大学物理：第十二章-3电势

1、1. .点电荷的场点电荷的场qrarbrbE Eadl在在 q 的电场中将检验的电场中将检验电荷电荷 q0 从从 a 点移动到点移动到 b 点，电场力作功为：点，电场力作功为：l lF FdWbaE EF F0qF Fl lE EdqWba00qcos0Edlqba静电力对运动电荷作功静电力对运动电荷作功点电荷的场点电荷的场cos0EdlqWbadrdlcosEdrqWba0drrqqWbarr20041barrqq11400 电场力的功只与始末位置有关，而与路径无电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场。关，电场力为保守力，静电场为保守场。qrarbrbE E

2、adlF F0qdr2.2.点电荷系统点电荷系统: : q q1 1, q, q2 2, , , q, qn n的电场的电场. .iEEEE.2121212121020100.ppnppppppl dEql dEql dEql dEq各项都与路径无关，则总电场力作功与路径无关。各项都与路径无关，则总电场力作功与路径无关。 静电力为保守力，静电场为保守场。静电力为保守力，静电场为保守场。E E2Lab1L移动电荷移动电荷 q0 沿闭合路沿闭合路径一周电场力作功：径一周电场力作功：l lE EdqWL0l lE El lE EddqabLbaL210l lE El lE EddqbaLbaL210

3、00l lE EdL电荷沿闭合路径绕行一周，电场力对它作的功为电荷沿闭合路径绕行一周，电场力对它作的功为 0 0。静电场为保守场的数学表达式静电场为保守场的数学表达式( (也是判据也是判据) )1静电场中任意一点静电场中任意一点p p的电势等于将单位正电荷自的电势等于将单位正电荷自p p点点沿任意路径移到电势零点时电场力所作的功。沿任意路径移到电势零点时电场力所作的功。l dEVpaa0单位：单位： 1 1伏特伏特=1J/C=1J/C电场力是保守力，可引入势能。电场力是保守力，可引入势能。原则上可任意选取原则上可任意选取无限远处为势能零点无限远处为势能零点（电荷分布有电荷分布有限）限）理论上取

4、理论上取电荷分布至电荷分布至无限远时，不无限远时，不能取无限远处为参考点能取无限远处为参考点工程上取工程上取 地球为势能零点地球为势能零点通常通常确定任意确定任意p p点的电势，首先需要点的电势，首先需要 选定电势零点选定电势零点电势定义：电势定义：单位：伏特，单位：伏特，Vl dEl dEl dEl dEldEbabppapbpa0000电势差电势差 UUabab 为移动单位正电荷从为移动单位正电荷从 a a 点到点到 b b 点过程中电点过程中电场力所作的功场力所作的功baabVVU电势差电势差: :3l dEVpaa0baabl dEU又称两点间的电压又称两点间的电压4bal dEqA0

5、)(210VVq)(12WWW电场力作功等于电势电场力作功等于电势能的减少能的减少21WW 点电荷在外电场中的势能点电荷在外电场中的势能qVW * *电势能只有相对意义电势能只有相对意义*电势能之差有绝对意义电势能之差有绝对意义qVW * *电势能属于电荷与产生电场的电荷系所共有，电势能属于电荷与产生电场的电荷系所共有，是一种相互作用能是一种相互作用能在电势零点处，电荷的电势能为零在电势零点处，电荷的电势能为零单位：焦耳，单位：焦耳，JJeV19106 . 11一个电子通过一个电子通过1 1伏特的电势差时所获得的动能伏特的电势差时所获得的动能例例1点电荷电场的电势点电荷电场的电势( (一一)

6、)由定义求电势由定义求电势qE E通常用于：高度对称的场（由高斯定理可方便通常用于：高度对称的场（由高斯定理可方便地求出场强，或已知场强表达式地求出场强，或已知场强表达式） 。arl dl lE EdVaa选积分路经沿电力线方向，则有：选积分路经沿电力线方向，则有：0cosdrEVaarq04drrqa204dlEVaa”0“rqV04oVr0qoVr0q正电荷的场中各点电势为正。正电荷的场中各点电势为正。0负电荷的场中各点电势为负。负电荷的场中各点电势为负。0沿电力线方向电势降低沿电力线方向电势降低 电势能与电势的区别电势能与电势的区别E EP P 可正可负，取决于可正可负，取决于 q q

