第2章信号及其描述

1、第2章信号及其描述21 知识要点211 信号的分类及描述1信号有哪些类型？(1) 按信号随时间的变化规律分类。(2) 按信号幅值随时间变化的连续性分类。(3) 按信号的能量特征分类。2什么是确定性信号与随机信号？各有哪几种类型？其含义是什么？能明确地用数学关系式描述随时间变化关系的信号称为确定性信号。无法用明确的数学关系式表达的信号称为非确定性信号，又称为随机信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号。按一定时间间隔周而复始出现的信号称为周期信号，否则称为非周期信号。随机信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号两种。平稳随机信号是指其统计特征参数不随时间而变化的随机信号，否则为非平稳随机信号。

2、在平稳随机信号中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该随机过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机信号称为各态历经（遍历性）随机信号，它表明一个样本函数表现出各种状态都经历的特征，有充分的代表性，因此只要一个样本函数就可以描述整个随机过程。3什么是连续信号与离散信号？什么是模拟信号和数字信号？在一定时间间隔内，对任意时间值，除若干个不连续点（第一类间断点）外，都可给出确定的函数值，即时间变量t是连续的，此类信号称为连续信号。连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的，若时间变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号。在一定的时间间隔内，只在时间轴的某些离散点给出函数值，此类信号称为离散信号。离散

3、信号又可分为两种：时间离散而幅值连续的信号称为采样信号；时间离散且幅值离散（量化）的信号称为数字信号。4什么是能量信号与功率信号？当信号满足，则认为信号的能量是有限的，称之为能量有限信号，简称能量信号。若信号在区间的能量是无限的，即，但它在有限区间的平均功率是有限的，即这种信号称为功率有限信号，简称功率信号。5信号的描述方法有哪些？各有何意义？信号的描述方法有时间域（简称时域）、频率域（简称频域）、幅值域和时延域。用信号的幅值随时间变化的函数或图形来描述信号的方法称为时域描述；把时域信号通过数学处理变成以频率（或角频率)为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的函数表达式或图形来描述，这种描述信号

4、的方法称为信号的频域描述。信号的幅值域描述是以信号幅值为自变量的信号表达方式。以时间和频率的联合函数来同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，称为信号的时延描述。时域描述是信号最直接的描述方法，它反映了信号的幅值随时间变化的过程，从时域描述图形中可以知道信号的时域特征参数，即周期、峰值、均值、方差、均方值等。它们反映了信号变化的快慢和波动情况，因此时域描述比较直观、形象、便于观察和记录。频域描述可以揭示信号的频率结构，即组成信号的各频率分量的幅值、相位与频率的对应关系，因此在动态测试技术中得到广泛应用。信号的幅值域描述反映了信号中不同强度幅值的分布情况，常用于随机信号的统计分析。由于随机

5、信号的幅值具有随机性，通常用概率密度函数来描述。信号的时延描述是非平稳随机信号分析的有效工具，可以同时反映时间和频率信息，揭示非平稳随机信号所代表的被测物理量的本质，常用于图像处理、语音处理、医学、故障诊断等信号分析中。212 周期信号与离散频谱1狄利克雷(dirichlet)条件是什么？(1)信号在一个周期内只有有限个第一类间断点(当从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值)；(2)信号在一周期内只有有限个极大值或极小值；(3)信号在一个周期内是绝对可积分的，即应为有限值。2周期信号傅立叶级数有哪几种表示形式？如何用公式表示？周期信号傅立叶级数有三角函数表达式和复指数表达式。三角

6、函数表达式为： （2-1）式中，为信号的常值分量，。为信号的余弦分量幅值，。为信号的正弦分量幅值，。为信号的周期；为信号的基频，即角频率，n=1,2,3为信号的幅值，；为信号的初相位角，。复指数表达式为： （2-2） （2-3）3周期信号的频谱有什么特点？常见周期信号如何进行时域和频域描述？周期信号的频谱具有以下特点：(1) 离散性，频谱图中，每根谱线代表一个谐波成分，谱线的高度代表该谐波成分的幅值大小。(2) 谐波性，每条谱线只有在其基频整数倍的离散点频率处才有值。(3) 收敛性，谐波分量的幅值按各自不同的规律收敛。常见周期信号主要有正弦信号、余弦信号、三角波信号、方波信号、锯齿波信号和余弦

