第2章平稳随机过程

1、第2章 平稳随机过程21平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。随机过程，当变化时，得一系列随机变量：，。具有“平稳”性，是指的变化稳定，不“大起大落”，各具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。在统计学中，往往假设满足“独立同分布”（）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。211严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程的维概率密度（或维分布函数）不随时间起点选择不同而改变。即：对任何和，过程的概率密度满足：则称为严平稳过程。二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程的一维概率密度与时间无关；严平稳过程的二维概率密度只

2、与、时间间隔有关。证明：当1时，对任何，有。取，则有。当2时，对任何，有。取，则。三、严平稳过程的数字特征（1）若是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。证明：（2）若是严平稳过程，则它的自相关函数只是间间隔的单变量的函数。证明：212宽平稳过程引言：要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。一、 定义若随机过程的数学期望为一常数，其自相关函数只与时间间隔有关，且它的均方值有限，即：则称为宽平稳过程（或广义平稳过程）。二、举例：例1设随机过程，与为常数，为在上均匀分布的随机变

3、量，证明是平稳过程。证明：可见，是宽平稳过程。例2，设，式中是随机变量，讨论、的平稳性。解：是平稳过程，因为：不是平稳过程，因为：例3设随机过程，是在上均匀分布的随机变量，只能取整数，证明是平稳过程。证明：022遍历性过程引言：在实用中，如何求的数字特征？以为自变量，是一曲线族。对的测量（考查）时，严格意义上讲，无法同时得到多条曲线。问题：只获得一条曲线时，能否准确得到的数字特征？2.2.1遍历性过程定义一、随机过程的时间均值、时间自相关函数的含义是：当固定时，是随机变量的均值。当变动时，相对于时间的均值如何求？在时间，以为时间间隔，等间距的抽取个点（），得，其平均值为在随机过程沿整个时间轴的

4、两种时间平均分别称为时间均值和时间自相关函数。与都是随机变量。二、 遍历性过程定义设是平稳过程，若满足：（1）以概率1成立，则称的均值具有各态遍历性。（2）以概率1成立，则称的自相关函数具有各态遍历性。（3）当时，以概率1成立，则称的均方值具有各态遍历性。如果的时间均值、时间自相关函数、时间均方值都具有遍历性，则称是遍历过程。2.2.2计算举例例4设随机过程，与为常数，为在上均匀分布的随机变量，讨论的遍历性。解：是遍历过程，因为：例5，是随机变量，讨论的遍历性。解，不是遍历过程，因为：，而是随机变量，所以。原因分析：的取值与时间无关，当时间变动时，可能取某个随机值而变动。2.2.3、随机过程具

5、备遍历性的条件一、遍历过程必须是平稳的。（平稳过程不一定是遍历的）。二、平稳过程的均值具备遍历性的充要条件是：三、 平稳过程的自相关函数具备遍历性的充要条件是：式中四、 对于正态平稳过程，若均值为0，自相关函数连续，此过程具备遍历性的一个充要条件是：。23随机过程统计特征的实验研究方法引言：遍历过程的有一个很实际的意义：用时间均值来代替随机变量的均值，即用一个历程（一次样本函数）来获取数学期望、自相关、均方值等数字特征。在具体的工程应用中，需要等间距离散采样，获取的是离散随机数据，具体如下：以单位时间为时间间隔，等间距的抽取个点，得个随机变量，或记为，。在工程应用中，得到的是一组样本值，, .

6、利用，, 来计算随机过程的统计特征，是工程中常用的方法。2.3.1、均值估计具有遍历性，用时间均值来估计：是的无偏估计，也是极大似然估计。2.3.2、方差估计具有遍历性，已知方差的估计为：此估计是极大似然估计，是无偏估计。未知，方差的估计为：此估计是渐近无偏估计。2.3.2、自相关估计按定义，。是的渐近无偏估计。2.4平稳过程相关函数的性质2.4.1平稳过程自相关函数的性质12，自相关函数是偶函数。，自协方差函数是偶函数。证明：3，即自相关函数在时具有最大值。同样，即自协方差也在时具有最大值。证明：4若随机过程满足，称是周期平稳过程，其中为过程的周期。周期过程的自相关函数必为周期函数，且与周期

7、过程的周期相同。证明：5若含有一个周期分量，则也含有一个相同的周期分量。设，为周期分量，与相互独立。是周期分量。6若平稳过程中不含有任何周期分量，则有，证明：当增大时，与的相关性会减弱，当时，有与相互独立，7证明：8.平稳过程的自相关函数必须满足2.4.2相关系数与相关时间1相关系数：2相关时间：当很大时，与不相关。常定出某一个时间，当时，就可认为与实际上已不相关，这个时间就称为相关时间。2.5随机过程的联合概率分布和互相关函数引言：在实际工作中，常常需要同时研究两个或两个以上随机过程的统计特性。如，接受机输入端有信号和噪声，二者可能均是随机过程。2.5.1 两个随机过程的联合概率分布设两个随

8、机过程和，它们的概率密度分别为定义这两个过程的维联合分布函数为：这两个过程的维联合概率密度为：若有或则称随机过程和是相互独立的。2.5.2 互相关函数一、定义：两个随机过程和，在任意两个时刻、的取值为随机变量和，则它们的互相关函数定义为：过程和的中心化的互相关函数（互协方差函数）定义为：或若或，则称随机过程和互为正交过程。若或，则称随机过程和互为不相关。当我们同时观测两个宽平稳随机过程和时，如果它们的互相关函数函数是时间差的单变量函数时，即，则称过程和为联合宽平稳或平稳相依。二、性质（1）（2）（3）（4）互相关系数显然，。当时，两个平稳过程和互不相关。2.6复随机过程2.6.1复随机变量一、

9、复随机变量定义：式中与皆为实随机变量。二、复随机变量的数学期望三、复随机变量的方差其中。所以，。四、两个复随机变量的相关矩记表示的复共轭，定义两个复复随机变量与的相关矩为：当时，。若满足，即，则称与为不相关。若满足，则称与为正交。对于两个复复随机变量与而言，要涉及四个变量、的联合概率分布，若满足：则称与相互独立。2.6.2复随机过程一、复随机过程定义：式中与皆为实随机过程。二、复随机过程的数字特征1、概率密度复随机过程的统计特征可以由与的联合概率密度为2 期望3、方差4、自相关函数5、自协方差函数（中心化自相关函数）当时，。6、平稳复随机过程 若则称为宽平稳的复过程。7、互相关与正交两个复过程

10、与，互相关函数与互协方差定义为：若，则称两个复过程与不相关。若，则称两个复过程与正交。2.7正态随机过程回顾：一维正态随机变量：设是服从正态分布的随机变量，则其概率密度函数为二维正态分布：若是二维正态随机变量，二维正态联合概率密度函数为：其中，2.7.1正态随机过程一般概念对于随机过程，在任意个时刻（），有个随机变量， 记，则正态过程的维概率密度函数为：2.7.2平稳正态随机过程若正态随机过程的期望与时间无关，相关函数只取决于时间差值，即，这时称正态过程是宽平稳的。若正态过程为平稳过程，则概率密度中的参数矩阵中的计算会变得简单。2.7.3正态随机过程的性质性质1：正态过程由数学期望与协方差完全确定。即由完全确定。性质2，正态过程的严平稳与宽平稳是等价的。性质3，正态过程的不相关与独立是等价的。性质4，平稳正态过程与确定信