随机变量及其分布知识点整理

1、随机变量及其分布知识点整理、离散型随机变量的分布列1,2, ,n)的概率般地，设离散型随机变量X可能取的值为Xi,X2, ,Xi, ,Xn, X取每一个值x(iP(X x) Pi ,则称以下表格XX1X2XiXnPP1P2PiPn为随机变量X的概率分布列，简称 X的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质:(1) P0,i 1,2, ,n (2) PiP2Pn 1如果随机变量X的分布列为则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率.X01P1-PP可编辑2.超几何分布般地，在含有 M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件xk发生的概率为:k n k0,1,2,3，m

2、P(X k) CMCN M , k CN则随机变量x的概率分布列如下:X01mPo 0n 0CM CN MCN1n 1CMCN MCNmn mCM CN MCN其中 m min M , n，且n N, M N,n,M,N N 。注：超几何分布的模型是不放回抽样、条件概率般地，设A,B为两个事件，且P(A) 0,称P(B|A)P空)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条P(A)件概率.0 W P(B | A) < 1如果 B 和 C 互斥，那么 P(BUC)|A P(B|A) P(C | A)三、相互独立事件 设A,B两个事件，如果事件A是否发生对事件 B发生的概率没有影响(即P(AB)

3、P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。即A、B相互独立P(AB) P(A)P(B)一般地，如果事件 Ai,A2,nA两两相互独立，那么这 n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(AiA2.An) P(A)P(A2).P(An).注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响四、n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，记 A是“第i次试验的结果”，显然，P(AA2An) P(A)P(Az) P(An)“相同条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他

4、试验的影响注：独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 n次独立重复试验的公式：一般地，在 成独立重复试验中，设事件 A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的1率为p,那么在n次 独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X k) Ckpk(1 p)nk Ckpkqnk,k 0,1,2,., n.(其中 q 1 p),而称 p 为成功概率.五、二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用 X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,则_ k kn kP(X k

5、) CnP (1 p) , k 0,1,2, ,nX01knPC° OnCn P q八 11 n 1CnP q八 k k n kCn P qxn n 0CnP q此时称随机变量 X服从二项分布，记作 X B(n, p),并称P为成功概率.六、离散随机变量的均值(数学期望)般地，随机变量X的概率分布列为XX1X2XiXnPP1P2PiPn则称 E(X) Xi Pi X2P2XiPiXnPn为X的数学期望或均值，简称为期望 .它反映了离散型随机变量取值的平均水平1 .若Y aX b,其中a, b为常数，则丫也是变量YaX1 baX 2 baXi baXn bPP1P2PiPn则 EY aE(X) b ,即 E(aX b) aE(X) b2 . 一般地，如果随机变量 X服从两点分布，那么E(X)=1 P 0 (1 P) P即若X服从两点分布，则 E(X) P3 .若 X B(n, P),则 E(X) nP七、离散型随机变量取值的方差和标准差般地，若离散型随机变量 x的概率分布列为XXiX2XiXnPpip2pipn222则称 DX (Xi E(X) Pi (X2 E(X) P2(Xn E(X) Pn 为随机变量 X 的万差.并称VDX