7、全波整流信号，它们的时域和频域描述如表2-1所示。4周期信号的强度指标有哪些？如何用公式表示？周期信号的强度通常是以峰值、绝对值、有效值和平均功率来表述。峰值用于描述信号在时域中出现的最大瞬时幅值，是指波形上与零线的最大偏离值，峰-峰值是信号在一个周期内最大幅值与最小幅值之差。周期信号中的均值是指信号在一个周期内幅值对时间的平均，周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值，信号中的有效值就是均方根值，有效值的平方，也就是说均方值就是信号的平均功率。公式表示如式（2-4）和式（2-5）所示。表2-1常见周期信号时域描述及频谱图名称及时域表达式时域波形幅频谱相频谱正弦余弦方波三角波锯齿波余弦全波整

8、流， （2-4）， （2-5）213 瞬变非周期信号与连续频谱1傅立叶变换及其反变换的表达式是什么？傅立叶变换的表达式为：或 （2-6）傅立叶反变换的表达式为：或 （2-7）2傅立叶变换有哪些主要性质？傅立叶变换主要性质如表2-2所示。表2-2傅立叶变换主要性质性 质时 域频 域性 质时 域频 域函数的奇偶虚实性实偶函数实偶函数频移实奇函数虚奇函数翻转虚偶函数虚偶函数共轭虚奇函数实奇函数时域卷积线性叠加频域卷积对称时域微分尺度改变频域微分时移积分函数下面积巴塞伐尔定理3典型信号有哪些？它们的频谱是什么？用图形表示。典型信号主要有单位脉冲信号、单位直流信号、单位阶跃信号、单位符号函数信号、单位斜

9、坡信号、方波信号、正弦信号、余弦信号等，它们的频谱及其图形如表2-3所示。表2-3 典型信号及其频谱时域图信号名称频谱频谱图单位脉冲1单位直流1单位阶跃单位符号函数非周期方波单边指数周期正弦周期余弦复杂周期信号周期单位脉冲序列单位斜坡单边正弦衰减正弦取样函数4非周期信号频谱有何特点？（1）非周期信号可分解成许多不同频率的正弦、余弦分量之和，但它包含了从零到无穷大的所有频率分量。（2）非周期信号的频谱是连续的。（3）非周期信号的频谱由频谱密度函数来描述，表示单位频宽上的幅值和相位（即单位频宽内所包含的能量）。（4）非周期信号频域描述的数学基础是傅立叶变换。214 随机信号1描述各态历经随机信号的

10、主要特征参数有哪些？各有何作用？(1) 均值、方差、均方值：描述信号强度方面的特征。(2) 概率密度函数：描述信号在幅值域中的特征，提供随机信号沿幅值域分布的信息；(3) 自相关函数：描述信号在时域中的特征。(4) 功率谱密度函数：描述信号功率密度沿频率轴的分布。(5) 联合概率密度函数：描述两个或两个以上各态历经随机信号在幅值域中的特征。(6) 互相关函数：描述两个或两个以上各态历经随机信号之间的相互依赖程度。(7) 互谱密度函数：描述相关信号的功率密度沿频率轴的分布。(8) 相干函数：描述两个或两个以上信号之间的因果性和相干性。2随机信号的均值、方差、均方值含义是什么？用公式表示。均值表示

11、信号的常值分量，各态历经信号的均值为： （2-8）式中，为样本函数；T为观测时间。方差描述随机信号的波动分量(交流分量)，它是偏离均值的平方的均值，即 （2-9）随机信号的强度可以用均方值来描述，它是平方的均值，代表随机信号的平均功率，即 （2-10）若将均方值开根号，就为均方根值，也称为有效值，即 （2-11）均值、方差和均方值之间的关系为： （2-12）3什么叫概率密度函数？用公式表示。随机信号的概率密度函数表示信号幅值落在指定区间内的概率。信号的幅值落在区间内的时间为，随机信号的概率密度函数为 （2-13）22 例题解析【例2.1】周期性三角波时域表达式如式2-14所示，时域图如图2.1

12、所示，试求其傅立叶级数的三角函数展开式及其频谱，式中周期为，幅值为A。 （2-14）图2.1 周期三角波信号解：由于为偶函数，故正弦分量幅值，而常值分量和余弦分量幅值分别为：当时，；当时，；当时，时；当时，；当时，；周期性三角波的傅立叶级数的三角函数展开式为：其三角函数展开式频谱图如图2.2所示。图2.2周期三角波的频谱【例2.2】周期方波如图2.3所示，分别用傅立叶级数的三角函数展开式和复指数展开式求频谱，并作频谱图。图2.3周期方波解：周期方波在一个周期内的时域表达式为： （2-15）利用傅立叶级数的三角函数展开式求其幅、相频特性。因该函数是奇函数，奇函数在对称区间积分值为0，所以 因此有