7、和和 q q0 0 V V 只取决于场源电荷只取决于场源电荷 q q例例2：均匀带电球壳半径为均匀带电球壳半径为 R，电量为，电量为 q，求：，求： 球壳内、外的电势分布。球壳内、外的电势分布。无穷远为电势无穷远为电势0点点解：解：球壳内、外的场强球壳内、外的场强oRqE ErIIIrP P01E20241rqEl lE El lE EddVRRr 211drER20E Er rl l/dddrrqR2041Rq04球内区域是一个球内区域是一个等势区等势区！电势都等于球面上的电势！电势都等于球面上的电势I区：球壳内电势区：球壳内电势Rr l lE EdVr 22drEr2drrqr2041rq

8、04E Er rl l/dd与点电荷的场相同！与点电荷的场相同！II区：球壳外电势区：球壳外电势RroRqE ErIIIMMoRqIIIRoEr204RqoRqIIIRoVrRq04均匀带电球壳均匀带电球壳场强分布电势分布在球面处场强不连续，而电势是连续的。在球面处场强不连续，而电势是连续的。无限带电体电势无限带电体电势 0 点不宜选无穷远点不宜选无穷远例：例：无限长带电直线线电荷密度为无限长带电直线线电荷密度为 ，求电势分布。，求电势分布。解：解：无限长带电直线的场强：无限长带电直线的场强：rE02l lE EdVPP(1)(1)选无穷远为电势选无穷远为电势 0 点点EdrPdrr02ror

9、Pr)ln(ln20r无意义无意义(2)(2)选选 距离直线距离直线1 1米处米处为电势为电势 0 0 点点)ln1(ln20rVPrVP1ln20, 1r0PV, 1r0PV电势的相对性电势的相对性电势迭加原理：电势迭加原理：电荷系的电场中某点的电势为各电荷系的电场中某点的电势为各带电体单独存在时在该点产生电势的代数和。带电体单独存在时在该点产生电势的代数和。l lE EdVaal lE EE EE Edna)(21l lE El lE El lE Edddnaaa21nVVV21iniV1( (二二) ) 由由电势迭加原理电势迭加原理求电势求电势通常用于：通常用于： 单个对称性较差的带电体

10、的场单个对称性较差的带电体的场 几个分立几个分立的带电体的场的带电体的场 电荷电荷连续分布，可分解成基本带电体的场连续分布，可分解成基本带电体的场点电荷系点电荷系iniVV1niiirq104Q连续分布带电体连续分布带电体将带电体分割成无限多个电荷元，将带电体分割成无限多个电荷元，rdqdV04dVVV体rdqV04体Pdq体Vr例例1 1：在正方形四个顶点上各放置在正方形四个顶点上各放置 + +q q、+ +q q、- -q q、- -q q 四个电荷，求正方形中心四个电荷，求正方形中心 o o 点的电势点的电势 V V。qqqqo解：解：由由4104iiirqV)(410qqqqr0r点电

11、荷系电势的计算。点电荷系电势的计算。例例2 2：均匀带电圆环，半径为均匀带电圆环，半径为 R R，带电为，带电为 q q，求，求圆环轴线上一点的电势圆环轴线上一点的电势 V V。oxRqxdqP解：解：将圆环分割成无限多将圆环分割成无限多个电荷元：个电荷元：rdqdV04rdVVdqrq0041环上各点到轴线等距。环上各点到轴线等距。2204Rxqrq04例例3：均匀带电圆盘，半径为均匀带电圆盘，半径为 R，带电为，带电为 q，求，求圆盘轴线上一点的电势圆盘轴线上一点的电势 V。oRqxyxryPdy解：解：将圆盘分割成无将圆盘分割成无限多个同心圆环，限多个同心圆环，电荷面密度电荷面密度2Rq

