求根公式的推导

1、21.2.2求根公式的推导教学设计鹿泉经济开发区学校李树贞教学内容：人教版数学九年级上册 21.2.2用公式法解一元二次方程（教材9-12 页）教学目标1、知识与技能能用配方法推导一元二次方程的求根公式；能用求根公式解一元二次方程； 能利用根的判别式不解方程判断一元二次方程的根的情况。2、过程与方法通过公式法的引入，培养学生寻求简便算法的探索精神；在教师的指导下， 经历观察、推导、交流归纳等活动得出一元二次方程的求根公式，培养学生的合 情推理与归纳总结的能力。3、情感、态度与价值观在自主探究与合作交流的过程中，激发学生的求知欲，进一步发展学生合作 交流的意识和能力。教学重点：求根公式的推导和利

2、用求根公式熟练地解一元二次方程教学难点：一元二次方程的求根公式的推导教学过程一、复习旧知1、前面我们学习了用配方法解一元二次方程，谁来回忆一下步骤2、通过做练习，你对配方法解一元二次方程有什么感受？【设计意图：1、为本节课用配方法推导一元二次方程的求根公式作铺垫。2、引导学生明白为什么要学公式法，这样可以培养学生的理性精神。】二、导入新课谈话：在数学史上，数学家们就希望用公式来解一元二次方程，这样就可以避免配方的麻烦了，这节课我们就来探索公式法（板书课题）。三、探究新知1、提问：一元二次方程的一般形式是什么？2、用配方法解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (aw0)解：把常数项移到等

3、号的右边ax2+bx=-c二次项系数化为1,得x2+b x = £ a a2 bb 2 cb 2配万，得 x . x ()=_.()a2a a2a(x O2b2 - 4ac4a2降次，得x+包二？2a【以上步骤以提问的方式进行，降次部分让学生在小组里讨论解决，这样让学生心中的疑问充分暴露出来，在小组里交流，使学生充分经历推导求根公式的 过程。】3、归纳与总结在学生小组合作交流下，教师引导学生总结出一下结论，并板书,aw0,4a2>0, b2-4ac 分三种情况/八，2b2 -4ac - b . b2 -4ac(1) b-4ac>0 时，2.0x + 一=±4a2

4、a 2a此时方程有两个不等的实数根-b . b2 -4ac小 -b - . b2 - 4acx1 二 x2 ;2a2a(2) b2-4ac=0 时，b _4ac=0(x+)2 =04a22a方程有两个相等的实数根bx1二 x2二一(x )2 02a2a b2-4ac<0 时，b -4ac(0 4a因此方程无解4、问题：由刚才的过程，我们发现用配方法解一元二次方程的一般式出现了3种可能性，请问同学们这是由什么决定的？5、在学生回答的基础上引出根的判别式：一般地，式子b?-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即A =b?-4ac由上可知：当A

5、>0时，方程ax2+bx+c=0 (aw0)有两个不等的实数根；当 A =0时，方程ax2+bx+c=0 ( aw 0)有两个相等的实数根；当 A < 0时，方程 ax2+bx+c=0 (aw0)无实数根。6、问题：当A满足什么条件时，方程有实数根？由此引出求根公式来。因此，当A0时，方程ax2+bx+c=0 (a*0)的实数根可写为-b 二.b2 -4acx =2a的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式7、问题：刚才我们是用什么方法推导出来的一元二次方程的求根公式？(配方法)求根公式表达了用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的结果。解一个具体的一元二次方程时

6、，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直 接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。四、学以致用谈话：如何用公式法来解一元二次方程呢？它的规范步骤又是如何？下面老 师和大家一起解决一道题。1、用公式法解方程5x2-3x=x+1?解：方程化为：?a=5, b=-4, c=-1?A =b2-4ac=(-4)2-4X5X (-1)=36>0?方程有两个不等的实数根-b - b2 -4ac -(-4) - . 36 4 -6x 二二二2a2510即x1 =1, x2 =-5【学生虽然掌握了求根公式，但是如何利用求根公式规范解一元二次方程还不明白，因此在这里采用老师和学生共同来完成，意

7、在指导学生的步骤】2、例用公式法解下列方程(1) X2-4x-7=0(2) 2x2 -2 2x 1(3) x2+17=8x【学生独立完成，之后在小组里交流，或翻开课本 11页自己订正。目的是 学生通过自己检查自己的错误，可以印象更深刻一些，并且指导熟练掌握规范步 骤】3、解决本章引言中雕像问题要设计一座高2m的人体雕像，使它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比, 等于下部与全部的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？（结果保留小数点后 两位）五、归纳与总结提问：通过我们刚才实际练习，谈谈用公式法解一元二次方程的步骤1、把方程化为一般形式。2写出a, b, c的值。3、求出b b2-4ac=

8、0 时，b _4ac = 0 （x+-b）2=04a2a-4ac的值，并判断根的情况。4、把a, b, c的值代入求根公式-b 二 b2 - 4ac x 二2a5、写出方程的根X1, X2七、拓展延伸1、关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有实数根，则 m的取值范围是2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实数根，则k的取值范 围是（）【设计意图：达到学生能根据根的情况灵活运用根的判别式解决问题的目 的】八、小结与反思1、一元二次方的求根公式是用什么方法推导出来的？2、说说一元二次方的求根公式？根的判别式？如何用根的判别式判断根的 情况？3、说说用公式法解一元二次方程的步骤。九、布置作业：1、12页练习第1题2、17页第5题板书设计. aw0, .4a2>0, b2-4ac 分三种情况/ /、，2b2 -4acb b2 - 4ac（1） b-4ac>0 时，2，0 x + =±4