13、： （2-16）根据式（2-16），幅频谱如图2.4所示。幅频谱只包含基波和奇次谐波的频率分量，且谐波幅值以1/n的规律收敛；相频谱中各次谐波的初相位均为零。 图2.4周期方波频谱图利用傅立叶复指数函数展开式求其幅、相频特性，周期方波傅立叶级数指数展开式频谱图和相频图如图2.5所示。图2.5周期方波双边频谱图解析：三角函数展开形式的频谱是单边谱(从0到)；复指数展开形式的频谱是双边谱(从-到)，而且两种形式的幅频谱图有确定的关系三角函数展开式中次谐波分量，在复指数展开式中为两项(与共轭,即，且)，双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。【例2.3】矩形窗函数 时域表达式如式2-17所示，时域图

14、如图2.6所示，求其频谱并作频谱图 （2-17）图2.6矩形窗函数解：利用傅立叶变换求其频谱为：幅值频谱为其相频谱为矩形窗函数的幅频图如图2.7(a)所示，相频图如图2.7(b)所示。(a) 幅频图 (b) 相频图图2.7 窗函数的频谱解析：矩形窗函数在时域中有限区间取值，但频域中频谱在频率轴上连续且无限延伸。由于实际工程测试总是时域中截取有限长度(窗宽范围)的信号，其本质是被测信号与矩形窗函数在时域中相乘，因而所得到的频谱必然是被测信号频谱与矩形窗函数频谱在频域中的卷积，所以实际工程测试得到的频谱也将是在频率轴上连续且无限延伸。【例2.4】余弦信号如图2.8（a）所示，窗函数如图2.8（b）

15、所示，求被截取后的余弦信号如图2.8(c)所示的频谱函数，该信号时域的表达式如式（2-18）所示，示意画出该截取信号的幅频图，试分析当增大或减小时，幅频图有何变化。 （2-18）解法1：令则而由傅立叶变换的卷积性质、函数与其他函数的卷积特性可得所以、和的频谱示意图如图2.8(d)(f)所示。又由傅立叶变换的时间改变特性可知，当增加时，其频谱将变窄，即频带宽度以为中心变窄，而幅值将增高；若减小时，则与上述情况相反。 (a) 余弦信号 (b) 窗函数 (c) 被截取后的余弦信号 (d) 余弦信号的幅频图 (e) 窗函数的幅频图 (f) 被截取的余弦信号的幅频图图2.8 余弦函数被窗函数截取的信号及

16、其频谱解法2：在范围内，满足狄利克雷条件，则有解析：截断就是将无限长的信号乘以有限宽的窗函数，即，因为和为特殊函数，其傅立叶变换和都为已知，所以由傅立叶变换的卷积性质和函数与其他函数的卷积性质，就可方便地求出。第二种解法虽然可直接求得结果，但积分比较复杂，而第一种方法解题过程简单，既避免了繁杂的纯数学运算，又可加深对信号定义、傅立叶变换性质以及典型信号频谱的理解与掌握，通过灵活地运用各基本概念，使解题时思路开阔。【例2.5】信号的傅立叶变换为，其图形如图2.9(a)(b)所示。试求函数的傅立叶变换，并画出其图形。 (a) 时域信号x(t) (b) x(t)的幅频图(c) f(t)的幅频图图2.

17、9 信号x(t)及其频谱解：该题为求两个信号相乘后的频谱及其图形，根据余弦函数的频谱函数和傅立叶变换的卷积性质可方便地求出结果。由于则而所以的图形如图2.9(c)所示。解析：由上述计算过程可知，为了使解题过程简单明了，熟悉和灵活应用基本概念、性质及典型函数的傅立叶变换结果是非常重要的。【例2.6】求符号函数 如图2.10(a)所示和单位阶跃函数如图2.11(a)所示的频谱。解法1：(1)因为符号函数不满足绝对可积条件，但却存在傅立叶变换，为广义傅立叶变换，可以把符号函数看作为双边指数衰减函数如式所示： （2-19）其傅立叶变换为： 其幅值谱为：，相位谱为： 图2.10(b)所示为符号函数的幅值

