非正弦周期电流电路分析

1、第八章第八章 非正弦周期电流电路的分析非正弦周期电流电路的分析 产生非正弦周期电流的原因：产生非正弦周期电流的原因：1 1、激励本身为非正弦周期函数。、激励本身为非正弦周期函数。2 2、几个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路。、几个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路。3 3、单一频率的正弦激励作用于非线性电路。、单一频率的正弦激励作用于非线性电路。对于周期性的激励与响应，可以利用傅里叶级数分解为一系列对于周期性的激励与响应，可以利用傅里叶级数分解为一系列不同频率的简谐分量。根据叠加定理，线性电路对非正弦周期不同频率的简谐分量。根据叠加定理，线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应，等于组成激励

2、信号的各简谐分量分别作用性激励的稳态响应，等于组成激励信号的各简谐分量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。而响应的每一简谐分量可用正于电路时所产生的响应的叠加。而响应的每一简谐分量可用正弦稳态分析的相量法求得。弦稳态分析的相量法求得。 8 8 1 1 周期函数的傅里叶级数展开式周期函数的傅里叶级数展开式 周期函数周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, ) 若满足狄里赫利条件若满足狄里赫利条件则则f(t)可展开为傅里叶级数可展开为傅里叶级数 (2)函数函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个极大值和极小值；在任一周期内只有有限个极大值和极小值； (

3、3)函数函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个不连续点；在任一周期内只有有限个不连续点； (1)函数函数f ( t ) 在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分，积分 Tttdttf00 ) ( 存在；存在； 1110)sincos(2)(nnntnbtnaatf 傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式 TttdttfTa00 0 ) ( 12 TttndttntfTa00 1 cos ) ( 2 TttndttntfTb00 1 sin ) ( 2 T 2 1 )sin(sincos111nnntnAtnbtna 22nnnbaA nnnbaarcta

4、n 110)sin(2)(nnntnAAtf 基波基波(fundamental wave)或一次谐波或一次谐波(first harmonic) )sin(111 tAn次谐波次谐波(n-th harmonic)1( )sin(1 ntnAnn 110)sin(2)(nnntnAAtf 20A常数项（直流分量）常数项（直流分量）具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点：具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点： (1) 奇函数奇函数(odd function) ：f ( t ) = f ( t ) 奇函数的波奇函数的波形对称于坐形对称于坐标系的原点标系的原点 0 , 0 , 020 nn

5、baa TttndttntfTb00 1 )sin()(2 dttntfTT )sin()(412 0 (2) 偶函数偶函数(even function)： f ( t ) = f ( t ) 偶函数的波偶函数的波形对称于坐形对称于坐标系的纵轴标系的纵轴 0 , 02 , 0 0 nnaabdttntfTaTttn )cos()(21 00 dttntfTT )cos()(412 0 (3) 奇谐波函数奇谐波函数(odd harmonic function) ：)2()(Ttftf 后半周对横轴的镜象是前半周的重复后半周对横轴的镜象是前半周的重复 )sin()cos()(111 nnntnbt

6、natf ), 5 , 3 , 1()sin(11 ntnAnnn 值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性，仅决值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性，仅决定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为奇函定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为奇函数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和时间数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和时间起点的选择有关。起点的选择有关。 8 8 2 2 线性电路对周期性激励的线性电路对周期性激励的稳态响应稳态响应 步骤：步骤：1 1、将周期性激励分解为傅里叶级数；、将周期性激励分解为傅里叶级数；2 2、根据叠加定理，求每一谐波源单独作用、根据叠加定理，求每

7、一谐波源单独作用于电路的响应；于电路的响应；3 3、将各谐波激励所引起的时域响应叠加，、将各谐波激励所引起的时域响应叠加，即得线性电路对非正弦周期性激励的稳态即得线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应响应 。 例例1. 1. 图图a a为一个周期性矩形脉冲电流源，用它来激励为一个周期性矩形脉冲电流源，用它来激励图图b所示电路所示电路已知：电路的参数为已知：电路的参数为R = 20 , L = 1 mH, C = 1000 pF，2T 求此电路的端电压求此电路的端电压u(t)。T T = = 6.28 s s，mAI2p mA。 解：解：(1)(1)对周期激励电流进行谐波分析对周期激励电流进行谐波

8、分析 2222 022 )(pTttTtIti 及及此函数波形具有偶函数对称性，故此函数波形具有偶函数对称性，故 bn=0 2 0 1 )cos()(4TndttntiTa )21sin(1 nn dttiTaITT )(1 2 2 2 00 4 p IT)21sin(1 nnan ，71513117531 aaaa0642 aaa电流电流i(t)的傅里叶级数展开式为的傅里叶级数展开式为 ttti11 3cos31 cos4()( mA ) 7cos71 5cos5111 tt (2) (2) 计算电路对各次谐波的端口等效阻抗计算电路对各次谐波的端口等效阻抗 ) ( 1) ( 1)(11111

9、LjnRCjnLjnRCjnjnZ CRjnLCnLjnR )(1 1211 sradT/10101028. 622 661 102)1(1020)(2231njnnjjnZ k 50) (1 jZ k 375. 0)3(95.891jejZ k 208. 0)5(99.891jejZ k 146. 0)7(901jejZ k 02. 00RZ(3) (3) 求激励源的直流分量及各谐波求激励源的直流分量及各谐波分量单独作用时的电压响应分量单独作用时的电压响应 V 0157. 0V 402. 000 RIUmA1901jmeI V50)(90111jmmeIjZU u基波电流单独作用时：基波电流

