必修第二章平面向量的基本概念及线性运算

1、2.1平面向量的实际背景及基本概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量1 向量的几何表示：可以用有向线段AB表示，其中A为起点，E为终点。有向线段的方向表示向量的方向；有向线段的长度表示向量的大小；用有向 线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系. 向量的大小叫做向量的长度或模，记做|忌| 。零向量长度为零的向量零向量的方向是任意的。单位向量长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平行或共线 向量平行不同于几何中的平行，向量平行包括在同一直线上的情况。T T T TT TT向量的平行不具备传递性：即a b，b c汽a c，这是由于当bT T为零向

2、量时，a与c可以是任意向量；非零向量的平行具备传递性相等向量长度相等且方向相同的向量 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，而与有向线段的 起点无关。 在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量。 相等向量一定是共线向量相反向量长度相等且方向相反的向量零向量的相反向量为零向量题型一、平面向量的概念辨析例1. 下列说法中正确的是 非零向量a与非零向量b共线，向量b与非零向量c共线，则向量a与向量c共线； 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； 向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角； 零向量模为0，没有方向； 始点相同的两个非零向量不平行；

3、 两个向量相等，它们的长度就相等； 若非零向量AB与CD是共线向量，则A B、C、D四点共线。 两相等向量若起点相同，则终点也相同； 若 a = b，c= b,则 a = c ； 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量【答案】 向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的； 相等向量是共线的，故四点可能在同一直线上； 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角； 零向量不是没有方向，它的方向是任意的； 向量是否共线与始点位置无关； 两个向量相等，它们的长度相等，方向相同；T T 共线向量即平行向量，非零向量AB与CD是共线向量，可能 A B、C D四点共线，

4、也可能 AB CD平行。 正确；因两向量的模相等 ，方向相同，故当他们的起点相同时，则终点必重合；题型二 相等向量与共线向量问题寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等向量，再确定哪些是同向的。寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向或反向的向量。例2.已知四边形ABCD是平行四边形，0是对角线AC BD的交点，设点集 M= A, B, C, D, O，向量集合T= PQP,Q M,且P,Q不重合T中的元素的个数。【解析】注意集合中元素互异性的特征，相等向量在向量集合中只能算一个元素。 以A,B,C,D,0为起点的向量共20个，但其中存在如下

5、相等向量：A0=0C,OA=CO,OD=BO,DO=OB,AD=BC,DA=CB,AB=DC,BA故CD0个向量中有12个不相等的向量，因此T中有12个元素。例3.如图，点O是正六边形 ABCDEF勺中心，则以图中点 A B、C、D E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有()A . 2个B. 3个C. 6个D. 9个【解析】观察图形，结合共线向量的定义知：向量OA共线的向量有AOBc,cb,od,do,ef,fe,ad,da共9个2.2平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和jT平彳亍pq边琏汝则

6、 使用三角形法则时要注意“首尾相连” 使用平行四边形法则时注意“起点相同”(1) 交换律：a+ b= b+ a.(2) 结合律：(a + b) + c= a+ (b+ c).减法求两个向量差减去一个向量等于加上这个向量的相反向量I144【与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量】a b= a + ( b)数乘求实数入与向量a的积(1) 1删=丨洞；(2) 当？0时，?a的方向与a的方向相同;当 肚0时，扫的方向与a的方向相反；?( £) 入 cjk；(+p)a = ?a+jja;?(a+ b) =?a +jb当入=0时，?a = 04耳 片 14共线

7、向量定理：向量 a（a = 0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a .向量共线的应用：利用向量共线证明三点共线：（1）证明由三点中任意两点构成的两个不同向量共线（2说明两共线向量有公共点利用向量共线证明或判断向量所在直线平行：（1）证明两向量共线（2）说明两向量所在的直线不重合题型一向量的线性运算用已知向量来表示其他向量：尽可能地转化到平行四边形或三角形中去；能熟练地找出图形中的相等向量； 能熟练运用相反向量将加减法相互转化.例1、如图，正六边形 ABCDEF中，BA + CD + EJF等于（）B.BEC.ADD.CFA正六边形ABCDEF中,AB = a, AF = b，用 a,

8、b表示 AC, AD, AE【解析】选D例 2、如图，以向量（5A = a, （DB = b 为邻边作？OADB , BM =bC , CN = CD，用 a, b 表示 OM , ON , MN. 33【解析】t BA = OA OB = a b, BM = 1BA= 1 a 1 b,二 OM = 0B+ BM = 1 a + "5b.6 6 6 6 6fff1 f 1 f 1 f 2 f 22又/ OD = a+ b, ON = OC + ；CD ="OD + "OD =；OD = ；a+：b,326333 MN = ON OM = 3 a+ 2b 6a 5

9、b= fa- 1b.336626例3、在 ABC中，AB= c, Ac = b,若点D满足Bd = 2DC，则AD =（用b,c表示）.【解析】/ Bd = 2DC, Ad Ab = 2（AcAd）, /. 3ad = 2ac + Ab, Ad=3AC+ 3AB=2b+£c.3333在？ABCD 中，Ab = a, AD = b, AN = 3NC, M 为 BC 的中点，贝U MN =（用 a, b表示）.fff 3 f 3f1fff 3i,z 111【解析】由AN = 3NC得AN= 4AC = 4（a+ b）, AM = a + ?b,所以 MN = AN AM = -（a+