18、谱和相位谱图(a) (b)图2.10符号函数及其频谱(2)阶跃函数可表示为：由于，所以阶跃函数的频谱为：阶跃函数的频谱图如图2.11(b)所示，相频特性当，当，。X() 图2.6.5 阶跃信号频谱0(a) (b)图2.11阶跃信号的频谱解法2：由于符号函数的导数为，根据式傅立叶变换的微分性质有：，而，所以，从而可得符号函数的傅立叶变换为：由于单位阶跃信号不满足绝对可积条件，不能直接由定义式给出其频谱，可把它看成当时的指数信号在时域上的极限，其频谱为的频谱在时的极限。单边指数信号在时域上可表示为如图2.12（a）所示其傅立叶变换为其幅度谱、相位谱分别为，频谱图如图2.12（b）、（c）所示。把单

19、边指数信号的频谱分解为实频与虚频两部分，有设当时，实频和虚频的极限分别为和为，有而，可以看出，为一种脉冲函数，且，并有因此阶跃信号的频谱为x(t)图2.12单边指数信号及其频谱(a) (b) (c) X()()11/20t0t0-/2解析：符号函数可以看作用来切换极性的开关函数，它是由不同极性的阶跃信号（单边直流信号）组成，由于存在极性的跳变，因而不仅具有丰富的低频分量，还有高频分量。单位阶跃信号的幅频特性在有个冲激，说明主要成分为直流，另外由于有突跳，所以在还存在其它频率成分，不过随着频率的增加而较快的衰减。【例2.7】一时间函数及其频谱函数图如图2.13所示，已知函数，设 为中最高频率分量

20、的角频率，试画出和的示意图形，当时，的图形会出现什么样的情况？ (a) 的时域波形 (b) 的频谱图2.13 的时域波形及其频谱解：的图形如图2.14(a)所示，为余弦信号，其频谱如图2.14(b)所示，根据脉冲信号和傅立叶卷积特性，的频谱如图2.14(c)所示，当时，两边图形在中间位置发生混叠，导致失真，如图2.14(d)所示。 (a) 的时域波形 (b) 的频谱 (c) 的频谱 (d) 时的的频谱图2.14及其频谱【例2.8】求正弦信号（）的绝对均值和均方根值。解：【例2.9】求余弦信号的均值、均方值和概率密度函概数。解：对周期信号，只取一个周期分析，该信号周期为，均值均方值概率密度函数为

21、余弦信号为周期信号，其概率密度函数等于一个周期内该信号概率密度函数,当时，而，所以从而可得【例2.10】已知周期方波的傅立叶级数如式（2-20）所示，求该方波的均值、频率组成及各频率的幅值，并画出频谱图。 （2-20）解：由所给傅立叶级数知：，所示均值由等频率的余弦信号组成，对应于频率的幅值是，按所给级数形式，可画出单边频谱图如图2.15所示： 幅频谱图 相频谱图图2.15周期方波的频谱23 习题1判断题2-1两个周期比不等于有理数的周期信号之和是周期信号；2-2所有随机信号都是非周期信号；2-3所有周期信号都是功率信号；2-4所有非周期信号都是能量信号；2-5模拟信号的幅值一定是连续的；2-

22、6离散信号就是数字信号。2-7凡频谱是离散的信号必然是周期信号。2-8满足狄氏条件的周期信号可以用傅氏级数展成余弦信号和的形式。2-9任何周期信号都由频率不同，但成整倍数的离散的谐波叠加而成。2-10周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱也是离散的。2-11周期单位脉冲序列的频谱仍为周期单位脉冲。2-12非周期信号是周期为无穷大的周期信号。2-13非周期变化的信号就是随机信号。2-14单边频谱和双边频谱是信号等价的描述方法。2-15脉冲信号的频谱等于常数。2-16非周期信号的幅值谱表示的是其幅值谱密度与时间的函数关系。2-17非周期信号不是确定性信号。2-18周期信号各次谐波的频率只能是基波

23、频率的整数倍。2-19周期信号的谐波分量是依一定规律集中在一些离散的频率上，非周期信号则是依一定密度分布在到无穷的连续频带内。2-20各态历经随机过程是平稳随机过程。2选择题2-21描述周期信号的数学工具是 。A.相关函数；B.傅氏级数；C.拉氏级数；D.傅氏变换2-22如果一个信号的频谱是离散的，则该信号频率成分是 。A.有限的；B.无限的； C. 可能是有限的，也可能是无限的 2-23描述非周期信号的数学工具是 。A.三角函数；B.拉氏变换；C.傅氏变换；D.傅氏级数2-24连续非周期信号的频谱是 。A. 离散、周期的；B. 离散、非周期的；C.连续、非周期的；D. 连续、周期的2-25时

