高中数学人教A版知识点与公式大全

必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.常见的数集及其表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示符号N或ZQR2.集合间的基本关系与运算：子集(包括真子集和相等)、交集、并集、补集、全集、空集(是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集).3.n4．性质：(1)A∩B＝A⇔A⊆B；(2)A∪B＝A⇔A⊇B充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件A⊆Bp是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p6.全称量词命题与存在量词命题的否定：（改量词，否结论，条件不变）(1)全称量词命题：它的否定：(2)存在量词命题：它的否定：第二章一元二次函数、方程和不等式1.基本不等式（一正二定三相等）：(1)公式：积定和最小，和定积最大(2)变形：(1);(2).(3)方法：（1）“1”的代换；(2)配凑法三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象不等式解集y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}Ry＜0{x|x1＜x＜x2}∅∅分式不等式（先化整式）;(2);;(4)(5)通分，再化为整式不等式.绝对值不等式(大于取两边，小于取中间)(1);(2)第三章函数1.函数的定义域(写成集合或区间的形式)(1)分式；(2)偶次根式：；(3)x0：(4)对数函数：；(5)三角函数2.求函数的解析式的方法(1)换元法(注意新元的范围)(2)配凑法(3)待定系数法(已知函数的类型)(4)解方程组法：f(x)与f()f(－x)解方程组．3．函数的值域(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0):R.(2)反比例函数(k≠0):(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0):看开口方向与对称轴(4)指数函数(5)对数函数4.函数的单调性：(1)定义法；(2)导数法.(1)若x1<x2，f(x1)<f(x2)f(x)是增函数；若是增函数.(2)若x1<x2，f(x1)>f(x2)f(x)是减函数；若是减函数.(3)复合函数同增异减.函数的奇偶性（首先看函数定义域是否关于原点对称）(1)是偶函数图象关于轴对称.(2)是奇函数图象关于原点对称.6.函数的对称性7.函数的周期性TafxaTa第四章指、对、幂函数1.指数运算(1)分数指数幂：①；②(2);(3);(4).2.对数运算aNN⑶常用对数：lgN＝；自然对数：lnN＝logeN⑷对数的运算:①加乘：②减除：③顶在外：logabn=nlogab④顶在外，体位不变：3.指数函数图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数对数函数及其性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数5.幂函数:(1)常见的5种幂函数的图象(2)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1),且在(0，＋∞)上单调递减.6.零点问题fxyfx)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则存在零点．若函数单调，则存在一个零点。利用函数图象的交点个数判断(3)利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数；7.图象变换(1)平移变换：左+右-,上+下-(2)对称、翻折变换①；②；③；④；⑤.伸缩变换：三角函数2.扇形弧长、面积公式：(1)圆的周长：；面积⑵扇形的弧长公式：；⑶扇形面积公式：3.三角函数在各象限的符号口诀：“一全正，二，三，四”．4.同角三角函数的基本关系（知一求二）(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：5.三角函数的诱导公式：弦、余弦、正切函数的图象与性质图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递增函数，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递减函数在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，T=2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，T=2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，T=π对称性对称轴是x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是对称中心是7.两角和差公式8.二倍角公式(1)(2)(3)9.辅助角公式其中解三角形1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R．(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cosAb2＝c2＋a2－2ca·cosBc2＝a2＋b2－2ab·cosC变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形常用面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；eq\a\vs4\al([常用结论])在△ABC中，(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC．必修第二册第六章平面向量1.向量的有关概念：零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量2.向量的线性运算：平行四边形法则、三角形法则3.平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)数乘已知＝(x1，y1)，则λ＝(λx1，λy1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)4.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量和，作，eq\o(OB,\s\up7(→))＝，则∠AOB就是与的夹角设是与的夹角，则的取值范围是0°≤≤180°⇔∥；＝90°⇔⊥平面向量的数量积：投影：叫做向量在方向上的投影，叫做向量在方向上的投影.与向量的模、夹角相关的三个重要公式①模：设，则.②距离：若A（x1，y1），B（x2，y2），则③夹角公式：7.平行：垂直：第七章复数1.定义：，实部：；虚部：.轴：实轴；轴：虚轴.当时，是实数；当时，是虚数；当时，是纯虚数.2.共轭复数：3.复数的模：4.结论：①②③若为虚数，则①②③④第八章立体几何1．斜二测画法：2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式侧面展开图侧面积公式积S圆柱侧＝2πrl棱柱S表＝S侧＋2S底S表＝S侧＋S底棱台S表＝S侧＋S上＋S下棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面外乎三角形面积，平行四边形面积球S＝4πR2平行图形符号应用线面平行的判定线线平行线面平行线面平行的性质线面平行线线平行面面平行的判定线面平行面面平行面面平行的性质面面平行线线平行面面平行线面平行4.垂直图形符号应用线面垂直的判定线线垂直线面平行线面垂直的性质线面垂直线线平行面面垂直的判定线面垂直面面垂直面面垂直的性质面面垂直线面垂直线面垂直线线垂直第九章统计1.