以拱桥为背景的中考题

1、学习必备欢迎下载16以拱桥为背景的中考题我们知道，抛物线是一种对称的曲线，因而桥梁设计专家往往将桥梁设计 成抛物线形状，这样既美观大方、雄伟壮观，又坚固实用，正因为如此，近几年 的中考数学试题中常以拱桥背景设计一些题目，意在考查二次函数有关的问题， 现举两例说明.例 1 桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥 的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过 A、C、B 三点的抛物线，以桥面 的水平线为X轴，经过抛物线的顶点 C 与 X 轴垂直的直线为Y轴，建立直角坐标 系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2 米（图中用线段 AD CO BE等表示桥柱）CO= 1 米，F

2、G）= 2 米（1）求经过 A B、C 三点的抛物线的解析式。求柱子 AD 的高度。分析：由于抛物线的对称轴为 y 轴，可设解析式为y=ax2 c，由题意可得，点 C、点 F 的坐标，把 坐标代人上式可得方程组，因此可求 出抛物线的解析式。通过图象可知点 A 的横坐标，所以把 A 的横坐标代人 解析式可求出 AD 的高度。解：（1）由题意可知：点 C 坐标为（0，1），点 F 坐标为（一 4, 2），设抛物线解析式为y =ax2 c，2 =16a c解得吒c =1（2）因为点 A 的横坐标为一 8,所以抛物线解析式12yx学习必备欢迎下载所以柱子AD的高度为 5 米.评注：本题的关键在于能设出

3、适当的二次函数的解析式，通过解方程组求出解析式，并能把实际问题转化成数学问题，在求 AD 的长度时，实际上就是求点 A 的 纵坐标。例 2： 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图 1 所示），拱高 6m 跨度 20m 相邻两 支柱间的距离均为 5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图 2 所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱 EF 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道 （正中间是一条宽 2m 的隔离带） ， 其中的一条 行车道能否并排行驶宽 2m 高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说 明你的理由.分析：由题意可知点 A、B、C 的坐标，通过解方程组求出解析式；要求 EF 的长

4、， 就要求出点 F 的纵坐标，由题意可知点 F 的横坐标，代人解析式即可求出；要判 断并排行使的三辆汽车能否通过拱桥，就要求出抛物线上当横坐标为7 或-7 所对应的点的纵坐标的值，然后与 3 比较。解：（1）根据题目条件，A, B，C 的坐标分别是（-10,0）, （10,0）, （0 6）.16 二 c 将 B, C的坐标代入y =ax2 c，得 0 = 10Oa+c3 解得 a一, c = 6 .50设抛物线的解析式为y二axc.学习必备欢迎下载所以抛物线的表达式是 y3x26.50(2) 可设F (5, yF)，于是32yF5 6 = 4.550从而支柱 MN 的长度是 10-4.5 = 5.5 米.(3) 设 DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则 G 点坐标是(7,0).3过 G 点作 GH 垂直 AB 交抛物线于 H，则 yH 7263.06 - 3 .50根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.评注：本题的难点在于如何判断并排行驶这样的三辆汽车能否通过拱桥，由抛物线的对称性可知，隔离带的宽为 2