24、域信号持续时间压缩，则频域中低频成分 。A.不变；B.增加；C.减少；D.变化不定2-26时域信号持续时间延长，则频域中高频成分 。A.不变；B.增加；C.减少；D.变化不定2-27任意函数和函数的卷积，就是 。A将该函数在自己的横轴上分散到函数所对应的位置 ；B将该函数在自己的横轴上平移到函数所对应的位置 ；C将函数平移到该函数所对应的位置；D将函数分散到该函数所对应的位置2-28将时域信号进行时移，则频域信号将会 。A.扩展；B.压缩；C.不变；D. 仅有相移2-29不能用确定的函数关系描述的信号是 。A.复杂周期信号；B.瞬态信号；C.随机信号；D.离散信号2-30平稳随机过程必须是 。

25、A.连续的；B.各态经历的；C.集合平均统计特征与时间无关；D.时间平均统计特征等于集合平均统计特征2-31概率密度函数是在 域、相关函数是在 域上来描述的随机信号。A.时间；B.空间；C.幅值；D.频率2-32周期性单位脉冲序列在数学上具有 功能，因此又称 函数。A.提取，周期间隔；B.采样，等间隔；C.采样，等间隔周期；D.采样 采样2-33随机信号的静态分量在数学上用 表示。A.均值；B.均方值；C.均方差；D.均方根值2-34表示随机信号中动态分量的统计参数是 。A.均方值；B.均值；C. 均方差；D.概率密度函数2-35傅立叶级数中的各项系数表示个谐波分量的 。A.相位；B.周期；C

26、.振幅；D.频率 2-36如果,根据傅立叶变换的 性质，则有。A.时移；B.频移；C.相似；D.对称2-37瞬变信号的频谱为，则表示 。A.信号的一个频率分量的能量；B.信号沿频率轴的能量分布密度；C.信号的瞬时功率； D.信号的均方值 2-38已知，为单位脉冲函数，则积分的函数值为 。A.5；B.0；C.10；D.任意值 2-39如果信号分析设备的通频带比磁带记录下的信号频带窄，将磁带记录仪的重放速度 ，则也可以满足分析要求。A.放快；B.放慢；C.反复多放几次；D.不变2-40数字信号的特征是 。A.时间上离散、幅值上连续；B.时间、幅值上均离散；C.时间、幅值上都连续；D.时间上连续、幅

27、值上量化3填空题2-41确定信号可分为_和_两类，前者频谱具有的特点是_，后者的频谱具有特点是_。2-42信号的有效值又称_；有效值的平方称_，它反映信号的_。2-43余弦函数只有 图，其图形关于 对称，正弦函数只有 图，其图形关于 对称。2-44工程中常见的周期信号，其谐波幅度总的趋势是随着_而_的，因此，在频谱分析中，没有必要取那些_的谐波分量。2-45在某周期方波信号的傅立叶级数式：和周期三角波信号的傅立叶级数式：中，信号的直流分量分别是_和_，方波信号的幅值收敛速度比三角波信号_，叠加复原达到同样的精度要求时，方波信号比三角波信号需要更多的_，因此对测试装置要求更宽的_。2-46绘制周

28、期信号的单边频谱图依据的数学表达式是 ，而双边频谱图的依据数学表达式是 。2-47周期信号的傅氏三角级数是从 到 展开的，傅氏复指数级数是从 到 展开的。2-48动态信号的描述可在不同的域中进行，它们分别是 、 和 。2-49非周期信号时域和频域对应的关系式为= ；= 。2-50若时间信号的傅立叶变换时，则的傅立叶变换是 （k>0）。2-51对于非周期信号，当时间尺度在压缩时，则其频谱频带_，幅值_，例如将记录磁带_，即是例证。2-52单位脉冲函数与在点连续的模拟信号有积分式=_，这个性质称为_。2-53 为有限值时，称为 信号。所以瞬变信号属于 ，而周期信号则属于 。2-54已知傅氏变

29、换对和，当时，则 。2-55窗函数的频谱是，则延时后的窗函数的频谱是 。2-56周期信号与瞬态信号都可以用 来表示。周期量的频谱和瞬态量的频谱区别在于：前者是 ，后者是 。周期量的幅值谱的纵坐标表示 ，瞬态量的幅值谱的纵坐标表示的是 。2-57单位脉冲函数的频谱为 ，它在所有的频段上都是 的。2-58均方差表示信号的_，方差表示信号的_。2-59随机信号的概率密度函数是 ，它提供了 的信息。2-60在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则该过程叫_。4问答题2-61判断下列信号是否是周期的，如果是周期的，确定其最小周期。（1）；（2）；（3）；（4

