格林函数以及拉普拉斯方程讲解

1、空间变量的三维s函数S (r -r)在直角坐标系中等同于三个坐标量的S函数的楚。格林函数法可以来求解不同类型的偏微分方程，有 热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程格林 函数法求解非稳态导热问题。用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，包括线性的椭圆形的偏微分方程（如带（如 力学中的震动问题）。在此仅讨论用而格林函数的形式取决于特定问题的具体格林函数格林函数的概念及其物理意义格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当

2、源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理，我们可 以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法-而点源产生的场就叫做 格林函数物体中的温度分布随时间的变化是由于内热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些热作用都可以看做广义上的热源。从时间的概念上说，热源可以使连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为瞬时作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源 作用的空间尺度足够小，也可以抽象为点热源、线热源和面热源。在各种不同种类的热源中，瞬时点热源虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为在其他的各种热源都可以看作

3、是许多瞬时热源的集合，即把空间中的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源，在特定的几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格（Gree n）函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场叠加得到，数学上即成为某种几分。这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。采用格林函数法 可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程，而且解的物理意义比较清对于一维、二维和三维问题的解在形式

4、上都可以表示的非常紧凑,本方条件，包括几何条件（即有限大、半无限大或无限大）、边界条件和坐标系的选取。因此用 格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数。法的第二个要点是确定有内热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数再推的关系。本节从几个较简单的例子开始介绍格林函数法在解决稳态导热问题中的应用， 广到更为一般的情况。“瞬时”和“点”热源的概念在数学上都可用狄克拉3分布函数，简称3函数，来表示。S函数的定义为loo 二 b乘积，即S( x-x1) S( y-y,)S (z_z')。这样，t '时刻作用在空间某一点r，、强度在数量上等

5、于pC J的瞬时点热源可写作I qv二Pc S”-c或在直角坐标系中表示为Sr厂)二 Sx-x') Syy') Szz')因此，作用在x =x'处的强度为p c的瞬时面热源应为p cS (xx') S (T巧。由这样的热源在齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布G (r2Tr ' T ')称为格林函数。其中自变量第一部分表示该温度分布是空间坐标r和时间T的函数，第二部分r '和t '表示瞬时点热源的位置和释放时间。 大平壁中的非稳态导热 首先从一个简单的一维稳态问题来介绍格林函数法的思路。设一维平壁有初始温度分布F(x)

6、和内热源q(xj = :?cg(x,)，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流f (。的作用。该问题的数学描述为3t drd2ta + g(i r)G=0,OVT Vr-0jc = O,r>0工二 Lm>0首先该导热系统的格林函数G,它满足以下的辅助问题:OGCLQO0工7八芒=0i>0k= L, r> 08G32 Gdr3jcG=§4工，） 3G 刁工蛆=0a1一。，CXIG(xir； r)m2ra(r-TyT '时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应维持为0,而T'时刻的瞬时热源的作 用等同于T '时刻的初始温度分布，则以上问

7、题可转化为0<x<L,r>0 (k工 VL,匚=r 工=0 ,c>0工二F八T> 0用分离变量法卿的满足以上方程和边界条件的解的-般形式为（2）r 22/-IG （工小f”）= A （） +£九（f#） exp 一月/畀：一Feos-1L L JL系数九（工X）可以由d时的坟妒条件确定，即CO凡+Ap/f”）4$学八二6（工一 f）m =把治-力展开成博里叶余弦级数并比较两边的系数，猖到即格林函数为空间变量的三维S函数S （r -）在直角坐标系中等同于三个坐标量的S函数的1UXcos cos初始温度分布F&)的影响可以看作是在/二0时刻在各 微元

8、体积d=1中有瞬时热源pcF (j/) 5 (2-) 5( r0) d/的作 用。因此，由初始温度分布引起的温度分布2应为rtt2 (zM)=F(x)G(x.i； r1 I,I 2白 exp (rnnar l-(z )QJC + 二 2j pi办v* 、 77FJC、I mitx Ax )cos iix. COSo匚边界热流/的影响可以看作是在时间序列上一系列的瞬 时热源卅)治-0舲)卅的作用。因此由边界热流作用而引 起的温度分布人应为二3市，+等工pcL加=1mitcos .zL,r八伽ME九用I? dr(348)J o根据辘叠加原理赢定自币酬解应JI以上三个皴分柚叠松 心)FH1 + 勺+

9、心=i! drg(f)dfJo«0F(f)GG 山 ff=O)df+d 0(3*9)± /(f)GC 山)d”“JoI/-2)Q(/-J)叶化山师A。彳 J炉僦 晴勺蜩勺淞斛痂璋侮酬常锂般笑保测*说凿脚俱弹雨 的7扎厂J )0螯汹幽甲翌驰皿阳舶-睥驭豹粕祥 非白巾做为辎判池瞿肥他醇0=2孑2方，") =»/)?(ZZ-t-E) n, SZ)J (JJ)/ (山口f(丽Y 053 ©"+(2(1)力口归身占 (2圮船鳏解和津轴粕礴鞠非删-钟遵瓣砒白巾青也弹 非-酗翻删黜豹蚤幽母由0其中购弘指边界的外法线方向。为求解这一非齐次导热问题，先

