函数地奇偶性、对称性、周期试题

1、实用标准文档2 .定义在R上的函数f (x)满足f (x 6) f (x) .当x 3, 1)时，2f(x) (x 2)，当 x 1,3) 时 , f (x) x , 则f (1) f (2) f (3) L f(2015)()(A) 336(B) 355(C) 1676(D) 2015【答案】A【解析】试题分析：根据f (x 6) f(x)可知：f(x)是周期为6的周期函数，且 f1f 2 f 3f 4f 5 f 6121010 1,f 2015 f 6 335 51 335 1 336,所以答案为 A.考点：1.函数的周期性；2.利用函数的周期性求函数值.3 .设函数f (x), g (x

2、)的定义域为R ,且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，设 h(x) f (x 1) g(x 1),则下列结论中正确的是A. h(x)关于(1,0)对称B. h(x)关于(-1,0)对称C. h(x)关于x 1对称D. h(x)关于x 1对称【答案】C【解析】试题分析：因为函数 f(x)是奇函数，所以f (x)是偶函数，即f(x)与g(x)均为偶函 数，其图象均关于 y对称，所以f(x 1)与g(x 1)的图象都关于直线 x 1对称，即 h(x) f(x 1) g(x 1)的图象关于直线x 1对称，故选C.考点：1 .函数的奇偶性；2.图象平移.4.定义为 R 上的函数 f(x)满足 f(x

3、)f(x 2) 7,f(1) 3, f (2)=2 ,则 f(2014)=77A. 3B. 2C. 3D. 2【答案】D【解析】试题解析：: f (x)f (x 2)f(x 2)7；f(x)文案大全7 f (x 4) f (x) Tf (x 2)f (2014)f(4 503 2) f (2)考点：本题考查函数的性质点评：解决本题的关键是求出函数的周期f(x)满足f(x)f(x 1)f (x2), x0,3 时,f(x)则 f(2014)A. 5B. 5C. 1D. 1试题分析:f(x)f (x1) f(x2)f (x1)f (x2)f(x从而f(x)f(x3)故 f (x)f (2014)f

4、(6 3354)f(4)f(1)考点：函数的性质6 .设f(x)是定义在实数集 R上的函数，且满足下列关系f(10 x) f (10 x),f (20 x) f(20 x),则 f(x()A.偶函数，但不是周期函数B.偶函数,又是周期函数C.奇函数，但不是周期函数D.奇函数,又是周期函数试题分析：.f (20-x ) =f10+ (10-x ) =f10- (10-x ) =f (x) =-f (20+x ).，f (20+x )=-f (40+x ),结合 f (20+x ) =-f (x)得到 f (40+x ) =f (x)，f (x)是以 T=40 为周期的周期函数；又f (-x) =

5、f (40-x ) =f (20+ (20-x) =-f (20- (20-x) =-f (x) .，f (x)是奇函数.故选：D 考点：本题考查函数的奇偶性，周期性f(x+T尸f(x),则 f(x)点评：解决本题的关键是准确理解相关的定义及其变形，即满足 是周期函数, 函数的奇偶性，则考虑 f(x)与f(-x)的关系7 .设f (x)定义R上奇函数，且y=f (x)图象关于直线 x=-对称，则f (一 一)=33A. 1B. 1C. 0D. 2【答案】C【解析】f( x) f(x),f (x) f (| x)试题分析：由题意可得，3 ，所以f(0) 0,选C.2f(x)2x (0,2)时，f

6、 2x ,则考点：函数的奇偶性及对称性8 .已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x 4)f(7)的值为()A.2B. 2C.98D. 98【答案】A【解析】,根据周期函数定义可知 f x是周期为4的周期函数,试题分析：Q f(x 4) f(x)f 7 f 1 8 f 1 ,又根据函数f x是奇函数，可得 f 1 = f 1 ,因为10,2 ,所以 f 11 2 122.故正确答案为选项A.考点：周期函数的定义和性质；奇函数定义和性质.9.已知定义在R上的函数f x ,对任意x R,都有f x 63成立,若函数y fx 1的图象关于直线x1对称，则f 2013A. 0B. 2013C. 3D.