30、）；2-62试指出下列信号哪些为能量信号？哪些为功率信号？或者两者都不是，哪些是周期信号？若为周期信号，试确定其周期。；。2-63粗略绘出下列各函数的波形（1）；（2）；（3）。2-64粗略绘出下列各函数波形(1)；(2)；(3)。2-65分别指出下列波形的直流分量是多少？（1）全波整流；（2）；（3）；（4）。2-66试指出是下面哪一种运算的结果：（1）左移6；（2）右移6；（3）左移6；（4）右移6；（5）左移2；（6）右移2；（7）左移2；（8）右移2。2-67什么是单位脉冲函数？有什么特性？如何求其频谱？2-68正弦信号有何特点？如何求其频谱？2-69如何求余弦信号的频谱？2-70什么

31、是单位斜坡信号？如何求其频谱？2-71什么叫直流信号？如何求其频谱？有何特点？2-72求指数函数的频谱和双边指数函数的频谱。2-73什么是周期单位脉冲序列函数？如何求其频谱？2-74试求图2.16所示三个矩形脉冲信号的频谱，设脉宽为，脉冲重复间隔为。图2.16三个矩形脉冲信号2-75 求指数衰减振荡信号的频谱。2-76周期矩形脉冲信号的波形如图2.17所示，并且已知，试求该信号频谱中的谱线间隔和信号带宽。图2.17周期矩形脉冲信号2-77什么是白噪声信号？有何特点？举例说明2-78什么叫信号的频带宽度？如何确定？2-79什么叫一维正态分布随机信号？其概率密度曲线有何特点？2-80什么叫样本参数

32、、参数估计和统计采样误差？5分析与计算题2-81从示波器光屏中测得正弦波图形的“起点”坐标为（0，-1），振幅为2，周期为4，求该正弦波的表达式。2-82设有一组合复杂信号，由频率分别微724，44，500，600的同相正弦波叠加而成，求该信号的周期。2-83已知一连续时间信号如图2.18所示，试概略地画出信号的波形图。图2.18连续时间信号图2-84利用函数的抽样性质，求下列表示式的函数值：（1）；(2)；(3)；（4）；(5);(6)2-85锯齿波信号如图2.19所示，求其傅立叶级数展开。图2.19锯齿波信号2-86求图2.20中周期方波的三角函数形式的傅立叶级数和复指数形式的傅立叶级数。

33、图2.20 周期方波-T/2-T/40T/4T/2x(t)t1-12-87求周期矩形脉冲信号的频谱，作出频谱图并进行分析。设该周期矩形脉冲幅度为E，脉宽为，周期为T。如图2.21所示。图2.21 周期矩形脉信号冲信号TE0-T/2-TT/2t-/2/22-88求正弦信号的单边、双边频谱、实频图、虚频图，如果该信号延时后，其各频谱又如何变化？2-89已知和的波形如图2.22(a)，(b)所示，试计算与的卷积积分。（a） （b）图2.22 和的波形图2-90若试证明时域卷积定理和频域卷积定理。2-91利用傅立叶变换的性质求 傅氏变换。2-92利用时域微分性质求图2.23所示三角脉冲信号的傅立叶变换

34、。图2.23 三角脉冲信号2-93利用频域微分性质求斜变函数的傅立叶变换。2-94已知为矩形脉冲信号，求的傅立叶变换。2-95已知满足绝对可积条件，其傅立叶变换为，求的傅立叶变换。2-96已知，求2-97已知的傅立叶变换为，利用傅立叶变换的性质求的傅立叶变换表达式。2-98已知，求其频谱2-99求图2.24所示的三角调幅信号的频谱。图2.24三角调幅信号2-100 什么叫梳状函数，如何求其傅立叶变换？24 习题解答1判断题解答2-1×；2-2×；2-3；2-4×；2-5；2-6×；2-7×；2-8；2-9×；2-10×；2-

35、11×；2-12；2-13×；2-14；2-15×；2-16×；2-17×；2-18；2-19×；2-20。2选择题解答2-21 B；2-22 C；2-23 C；2-24 C；2-25 B；2-26 C；2-27 B；2-28 D；2-29 C；2-30 D；2-31 C、A；2-32 D；2-33 A；2-34 C；2-35 C；2-36 A；2-37 B；2-38 C；2-39 B；2-40 B。3填空题解答2-41周期信号；非周期信号；离散的；连续的2-42均方根值；均方值；强度2-43实频；纵轴；虚频；原点2-44谐波次数增加