10、考虑-个删问题,求由跚点热源o(Lf)5 (Lf)在相应的齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布,即求格林函数G。相应的数学描 述为8Gd V2G(rtr； /tf)+3(r-/)8(r-r), rCR,r>03r(3423a)人艮+例加 *)=0, rCSf,r>0(3-4-23b) G(r.r?rtz)=O, rCl?,r<r (3-4-23c)如果得到了以上问题的解，即该特定导热系统的格林函数G,则原问题的解可写作Z (r,r)= FlrG&r； r5r=O)dV, +J Rg(r,r )G(r?r； /*,r)d/dV7+J 0 J Rj-4 (/= G,

11、/)G(r,r； r7 = r41)dr dSi-(3-4-24)史生®翳 1H& e)翟amm。富 ,一聚-&-常饕 <孕M M T噩鞋 一壬饕二帝W-匕O 2 $忑鹫富 亲 泰一竦鉴更荼雪帮s s H 0B 4 1、L 工、二二 、r zrtj 裳泰盟址建妻(白样毒唱聋瞿霓蓝无常酬林函数法求解非隐态导热问题的另-个重要的环节是寻求合适蹄林函数。当然可以按照格林函数的定义求解定辗问题式(323)。与前面的一维例题-样，可以先把跚内热源的问题转化为"时刻 般值问题热后用经典的方法，如分离变量址求解。下面再介绍-种寻求 格林函数的“格式化”的方法。针对定

12、解问题式(3-4-23),先删下的齐次 问¥5吗遇 ECrCl?,r>0drA, M卫+力血(F,T)=O, rCSt-,r>0(3426)ii(r,r)=F(r),rC/?, r-0假如可以用分离变量法求解，并把解表示成如下的形龙(3-4-27)h C)= K (r,r,r)F(/)dVz )R积分号中的K&A)只是一个符号，它表示对特征函数、范数等的累加或积 分，另-方面，根据前面的论述，该碉的解可以用格林函数表示为G(r,r； /,r =O)F(r)dV,(3-4-28)Jr对照式(3427)、(37 28)可得Gb,T； /,r=O)=K(y,/,r)在此

13、基础上，在求得的G(r,r；人T=0)的表达式中用丁-丁代替r,就得 到一 般的格林函数GSd,即G(r,trz,r )=K(r,rz,T-r)(3-4-29)在3 2节中已经证明，只要初始温度分布可以表示成单变量函数的 乘积，多维齐次非稳态导热问题的解就可以由一维导热问题解的乘积的 形式来构成。同样地，多维格林函数也可由一维格林函数的乘积来构成C 这是因为，娈照其定义格林函数满足具有瞬时热源及齐次边界条件的导 热方程，而瞬时热源的问题又等价于-个给定初始温度分布的问题。因此，二维和三维问题的格林函数可以由一维格林函数的乘积来构 成。如直角坐标系中三维无限大物体导热的格林函数为)=G(j,r；

14、 /,r)G(AA； y,r)G(z,r； /,r)Cz-f F+OTy+G 4a(r-r)exp8他(r_d)J(34 30)在初始温度均匀的无限大介质中，由均匀发热的线热源引起的温度场是一个二维温度场。一些实际的导热问题，例如在用线热源法测定材 料的热物性以及地下埋管与土壤间的非稳态导热过程等都可简化为这样 的问题。假定介质的初始 调度为零,位于2坐标轴上的线热源的强度©(单位为W/m)不随时间变化,则根据以上猖到的三维格林函数可直接写出这-问题的温度场为"r3exPcc 8 /na(r-T)令.蔬务注意钏(-exp(-F)dgTta (r-如果改用柱坐标J石孑，并引进

15、变量= 莎二式(3 4 31)可改写为.0 47ra(r-r)exp_4a(r-r).drz=-A 伽 pc J exp(u)血或用指数积分函数表示为f(ri ) = -(3-4-32)uCO其中：Ei&T若古刃+欣-2)+ S言牙是指数积分存0-577 216是欧拉常数。关于指数积分的性质和函数值，读者可参阅文献 4。又例如，对于一个长方体gGgWcgWd)中的非稳态导热，所有边界温度维持为零。可以求得这一问题的三维格林函数为05 CO（3 -4-33）=-q（£ + K+ %）（.，）,C n=lsin（你）sin（勾）sin（ %z） sin（你，）sin（乙 y

16、9;）sin（ rfpz ） =mn/by 人二 河/c,上式可以写成三个一维格林函数的乘积，即G(xVr； y,y,?,r (x»r|jr)G2(y,r； yr )(A(3-4-34)它们分别是边界均维持为零的三个一维平壁的格林函数，即08S exp-飒(L/)sin(/U)sin(/U')=2 V exp-a/（r-/） kn（Zj）sin（人 /） c n=lG3（zj； z壬 £ exp诟（T/）sin仇z）sin（%/）p 1拉普拉斯变换求解非稳态导热拉普拉斯变换的基本概念定义8=j f(T)d0为函数f (.)的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为：f()称

