因式分解的几种方法

1、因式分解的几种方法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一个多项式在一个范围( 如有理数范围内分解，即所有项均为有理数 ) 化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解的几种方法1 、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1、分解因式x3-2x2-xx3-2x2-x=x(x2-2x-1)2 、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公

2、式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例 2、分解因式a2+4ab+4b2解： a2+4ab+4b2=(a+2b)23 、分组分解法要把多项式am+an+bm+b份解因式，可以先把它前两项分 成一组，并提由公因式 a,把它后两项分成一组，并提由公因 式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提由公因式 m+n,从而 得到 (a+b)(m+n)例 3、分解因式m2+5n-mn-5m解： m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4 、十字相乘法对于 mx2+px+q形式的多项式，如果 axb=m

3、,cxd=q且 ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2-19x-6分析：1X 7=7,2 x( -3)=-61X2+7X ( -3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5 、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配 成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分 解。例5、分解因式x2+6x-40解 x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40=(x+ 3)2-(7 )2=(x+3)+7*(x+3)- 7=(x+10)(x-4)6 、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解

4、因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)- ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 、换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例7、分解因式2x4 - x3-6x2-x+2(也叫相反式，在这里以 二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项 对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)解：2x4 x

5、3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2 =x22x2+()2-(x+)-6令 y=x+, x22x2+()2-(x+)-6 = x22(y2-2)-y-6 = x2(2y2-y-10) =x2(y+2)(2y-5) =x2(x+2)(2x+-5) =(x2+2x+1)(2x2-5x+2) =(x+1)2(2x-1)(x-2) 8 、求根法令多项式f(x)=0,求生其根为x1,x2,x3,xn,则多项式 可因式分解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x -xn)( 一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3 这些数是不是方程的根)例 8、分

6、解因式2x4+7x3-2x2-13x+6解：令 f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0 根为， -3 ， -2 ， 1 ,则 2x +7x -2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9 、图象法 ( 这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的)令 y=f(x) ，做出函数y=f(x) 的图象，找到函数图象与X轴的交点x1,x2,x3,xn,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x -xn)例9、因式分解x3+2x2-5x-6解：令 y=x3+2x2-5x-6

7、作出其图象，可知与x 轴交点为-3 ， -1 ， 2则 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10 、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列解： a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)=(b-c) a2-a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11 、利用特殊值法将2或10(或其它数)代入x,求生数P,将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个

8、因数写成2 或10的和与差的形式，将 2或10还原成x,即得因式分解式。例 11 、分解因式x3+9x2+23x+15解：令 x=2,则 x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3X 5X7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、 5、 7 分别为x+1 , x+3, x+5,在 x=2 时的值则 x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)12 、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 12、分解因式 x4 - x3-5x2-6x-4如果已知道这个多项式没有一次

9、因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设 x4 x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd从而 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以解得贝U x4 - x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)因式分解的几种方法1 】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一： 2x-3x=0解： x(2x-3)=0x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a) 因式 这对我们后面的学习有帮助。2 】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例二： x-4 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2 ，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2)3 】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1.a2的积 a1.a2 ，把常数项c 分解成两个因数c1.c2 的积 c1.c2 ，并使a1c