36、；衰减；高次2-45 A；A/2；更慢；谐波分量；工作频带2-46傅立叶级数三角函数表达式中的各项系数；傅立叶级数指数表达式中的各项系数2-47 0；+；-；+2-48时域；频域；幅值域2-49；2-502-51展宽；降低；慢录快放2-52；脉冲采样2-53能量有限；能量有限信号；功率有限信号2-542-552-56频谱；离散的；连续的；各次谐波的幅值；频谱密度2-57 1；等强度2-58信号的波动量；信号绕均值的波动程度2-59表示信号幅值落在指定区间的概率；随机信号幅值分布2-60各态历经随机过程(或遍历随机过程)4问答题解答2-61答：（1）是周期信号，；（2）是周期信号，；（3）是非周

37、期信号；（4）是非周期信号；2-62答：（1）功率信号；（2）能量信号；（3）功率信号；（4）能量信号；（5）功率信号（周期）；（6）两者都不是。（1）是周期信号，周期T=1；（5）是周期信号，周期T=0.1。2-63答：（1）是由阶跃信号经反折得（-），然后延时得=+3），其图形如图2.25（a）所示。（2）因为。其波形如图2.25(b)所示。(3)是两个阶跃函数的叠加，在时相互抵消，结果只剩下了一个函数，其波形如图2.25(c)所示。(a) (b) (c)图2.25 习题2-63解图2-64答：(1)具有延时的正弦函数乘积其波形图如图2.26（a）所示；（2）正弦函数与具有延时的单位阶跃函

38、数的乘积。波形图如图2.26（b）所示；(3)具有延时的正弦信号与延时相同时间的阶跃信号的乘积。波形图如图2.26（c）所示；(a) (b) (c)图2.26 习题2-64解图2-65答：（1）的周期为，所以直流分量为：（2），因为在一个周期内均值为0，所以。（3）因为和周期均为，且在一个周期内均值都为0，所以。（4）因为在一个周期内均值为0，所以2-66解：由于。该函数并经反折得且右移2（延时2）而获得。故上述8种选择只有（8）是正确的。2-67答：（1）单位脉冲函数的定义在时间内矩形脉冲(或三角形脉冲及其它形状脉冲)，其面积为1,当时，的极限，称为函数。函数用标有1的箭头表示。显然(t)的

39、函数值和面积(通常表示能量或强度)分别为： （2）函数的性质1）积分筛选特性当单位脉冲函数与一个在处连续且有界的信号相乘时，其积的积分只有在处得到，其余各点之乘积及积分均为零，从而有类似地，对于这就表明，当连续时间函数与单位冲激信号或者相乘，并在时间内积分，可得到在点的函数值或者点的函数值，即筛选出或者。2）冲激函数是偶函数，即3）乘积（抽样）特性若函数在处连续，则有4）卷积特性任何连续信号和的卷积是一种最简单的卷积积分，结果仍然是该连续信号，即同理，对于时延单位脉冲，有可见，信号和函数卷积的几何意义，就是使信号延迟脉冲时间。（3）函数的频谱图2.27 单位冲激信号及其频谱单位脉冲信号的傅立叶

40、变换等于1，其频谱如图2.27所示。这一结果表明，在时域持续时间无限短、幅度为无限大的单位冲激信号，在频域却要分解为无限宽度频率范围内幅度均匀的指数分量。2-68答：正弦型信号具有如下特点：（1）两个同频率的正弦信号相加，虽然它们的振幅与相位各不相同，但相加结果仍然是原频率的正弦信号；（2）一个正弦信号的频率等于另一个正弦信号频率的整数倍，则其合成信号是非正弦周期信号；（3）正弦信号对时间的微分与积分仍然是同频率的正弦信号。利用欧拉公式及其傅立叶变换有：正弦信号频谱图如图2.28所示图2.28 正弦信号频谱图2-69解：利用欧拉公式，余弦信号可以表达为： 根据傅立叶变换性质，其傅立叶变换为 余