17、为拉氏变换的原函数，F (s)称为f (.)的象函数。式中s可以是重复变量。拉普拉斯变换存在的基础就是：函数£5)的拉普拉斯变换存在的条件是<Dr>0时，连续或分段连续”(2)当L0+时对某些数n(n<I)Tr"- l/(r) I是有界的养<3)当一8时，对某些正数bt是有界的.根据上述条件J (r)-r.当忑一 1时，其拉普拉斯变换不存在*拉普拉斯变换的基本性质拉氏变换有下述诸多性质.这些性质的町由定文式推导出来口 Lft r)J =F( j)»<( r= C( s )r线性性质M-/(r) + rjgtr)i- A(5)+(；($

18、)L 1 AX s) + nGQt) t = if( r) + r)式中“为常数2 位移性质(彖函数口变质位移)L/(r)eA = F(j b)3 .延迟性质(原日勺数自变锻位移)t/(r-6) x eW($)4 .相似性质(原日勺数或象两数自变就放大6倍)二*(打5.导数的拉氏变换L Fg = I4f)t(/(r) = sf(s) -/(O)L/R>(r)二心八,)(门八2(0)6 .积分的拉氏变换t(7(rOdf卜尸(3J2)J 0$代人丸氏变换的定义.然后交换枳分次库-此性质可证。积分区域如图3 1所示。7 .卷积定理两南数/仃)与g(r)的卷枳定义为：/gs/(r-*)g(&qu

19、ot;)df = /(f)g(r-f)dFISM附用rC积分变(3-13)I:硼个积分相等,称为卷枳的交换危证明如下：令/ :jy (f)g(r - f)d(- f) = " (/) g (r /)苏 J)(*)g(r f)df卷积定理为：(3-1M/-g) = F($)C(s)即闻个俪数牌枷氏变换等于它M自饥数的乘枳证明如下：Lif &)二/ (映仃 F) rdrJ o1J cT ; unrkA(lrrdr悦妙积分的机分K域如图却所示.交换机分次的二化对秋分：L (f-G =S*) g (r*ndr df令八一”则严刁言乍Wg ( r冷)"" dA当2

20、F时g当r *8 时,r”故：L(f*g)八=Fh)GR)I&象函数的微分圮理F(«) =/J-叭r)P(5)=/.(- r) V (r)即象函数每-次求导数”相当卜币函数乘一次(r),9.as*的枳分定理尸(皿二 A / (r) /r即象函数在区间(2)积分，相当于原函数除以r由拉普拉斯变换法求解导热问题时，首先得到的是象函数，要通过反变换才能得到温度分布的表达式。许多象函数的反变换可以从拉普拉斯变换中查得。为了充分发挥已有变换表的作用，要注意应用拉普拉斯变换的有关定理。由于象函数的多样性和复杂性，有时不可能从变换表中直接求得所需的反变换。这时，就得自己进行反变换运算，部分

21、分式法和回路积分法。1 .部分分式法若象函数F($)是多项式G($)和H($)之比，即F($)=G($)/H($),而且G($)的幕次低 于H($),则F(s)可以分解成部分分式设G的是$的次多项式，而小$)是$的加次多 项式，则m>no令ww=o,在复数城内可以得到加个根。这些根中,有单根和直根，有实根和复数 根，复根是以共辄形式成对出现的设H(c=o有如个单根、叫个重根，则有aH($)=($-s J ($ s"(L$" (sr J”，($ - $严而F($)可以分解成部分分式Z和很P< */嗨禹逸加.丫：川418)式中，Si是勿s六0的单根，而耳是谓6根g糠

22、拉普拉斯变换的线性定理，在对象函数进行拉普拉斯反变换时，只要对部分分 式进行.反变换，然后取其和即得，即(4-19)式中两种基本的部分分式的拉普拉斯反变换分 别为(4-20)(4-21)cJT =gcp(»r)根据部分分式原理，待定常数G由下式确定:Ci = l (s - sf) F(s) =limAv( DGe rs(刃_GG)上式中，Ht($J=dH(s)/dslr分式0/s户对应的原函数，可以根据拉普拉斯变换表并应用第函数微分定理而 导出，得422)卜乔如g器l(fexp($r)如果根中出现复根，一 定是成对出现的.一对共15复根的部分分式可表示为c*+c)1 ,&-4c<0)s +bs+c因力十''仝卞+中)+ c厂瞪2工Hs+广($+6+ “刃4 由拉普拉斯变换表及位移定律得护上亍口 -(4-23)例43巳知某函/(:)的象函数F($),F(沪肃菇村,试求该原函数/(r).WiG($) = 1, H($) = G+DC+1),由 H(s) = O,求得三个根,$I=T,升门，$3=淡二/二1),以和是共触根,F(6)的部分分式为F(”+缶* 一 . ： - # 1 ;求得c产0 5 J=-05八产05,由式(420)及式(M3)得原函数为.2 .回略积分法=0 - 5exp(-r)+sin(r