10、单独作用时：u直流分量单独作用时：直流分量单独作用时：tmAcos11 imA31903jmeI u当当3次、次、5次、次、7次谐波单独作用时：次谐波单独作用时：mA51905jmeI mA71907jmeI V 125. 0)3(95.17931 3jmmeIjZU V 0416. 0)5(01. 051 5jmmeIjZU V 0208. 0 )7(71 7 mmIjZU (4) (4) 将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相叠加，求出电压响应叠加，求出电压响应 )()()()()(75310tutututuUtuV 7sin0208. 0)0

11、1. 0 5sin(0416. 0)95.179 3sin(125. 0)90 sin(500157. 01111 tttt 例例2 下图所示电路，已知下图所示电路，已知 = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 , L1 = 0.106 H，L2 = 0.0133 H，C1 = 95.6F，C2=159 F， V ) 3sin210 sin22010()(tttus 求求i1(t)及及i2(t)。解：解：1 1）直流分量电压单独作用）直流分量电压单独作用 A11010 RUIs020 I2 2）基波分量电压单独作用）基波分量电压单独作用 0S )103103( 1 2211 jLj

12、Cj L1与与C1并联的等效导纳为并联的等效导纳为L1与与C1发生并联谐振，并联处相当于开路发生并联谐振，并联处相当于开路 A1e= 1j452211s2111CjRRUIImmm A)45 sin(1)()(2111 ttiti 3 3）三次谐波分量电压单独作用）三次谐波分量电压单独作用 L1与与C1并联后与并联后与L2串联串联的的等效阻抗为等效阻抗为 0 3 31 j31211 LjLjC 该串联支路发生串联谐振，相当于短路该串联支路发生串联谐振，相当于短路 A2013s13jmmeRUI 023 mI A 3sin2)(13tti A0)(23 ti4 4）当直流分量和各次谐波分量共同作

13、用时：）当直流分量和各次谐波分量共同作用时：)()()(1311101titiIti A sin2)45 sin(1 tt )()()(2321202titiIti A)45 sin(1 t 注意注意 (1) (1) 当激励函数中的直流分量单独作用时，电容相当当激励函数中的直流分量单独作用时，电容相当于开路，电感相当于短路。于开路，电感相当于短路。 (2) 当激励函数中的各谐波分量分别作用时，由于感抗当激励函数中的各谐波分量分别作用时，由于感抗与谐波次数成正比（与谐波次数成正比（XLn=n1L），容抗与谐波次数成反），容抗与谐波次数成反比比（XCn=1/n1C） ，因而电路对不同频率的谐波所呈

14、现的，因而电路对不同频率的谐波所呈现的阻抗阻抗(或导纳或导纳)也必然不同。也必然不同。 判断电路是否发生谐振判断电路是否发生谐振(3) (3) 激励函数中各次谐波分别作用时求得的频域响应，必激励函数中各次谐波分别作用时求得的频域响应，必须变成时域响应才能进行叠加。也就是说，只能用各次谐须变成时域响应才能进行叠加。也就是说，只能用各次谐波的时域函数进行加减，而不可用它们的相量进行加减。波的时域函数进行加减，而不可用它们的相量进行加减。 8 8 3 3 非正弦周期电流和非正弦周期电流和电压的有效值电压的有效值平均功率平均功率 一一. 有效值有效值 周期电流周期电流i(t)的有效值为的有效值为 Td

15、ttiTI 0 2)(1 110)sin()(nnnmtnIIti TnnmndttnIITI02110)sin(1 20 0 201)1(IdtITT 2)(sin 1)2(2 0 122mnTnmnIdttnIT 0)sin(21)3( 0 10 TnmndttnIIT )(0)sin()sin(21)4(011npdttptnIITTpnmpmn 122021nnmIII 1220nnIII 122021nnmUUU 1220nnUUU二二. 非正弦周期电流电路中的平均功率非正弦周期电流电路中的平均功率 dttituTdttpTPTT )( )(1 )(1 0 0 11 0)sin()(

16、nnmntnUUtu 11 0)sin()(nnmntnIIti 00 0 00 1 )1(IUdtIUTT 0 )( 1 )3( 0 1 0 TnmndttnIUT )sin()sin(1 )2(1 1 0 dttntnIUTnnmnmnT nnnIU cos 0 )sin( 1 )4( 0 1 0 TnmndttnUIT )( 0 )sin()sin( 1 )5( 0 11 npdttptnIUTTpnmpmn 10100cosnnnnnnPPIUIUP 二端网络吸收的平均功率二端网络吸收的平均功率 非正弦周期电流电路的功率因数（非正弦周期电流电路的功率因数（）仍定义为仍定义为平均功率（平均功率（P）与视在功率（与视在功率（UI） 之比，即之比，即 UIP 例例1. 已知一无源二端口网络的端口电压和电流分别为已知一无源二端口网络的端口电压和电流分别为V )4 3sin(4 .56 2sin6 .84)4 sin(141)( ttttu A )4 3sin(5 .30)4 sin(4 .5