12、dSdqydy222041yxdqdV由上题结论由上题结论220241yxydydVV2200241yxydyR)(2220 xRx讨论：讨论：当当 x R 时，级数展开时，级数展开xRxRx2222xRV2220 xR024xq04带电体距场点很远时，可视为点电荷。带电体距场点很远时，可视为点电荷。例题例题4 均匀带电均匀带电细细棒，长棒，长 L ，电荷线密度，电荷线密度 ，求：沿线、距离一端求：沿线、距离一端 a 米处的电势。米处的电势。解：解：LPadxdqxdqdV04dx LaaxdxV04Laa0nx4naLan04aLan0 xxdxRaOPrdr例例5 5：均匀带电球体半径为均

13、匀带电球体半径为 R，电量为，电量为 Q，求：，求： 球内离球心球内离球心a a处处P P点的电势。设无穷远为电势点的电势。设无穷远为电势0点点(1)P(1)P点以内电荷对点以内电荷对P P 电势电势 解：解：U=UU=U1 1+U+U2 2aaU031434023a(2)P(2)P点以外电荷对点以外电荷对P P 电势电势 rdrrdrrdU002244220022aRrdrURa22036aRU6 6 如图所示如图所示, ,一锥顶角为一锥顶角为q q 的圆台，上下底的圆台，上下底面半径分别为面半径分别为R R1 1和和R R2 2，在它的侧面上均匀，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为带电，电

14、荷面密度为，求顶点，求顶点OO的电的电势势( (以无穷远处为电势零点以无穷远处为电势零点) ) R2 R1 O 解：解： 以顶点以顶点OO作坐标原点，作坐标原点，圆锥轴线为圆锥轴线为x x轴向下为正在轴向下为正在任意位置任意位置x x处取高度为处取高度为d dx x的小的小圆环，其面积为圆环，其面积为 Ox/2 x1 x r x2R2R1 dxxxxrSd2cos2tg22cosd2d其上电荷为 xxSqd2cos2tg2dd它在O点产生的电势为 2204ddxrqU022202d2tg2tg4d2cos2tg2xxxxx总电势 UUd01202d2tg221RRxxx等势面、场强等势面、场强

15、与电势的微分与电势的微分关系关系电场中电势相同的各点组成的曲面。电场中电势相同的各点组成的曲面。等势面等势面电力线电力线形象地描绘形象地描绘电场强度电场强度的整体分布。的整体分布。等势面等势面形象地描绘形象地描绘电势电势的整体分布。的整体分布。等势面等势面+等势面等势面平行板电容器平行板电容器E E1. .等势面与电场线垂直。等势面与电场线垂直。证明：证明：在等势面上在等势面上abdlUbaabE0等等势势面面l lE Ed路径路径 dl l 在等势面上，在等势面上，等势面E E证毕证毕baUU 而路径而路径abab是任意的，所以只能处处有是任意的，所以只能处处有2. .在静电场中沿等势面移动

16、电荷电场力不作功。在静电场中沿等势面移动电荷电场力不作功。l lE EdqWba0abUq003.电力线指向电势降低的方向。电力线指向电势降低的方向。4. 等势面密处，电场强度大。等势面密处，电场强度大。 为了直观地显示为了直观地显示电势大小电势大小的整体分布，的整体分布，规定：相邻等势面之规定：相邻等势面之间的电势差相等。间的电势差相等。E E 场强与电势都是描写电场性质的物理量，场强与电势都是描写电场性质的物理量，它们之间必存在某种关系。它们之间必存在某种关系。Ual ldn nddUU dUUUbal lE EdbcdzEdyEdxEdzzUdyyUdxxUzyxxUExyUEyzUEz单位：单位：伏特伏特/ /米，米，V/m)(kjiEzUyUxUU梯度算符梯度算符gradUgradk kj ji izyx电场强度为电势梯度电场强度为电势梯度（方向（方向导数中的最大者）导数中的最大者）