7、2013试题分析:由题意得f(2013)f(2013335 6)335 f (3)336 f(3),又有函数1的图象关于直线1对称，则函数f (x)图像关于 y轴对称，即f(3) f(3)f(3+6) f( 3)f(3)得 f( 3)=0f (2013)336 f (3)=336 f (3)0,故选考点：函数的性质.10 .设偶函数f x对任意R都有f，且当x 3, 2时,4x,则107.5A. 101B.10C. -10D.10试题分析:因为所以所以函数fx是周期f 107.5186 0.5f(0.5)f( 0.5)f (2.5)f ( 2.5)f( 2.5)10 ,故 f 107.5故选B

8、.考点：函数的性质.11函数f x的定义域为R,若函数f x的周期6 .当 3 x1x .则1 x 3 时， f xf 2013 +f 2014()A. 337B. 338【答案】A【解析】试题分析：由已知得 f(1) 1,f(5) f( 1)1 ,f(6)C. 1678f(2) 2, f(3)f(0) 0 ,故D. 2012f( 3)1, f(4)f 1 f 2f( 2) 0,f 61 ,的图象关于(1,0 )对称，函A. f ( x) f (x)C. f ( 2 x) f( 2 x) 0【答案】D【解析】试题分析：.函数f(x 1)的图象关于令 F x f (x 1),f 1 f 2f 2

9、013 +f 2014335+ f 1 f 2 f 3 f 4 = 337 .考点：函数周期性.考点：函数的图象、周期性、对称性.13 .已知函数f(x)在定义域上的值不全为零，若函数 f(x+1)数f(x+3)的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是(B. f (x 2) f (x 6)D. f (3 x) f(3 x) 01,0对称，函数f(x)的图象关于(2,0)对称,F xF 2 x ,即 f(3 x)f1 x , f 4 xfx令G xf(x 3), 其图象关于直线x 1对称，G 2 xG x即 fx5 f 3 x , . f x 4 f 4 x 由得，fx4 f x , f

10、x 8 fx. f xf 8 x f 4 4 x ,由得 f4 4x f 4 4 x f xf xf x ；，a 对；由，得 fx28 fx2,即 fx2 fx6,，b 对；由得，f2x f x 20,又 f x fx,. f( 2 x) f( 2 x) f 2 x f 2 x 0, .C对；若 f3x f 3 x 0,贝(Jf6x fx,. f12x fx,由得 f 12 x f x 4 ,又 f x 4 f x , f x f x ,即 f x 0,与题意矛盾，D错.中,则a考点：函数的图象与图象变化.15 .设f(x)是定义在R上且以5为周期的奇函数，若f(2) 1,f (3)的取值范围

11、是().A、(，2) B、, 20,3C、(0, 3) D、,20,3试题分析由题意，得：f ( x)f (x), f (x 5) f (x)，所以f(3) f( 2)f(2)1,a2 a 3a 3a2 2aa 30, a(a 2)(a 3) 0,a2或 0 x 3.考点：函数的奇偶性、周期性第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人、填空题(题型注释)16.定义在 R上的偶函数f (x)满足对任意xC R,都有f (x+8) =f (x) +f (4),且 xC 0,4时，f (x) = 4-x,则 f (2 015 )的值为 【答案】3【解析】试题分析：因为定义在R上的偶函数f

12、 (x)满足对任意x R ,都有 f(x 8) f(x) f(4),令 x 4,则 f(4) f( 4) f(4),故 f(4) f (4) 0所以f (x)满足对任意x R,都有f(x 8) f(x),故函数f(x)的周期T 8所以 f(2015) f (252 8 1) f( 1) f(1) 4 1 3故答案为3.考点：函数的周期性和奇偶性.18 .定义在实数集R上的函数f x满足fx f x 20,且f4x f x ,现有以下三种叙述：8是函数f x的一个周期；f x的图象关于直线 x 2对称；f x是偶函数。其中正确的序号是 .【答案】【解析】试题分析：由 f x f x 20 , 得

13、 f(x 2) f(x), 则f(x 4) f(x 2) f(x),即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期；由 f 4 x fx,得f(x)的图像关于直线x 2对称；由f4x fx与 f (x 4) f(x),得 f(4 x) f( x),即 f( x) f(x),即函数 f(x)为偶函数.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.20 .函数y f(x)满足对任意x R都有f(x 2) f ( x)成立，且函数y f (x 1) 的图象关于点(1,0)对称，f(1) 4,则f(2012) f (2013) f (2014)的值 为.【答案】4【解析】试题分析：错