频率分布直方图横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率总体集中趋势的估计众数一组数据中出现次数最多的数中位数一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数平均数百分位数从小到大排列，，若是整数，取；若不是整数，取下一个数据.总体离散程度的估计方差：标准差：概率1.事件的关系（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）互斥事件：，事件A与B不能同时发生对立事件：A∪B=Ω,且A∩B=⌀，事件A与B有且只有一个发生.(1)并事件(和事件)：；(2)交事件(积事件)：3.概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（∅）＝0性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B）性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B）性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有独立事件：实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.空间向量的坐标运算：向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0第二章直线的倾斜角与斜率1、倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.2、倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b(3)l2:y=k2x+b2或d＝rΔ>0Δ＝0Δ<0与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为或3.若切线斜率存在，记为k，且不为0.(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．Δ<0Δ＝0Δ>0Δ＝0Δ<0x≥0，y∈RA1(－a,0)，A2(a,0)，无aa已知是椭圆上的两个不同的点，是线段的中点，则：渐近线：焦点弦：1.等差数列的有关公式(1)定义：（为常数）(2)等差中项：成等差数列(3)通项公式：(4)前n项和公式：2.等差数列的性质：是等差数列(1)若，则(2)数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为;(3)若是等差数列，且前项和分别为，则(4)项数为奇数的等差数列，有，，.3.等差数列与函数的关系(1),当时，它是关于n的一次函数；(2)为等差数列（为常数，它是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值.1.等比数列的有关公式(1)定义：（为常数，）(2)等比中项：成等比数列，或.(3)通项公式：(4)前n项和公式：2.等比数列的性质：是等比数列(1)若，则(2)仍为等比数列,公比为.3.等差数列与函数的关系(1)指数型函数；(2)由，求，时，两边相加得∴2.累乘法：适用于类型的递推关系式.3.同除法：4.取倒数：①；②；③．5.构造法：①②．(1)公式法：对于等差等比数列，利用公式法直接求和；(2)错位相减法：对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；(3)分组求和法：对于型数列，利用分组求和法；(4)裂项相消法：对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.2、裂项相消法求数列和的常见类型：如：第五章导数一．导数的定义：二.导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：常数：①；幂函数：②；；指数函数：③④；对数函数：⑤；⑥三角函数:⑦；⑧法则1：；法则2：法则3：（2）复合函数的导数求法：①换元，令，则②分别求导再相乘③回代Δ三．导数的几何意义：函数在处导数的几何意义:曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为增函数；（2）该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤：（1）求导数(2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论①该区间内为增函数；②该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：（1）确定的定义域；（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；六、函数的极值与其导数的关系：1、(1)导数看正负：左-右+，则该点a为极小值点，极小值为；左+右-，则该点b为极大值点.(2)原函数看增减：左减右增，则该点a为极小值点，极小值为；左增右减,则该点b为极大值点.(3)单调函数没有极值.2.求极值的步骤：(1)确定的定义域；(2)求导；(3)令求根；(4)列表，下结论.七、函数的最值与其导数的关系：求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间内的极值；第二步：比较的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。注意：当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。选择性必修三第6章计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.1.排列(1)定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数表示法：(3)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列,.(4)阶乘式：(5)性质：2.排列应用问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法1.组合(1)定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数表示法：(3)公式：(4)性质：2.组合应用问题的主要方法(1)分组问题①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题：先分组再排列分配②令；.随机变量及其分布定义：一般地，设为两个随机事件，且我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率.当时，当且仅当事件相互独立时，有；如果是两个互斥事件，则定义：一般地，设是一组两两互斥的事件，则对任意的事件离散型随机变量的分布列(1)用表格表示：(一般涉及组合数的计算)性质：①②方差：度量随机变量取值与均值的偏离程度标准差：性质：重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：推论：正态分布正态曲线:我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线.(2)正态曲线的特点：①非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．②定值性：曲线与x轴之间的面积为1.③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．④最大值：曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).⑤位置：当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.⑥体型：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.(3)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．（4）原则：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.若