三角恒等变换知识总结及基础训练

1、第四讲三角恒等变形、三角恒等变形知识点总结1 .两角和与差的三角函数sin()sin coscossin；cos()cos cossinsin；tan()tantan1 mta n tan-o2 二倍角公式sin2 2sin cos；2 2 2cos 2 cos sin 2 cos 11 2sintan22ta n1 tan23 .三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等。(2 )化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量 使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。(1 )降幕公式1 . c- 2

2、1 cos 221 cos2sin cossin2-sin-cos22 2(2)辅助角公式其中 sin4 三角函数的求值类型有三类(1) 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消 去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于 变角”如()，2 ()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为 给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的 单调性求得角。5 三角等式的证明(1)三角恒等式的证题思路是根据

3、等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一 等方法，使等式两端化 异”为 同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或 分析法进行证明。asinx bcosxa2b2sin,cos、典例解析【题型 1】两角和与差的三角函数【例 1】已知sinsin1,coscos0，求 cos(）的值 。分析：因为（）既可看成是与的和，也可以看作是2的倍角,因而可得到下面的两种解法。解：由已知 sin+si nd .cos +cosn. 一一| |，=0.，2+2得2+2cos()1;cos ()1_ O222得cos2+cos2 +2cos

4、 ()= =1,即 2cos (）cos()1= 1。二cos1。点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cossin 、 cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，整体对应”巧应用。【例 2】已知tan ,tan 是方程 x25x 60 的两个实根,2ta n23ta n12 1311tan211 1原式 2sin2k -sin 2k3cos2k 31 -3。所以 tantantan5J 于是有k；k Z，1 tantan1 6解法二：由韦达定理得 tantan求2sin23s

5、incoscos的值。5, tantan 6，所以 tantantan1 tan tan2si n23si n原式2 sin51.1 6cos2cos2cos5, tantan 6，解法一：由韦达定理得tantan42242 2点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答x410本题的知识 最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论

6、等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式,变形式也要熟悉，如coscossinsincostan1tan tantantantantantantantantantantantantan tantan【题型 2】二倍角公式【例 3】化简：,2解：由1712又因 cos 43 ,sin5cosx coscoscos4sin x sin44J10，从而 sin x7、2,ta nx7.解：因为322，所以cos2又因2，所以122coscossincossin，2所以，原式=sin。2点评：（1 ）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限

7、于2 是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意2，44三个角的内在联系的作用，cos2 sin 222si n 4cos 4是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点,其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形sin 2cos2sin2， cos1 cos2 . 2 sin 21 cos2。【例 4】若cos3 175 1227求sin2x 2cos x的值。4，1 tan x2 -x2x,运用二倍角公式，问题就公难为易，化42繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时,般方法是拼角与拆角，y 取得最大值必须且只需 2x+ =

8、6+ 2knk z,即卩 x= 一 + knk Z。2 6所以当函数 y 取得最大值时，自变量x 的集合为 x|x=-Fknk Z o6原式22sin xcosx 2sin x迈2辽210 101 tan x2875点评：此题若将cos x43-的左边展开成5COAcosx sinsinx443-再求sin x,cos x的值，就很5等。【题型 3】辅助角公式【例 5】已知函数12y = cosx+223sinxcosx + 1, x R.2(1)(2)当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；y= sinx (x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到该函数的图象可由(1)1解：y =

9、 cos2x+23sin xcosx +12(2cos2x- 1)1, 3+(2sin xcosx) + 1441cos2x+-sin2x+4441=(cos2x in + sin2xCOS)2 6 6=g (2x +-)+5264繁琐，把x 作为整体，并注意角的变换4要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,(2)将函数 y= sinx 依次进行如下变换:把函数 y= sinx 的图象向左平移，得到函数 y = sin (x+ )的图象;6 -把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y= sin (2x+)的图象;6把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变

10、)，得到函数1尸2sin(2x+6)的图象;把得到的图象向上平移4个单位长度，得到函数1y= sin (2x+) +265的图象;综上得到函数 y=1cos2x+23sinxcosx + 1 的图象。2点评：引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式asinbcos其中 tanb，或asinabcosa2b2cos，其中 tan在历年咼考中使用频率是相b当咼的，应加以关注。【题型 4】三角函数式化简【例 6】已知函数f(x)12sin(2x -)(的第四象限的角)cosxtan4，求f ()的值。3解：因为tan4，且是第四象限的角，所以sin34,cos535,1故f (x)-J2sin(2-)c

11、os22sin 2 cos 2coscos2cos22sin coscos【题型 5】三角函数的值及周期2(cossin )【例 7】设函数f (x). 3cos2x sin xcos x a(其中0,a R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的4)=( )第一个高点的横坐标为(I)求3的值;(n)如果f(x)在区间5上的最小值为6,3，求 a 的值。解：f(x)子cos2si n22a sin(2 x依题意得(II )由(知,f (x) sin(x又当6时，x0,76，故sin(x )3从而f (x)在区间n5n,上的3 6【题型 6】三角函数综合问题【例例8】已知向量a (sin ,1),

12、b(1,cos ),(l)b,求(ll)求b的最大值。解: (1)r vago 0sin cos 0(2). a b(sin1,cos1),(sin2 21) (cos 1)sin222sin 1 cos 2cos 12(sincos ) 32 * 2 sin( 4) 3当sin(-)=1 时a b有最大值,此时4最大值为、于2j、基础训练、选择题：1 已知sin 2-，则cos2(3二、填空题:12.函数y 2sin x cosx的最大值为 _- 51112A.B.-c.D .-63232.函数f(x)sxcosx子宀的最小正周期和振幅分别是()A. n,1B. n,2C.2n,1D.2n,

13、23.设 sin(+1)=一，则sin2()437117A .-B.c.D.-9999f (x)与直线y 1的交点中，若相邻交点距离的4.f(x)拆拆Sin x cos x(0), x R.在曲线y最小值为，则f (x)的最小正周期为35.6.7.8.A.22B.3C.D.2sin 47osin 17ocos30oocos17A.B.已知sincos(0，A.B.D.1函数已知f(x)(1.3 tan x)cosx的最小正周期为f(x)sin2(xA. a+b= 0才)若 a=f (Ig5),b f他)则B. a-b= 0C. a+b=1D. a-b= 19.已知tan(x7)2,则型冬的值为

14、tan2x10.已知sin11 .函数ysin一x2cosx的最大值为6三、解答题:x_13.已知函数f(x) Acos,x R，且46(1)求f (x)的定义域及最小正周期;(2)求f (x)的单调递减区间。sin2x 1 cos2x 2 sin 2x 4x | x kn,k Z ，最小正周期为n.【答案】f(x)(sin x cos x)sin 2x(sin x cosx)2sin xcosxsin xsinx2(sinx cosx)cos x(2)原函数的单调递增区间为8 kkZ,，knk z。(2)设0,f4430f 428，求cos(231735【答案】 (1)fAcosAcos2A2,