是最值点B．的最值点一定是极值点C．在区间上可能没有极值点D．在区间上可能没有最值点2．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在x＝1时，f（x）取得极大值C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值3．已知函数在处取得极值，则（）A．1 B．2 C． D．-24．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（）A． B． C． D．5．已知函数，则）的极大值点为（）A． B． C． D．6．设，则函数（）A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值C．有无数个极值 D．没有极值7．函数在内有最小值，则的取值范围为()A． B．C． D．8．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．函数在处有极值,则的值为()A． B． C． D．10．若是函数的极值点，则的值为（）A．-3 B．2 C．-2或3 D．–3或2二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知函数，则在上的最小值是_______________.12．若x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，则a＝________.13．若函数在，则函数的最小值是_______；最大值是_________.14．已知函数，则的极小值为______．15．函数的极值是：________和________.16．函数（其中…是自然对数的底数）的极值点是________；极大值________.17．设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则_________，使得成立的x的取值范围是_________．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).19.若，，求：（1）的单调增区间；（2）在上的最小值和最大值.20.已知函数.（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）求在，上的最大值和最小值.21．已知函数,（1）计算函数的导数的表达式;（2）求函数的值域.22．已知函数，是的一个极值点．（1）求的单调递增区间；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（）A．的极值点一定是最值点B．的最值点一定是极值点C．在区间上可能没有极值点D．在区间上可能没有最值点【答案】C【解析】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以