41、弦信号的频谱图如图2.29所示图2.29余弦信号的频谱图2-70答：斜坡信号也称为斜变信号或斜升信号，指从某一时刻开始随时间成正比例增长的信号。如果增长的变化率为1，称为单位斜坡信号。其表达式为也可表示成由傅立叶变换的性质即=2-71答：幅度为常数的信号为直流信号。由于单位脉冲信号的频谱是常数，那么直流信号的频谱应该是脉冲信号，根据函数的抽样性质有：所以，即，或直流信号的频谱图如图所示，可以看出直流信号的频谱是位于处的脉冲函数，幅值为。（a） (b)图2.30直流信号的频谱图2-72解：（1）单边指数函数表达式为： 式中为正实数，单边指数信号如图2.31(a)所示。(a) 单边指数函数 (b)

42、 幅度频谱 (c) 相位频谱图2.31 单边指数信号的波形及其频谱单边指数信号频谱为：幅度和相位分别为频谱如图2.31（b）、（c）所示。（2）双边指数信号双边指数信号如图2.32(a)所示，其时间表示式为，其中为正实数。傅立叶变换为：双边指数信号的傅立叶变换是一个正实数，相位谱等于零。幅频谱如图2.32（b）所示。由于双边指数信号为实偶对称函数，则为的实偶对称函数。(a) 双边指数信号 (b) 幅度谱图2.32双边指数信号的波形及其频谱2-73解：周期单位脉冲序列函数（又称采样函数）表达式为 式中为周期，频率因为周期脉冲序列函数为周期函数，所以可以写成傅立叶级数的复数形式 利用函数的筛选特性

43、，系数Cn 为： 因此，有周期单位脉冲序列函数的傅立叶级数的复数表达式：根据傅立叶变换性质有：从而可得周期单位脉冲序列函数的频谱为：周期单位脉冲序列的频谱仍是周期脉冲序列。时域周期为，频域周期则为；时域脉冲强度为1，频域脉冲强度则为。2-74解：设表示中间的矩形脉冲信号，相应的频谱函数前已求出，即由图2.16可知应用时移性质可得其频谱函数为设，的频谱如图2.33所示。图2.33 习题2-74解图2-75解：由于并且所以利用傅立叶变换的线性性质可得：2-76解：谱线间隔为或信号带宽为或2-77答：白噪声信号是指信号的均值为零，功率谱密度在整个频域内为非零常数的噪声信号。白噪声在各个频段上的功率是

44、一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，我们常常将有限带宽的平整信号视为白噪声信号，白噪声在数学处理上比较方便，是信号分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。2-78答：把信号频谱中幅值下降到最大幅值的1/10时所

45、对应的频率作为信号的频带宽度，也称为1/10法则。信号的频宽可以根据信号的频域波形确定，也可以根据信号的时域波形粗略的确定。对于有突变的信号，其频带宽度较宽，可取其基频的10倍为频宽；对于无突变的信号，其信号变化较缓，频宽较窄，可取基频的3倍为频宽。2-79答：若随机信号的概率密度为，则该信号为一维正态分布随机信号，其概率密度曲线如图所示，该曲线以为对称轴，在均值处的最大，在信号最大、最小幅值处最小；越大，概率密度曲线越平坦；当时，。2-80答：从随机信号中截取有限时间的样本记录来计算出相应的特征参数称为样本参数；使用有限数目的样本记录来计算相应的样本参数并作为随机信号特征参数的估计值称为参数

46、估计；由有限样本记录获取样本参数，以此样本参数作为随机信号特征参数的估计值所带来的误差称为统计采样误差。5分析计算题解答2-81解：已知幅值A=2，频率=0.5，而在时，则将上述参数代入一般表达式得，所以）2-82解：合成信号的频率是各组成信号频率的最大公约数，则：44，724，500，600222 362 250 300211 181 125 150而，所以该信号的周期为0.25s。2-83解：是经反折，尺度变换并延时后的结果。不过三种信号运算的次序可以任意编排，因此该类题目有多种解法。以下介绍其中的两种求解过程。方法一：信号经反折尺度变换延时（1）反折：将反折后得，其波形如图2.34(b)所示。（2）尺度变换；将波形进行时域扩展得，其波形如图2.34 (c)所示。（3）延时：将中的时间延时6，得，即可获得变换后的信号。（4）因为，其最终波形如图2.34(d)所示。方法二：信号经尺度变换反折延时。（1）尺度变换：将在时域中扩展，得，其波形如图2.34(e)所示。（2）反折：将反折，得，其波形如图2.34(f)所示。（3）延时：将中的延时6，即将原波形向右平移6，得。同样可得变换后的信号，其波形如图2.34（g）所示。(a) (b) (c)(d) (e)(f) (g)图2.34 习题2-83解图2-84解：（1）由于，则（2）这里应注