14、误！未找到引用源。函数y f(x 1)错误！未找到引用源。的图象关于点是R上的奇函数,(1,0)错误！未找到引用源。对称，f(x)错误！未找到引用源。f(x 2)f(x)错误!未找到引用源。，f (x4) f(x2) f(x)故 f (x) 的周f (2013)f(503 41) f(1)4错误！未找到引用源。，f (2012) f (2014)f (2012)f(2012 2) f (2012)f (2012) 0, f (2012) f (2013)f(2014)4.考点：函数的对称性、奇偶性、周期性“*),当* 0,1)时,21 .定义在R上的偶函数f(x),且对任意实数x都有f(x 2

15、)2f (x) x ,若在区间3,3内，函数g(x) f (x) kx 3k有6个零点，则实数 k的取值范围为1【答案】(0/1【解析】由f(x 2) f(x)得函数的周期为2.由 g(x) f(x) kx 3k 0,得 f(x) k(x 3),分别作出函数y f(x), y k(x 3)的图象，设A( 3,0), B(3,1),要使函数有则直线y k(x 3)的斜率0 k kAB ,因为kAB1 03 ( 3)所以0 k【命题意图】本题考查函数的性质、函数的零点等基础知识，意在考查数形结合思想,转化与化归能力、运算求解能力.22 .已知偶函数y f(x)的图象关于直线x 1对称,且x 0,1

16、时,试题分析:由偶函数 y f(x)的图象关于直线1 对称知：f(1-x)=f(1+x),所以f(2)3111f(2) f(1 2) f(1 -)f(-)/11 一,故答案为:2考点：函数的奇偶性。23 .定义在R上的奇函数f(x)满足f(x 3)f (x),且 f(1) 2,则f (2013) f (2015)【解析】 试题分析：由 f (x+3 ) =-f (x),得 f (x+6 ) =-f (x+3 ) =-f (x) =f (x),即函数f (x)的周期是6.所以 f (2013 ) =f (335 X6+3 ) =f (3) =-f(0) , f (2015 ) =f (336 X

17、6-1 ) =f (-1 ) =-f(1)=-2因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以根据奇函数的性质可知f (0) =0,所以 f (2013) f (2015) 0+(-2)=-2 .考点：函数奇偶性的性质.24 .已知定义在 R上的奇函数f x满足f x 4 f x，且在区间0,2上是增函数，若方程fx mm 0,在区间8,8上有四个不同的根x1,x2, x3, x4 ,则 x1 x2 x3 x4 .【答案】-8【解析】试题解析： fx2 f x 2 f x 4 f x f x 8 fx4,即 f x f x 8f x是一个周期为8的周期函数，又函数是奇函数，所以f x关于原点对称.由

18、f x在0,2上是增函数，可做函数图象示意图如图：设x1 x2 x3 x4 ,因为函数图像关于 y轴对称，所以函数图像关于 x 4对称,所以xix24, x3x412,考点：函数的性质.25 .给出下列命题：已知集合 M满足 M 1,2,3,4 ,且M中至多有一个偶数，这样的集合 M有6个；2函数f(x) ax 2(a 1)x 2 ,在区间(，4)上为减函数，则a的取值范围为f(x).1.1.1f(2)f(3)f(61)f(-)f(-)f(一)60；23612- 一如果函数yf(x)的图象关于y轴对称，且f(x) (x 2014)1(x 0),2则当 x 0时，f (x) (x 2014)1；

19、其中正确的命题的序号是 。【答案】【解析】试题分析：中满足条件的 M有11个;中f(x)2ax 2(a 1)x 2，在区间(,4)上为减函数，则a的取值范围为01a 一 ；中 f (x) 5六，可得 f(x) fd) 1,f(2) f(3).1 Jf(61) f(2) f(§)1f(一) 60；中y f(x)为偶函数, 61当x 0时,f(x)2(x 2014)2 1,当 x 0 时，f (x)2(x 2014)2 1 ,故正确的命题的序-号是.考点：集合的概念及函数的应用1试题分析：Q f (x 1) f (x 2)f(x)1f(x 1)f (x),所f (x)是周期为2的函数，故