10、b） a+ 尹 =a + -b.在 ABC中，E、F分别为 AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB= a, AC = b,则AG =（用a, b表示）.学习好资料欢迎下载【解析】 E、F分别为AC、AB的中点，.点 G为厶ABC的重心，ae=1ab+? 1ac332 k'百 . irO为 AE,BD的交点，已知 BD 二 b,BE 二 c,OE 二 e,2 2 t 1 t 2AG = AB + BG = AB+ BE= AB + (BA + AE )= AB+-3 333如图，在 厶ABC中，D,E分别为边 AC,BC上的任意一点，OD =（用 b,c,e 表示）如图所示，已知

11、口 ABCD的边 BC,CD上的中点分别为 K,L,且AK = G,AL =佥,则BC =, CD =（用 e,曳表示）【解析】用已知量表示未知量时，当直接表示比较困难时，可考虑利用方程组求解r 1e =AB+BK = CD + BC2r1色=AD + DL = BC CD、 2侧3-图）例4、 已知 ABC和点M满足MA + IMB + MC = 0,若存在实数 m使得AB+ AC = mAM成立，则 m等于（）【解析】 由已知条件得IMB + MC = MA如图，因此延长 AM交BC于D点，贝U D为BC的中点.延长 BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证 E、F分别为AC、AB

12、的中点，即 MABC的重心.-t 2 t 1 -t -t-t -t -tAM = 3AD = 3(AB + AC),即 AB + AC= 3AM，贝U m = 3.如图,E为平行四边形ABCD边AD上一点,且AE4,设 AB 二 a , BC 二 b，若 AF AC , BF 二 kBE , 5 AF 二(1 - k)a + - b ，由解得 k=4511【解析】,AF AC (a b)551彳又 BF =kBE =k(AE - AB) =k( b-a)而 BF = AF -a , 4例5、已知任意四边形 ABCD E为AD的中点，F为BC的中点，求证：2EF =AB+DC【解析】把EF用不冋

13、的向量形式表示出来，并相加EF =ED DC CF , EF = EA AB BF , ：.2EF = ED DC CF + EA AB BF = AB DC题型三共线向量定理及应用例6、已知向量a, b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是 （将正确的序号填在横线上）2a- 3b= 4e,且a+ 2b=-3e;存在相异实数入，使入a+b= 0;xa+ yb= 0（实数x, y满足x+ y= 0）;若四边形 ABCD是梯形，则AB与CD共线.答案：由得10a- b= 0，故对；对；对于当x= y= 0时，a与b不一定共线，故 不对；若AB /CD , 则AB与CD共线，若

14、AD / BC,贝UAB与CD不共线.例7、设两个非零向量 a与b不共线，（1）若AB= a + b, BC= 2a+ 8b, CD = 3（a-b），求证：A、B、D三点共线;试确定实数k,使ka + b和a + kb共线.【解析】（1）可用向量共线证明点共线问题，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线./ AB = a+ b,二 BD = BC + CD = 2a + 8b + 3(a b) = 2a + 8b+ 3a- 3b= 5(a+ b) = 5AB. AB、BD共线，又它们有公共点B, A、B、D三点共线.(2)/ ka+ b 与a+ kb共线，存在实数入使ka +b=

15、a+ kb),即卩ka +b=；a + 入k (k为a=(入 k 1)b. a、b是不共线的两个非零向量，- k-=入1 = 0, - k2- 1 = 0. k= ±1.例 8、设 D、E、F 分别是 ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC = 2E3D , CE= 2EA, Af = 2FB，则 AD + Bl+ Cf与BC( )A .反向平行B .同向平行C.互相垂直D .既不平行也不垂直1 2 【解析】 由题意，得 DC = DA + AC, BD = BA + AD.又 DC = 2BD，所以 DA + AC= 2(BA+ AD).所以 AD =：AC + TAB

16、.33.-1 -2 -1 -2 -1 -同理，得 BE = ?BC + 3BA, CF = ?CA + §CB.将以上三式相加，得 AD + BE + CF =-BC.例9、已知向量a, b不共线，c= ka+ b (k R), d= a b.如果c/ d,那么()A . k= 1且c与d同向 B . k= 1且c与d反向 C. k=- 1且c与d同向 D . k=- 1且c与d反向k=入【解析】 c/ d, c= ?d，即 ka + b= a-b), .入=-1例10、设a、b是两个不共线向量， Ab = 2a+ pb, BC = a + b, CD = a 2b,若A、B、D三点

17、共线，则实数 p的值为【解析】/ BD = BC+ CD = 2a- b,又A、B、D三点共线，二存在实数入使AB =就.即=p =_ 1.l_P =入1例11、若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a, tb, §(a+ b)三向量的终点在同一条直线上？解 设0A= a, OB = tb, OC= #(a+ b), / AC = OC OA= 3a + gb, AB = OB OA = tb a.T T21r要使A、B、C三点共线，只需 AC = 4B.即一云a +妙=入b玄二有3 3 1U="当 t=，三向量的终点在同一条直线上.例12、已知

18、平面内有一点P及一个 ABC，若PA PB PC 用，则(A .点P在厶ABC外部【解析】 PA PB Ab , /D .点P在线段AC上B .点P在线段AB上 C.点P在线段BC上即 PA PB BA PC =0 ,PA PB PC _AB =0 , PA PA PC =0,2PA二CP，点P在线段AC上.例 13、已知 OA = a, OB= b, OC = c, OD = d, OE= e,设 t R，如果 3a = c,2b= d, e= t(a + b),那么 t 为何值时,C, D , E三点在一条直线上？易错分析本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量