20、正确；又因为当 xC-1 , 1时，f(x)1 ,可知f (x)的图象4 . 由图像可知正确；由图象可知f (x) =t C1, 2,函数y t :在1 , 2上单调递2减，所以最大值为 5,最小值为4,故错误；因为x的方程f(x) f (x) m 0有22f(X) f%)2实根，所以f (x) f (x) m,因为 f (x) e 1 , 2,所以f (x) f (x) e 0 , 2,故m的范围是0, 2；有图像可知当x1,x2故错误.考点：函数的性质27 .定义在R上的函数f(X)满足：f(X 2) f(X) 0,且函数f(X 1)为奇函数，对于下列命题：函数f(x)满足f(x 4) f

21、(x);函数f(x)图象关于点(1,0)对称；函数f(x)的图象关于直线x 2对称；函数f(x)的最大值为f(2)；f(2009) 0.其中正确的序号为 【答案】1.【解析】试题 分析： 由 f(x 2) f(x) 0 得 f(x 2) f (x), 则 f(x 2) 2 f(x 2) f(x),所以f(x)的周期为4,则对，由f(x 1)为奇函数得f (x)的图像关于点(1,0)对称，则对，由f (x 1)为奇函数得f ( x 1) f(x 1),令 x x 1 得 f( x 2) f(x),又 f(x 2) f (x), f(2 x) f(2 x),则对，由 f( x 1) f (x 1)

22、得 f(1) 0 ,故f (2009)f(1) 0。考点：(1)周期函数的定义，(2)奇函数的定义，(3)赋值法的应用。 ，一一a x28 .已知函数f(x) 的图象的对称中心是(3,-1 )，则实数a .x a 1【答案】a 2.【解析】 ax试题分析：函数 f(x)的,函数图像的对称中心是(3,-1),x a 1 a x1. 一一将函数的表达式化为f (x) 1 ，所以a 1 3,所以a 2.x a 1 x a 1考点：函数的对称中心.29 .已知函数f (x)与g (x)的定义域为R,有下列5个命题：若f(x 2)f(2 x),则f(x)的图象自身关于直线 y轴对称；y f(x 2)与y

23、 f (2 x)的图象关于直线x 2对称；函数y f(x 2)与y f (2 x)的图象关于y轴对称；一 ，-一，I 一、，-，1，f(x)为奇函数，且f(x)图象关于直线X万对称，则f(x)周期为2;f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且g(x) f X 1 ,则f(x)周期为2。其中正确命题的序号是 O【答案】【解析】 . x 22 x试题分析：函数f x关于直线x0对称，正确2函数f x 2图像关于直线x 2对称的函数解析式 y f 4 x 2 f2x,正 确把函数y f x 2中x代换 x得y f 2 x ,关于y轴对称.一，、，1 ,， 一 丁 ，1 CC ，函数关于原点对称，关于直

24、线x 对称，周期T 4 - 02正确.22g x关于原点对称，g x f x 1关于直线x 1对称，周期T 41 0 4错误 考点：函数的对称性和周期性 .30.若f(x)是定义在R上的奇函数，且满足 f(x 2) f(x),给出下列4个结论：(1) f(2) 0;(2) f(x)是以4为周期的函数；(3) f(x 2) f( x);(4) f(x)的图像关于直线 x 0对称；其中所有正确结论的序号是 .【答案】【解析】试题分析：因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0) 0,则f (2) f (0) 0; f (x 2) f(x), f (x 4) f (x 2) f(x) f(x)

25、,即周期为 4；因为f(x)是定义在 R上的奇函数，所以 f( x) f(x),又f(x 2) f(x), f(x 2) f( x)；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)的图像关于直线(0,0)对称；故选f 1 x对任意实数都成立，函数考点：函数的奇偶性、周期性y g x与y f x的图像关于原点对称.(1)求f x与g(x)的解析式；(2)若F(x)= g(x) f x在-1 , 1上是增函数，求实数入的取值范围. 22【答案】(1) f (x) x2x, g(x) x 2x； (2)0.【解析】试题分析：(1)首先把13代入函数f(x)中得m n 2, f 1 x f 1 x对任

26、意实数都成立，则有f(0)=n f( 2) 4 2m n,即m 2, n 0,从而得函数f(x), g(x)的解析式；(2)函数在区间上是增函数，则函数的导数在此区间上为非负，分三种情况讨论即可.试题解析：(1)因 f(1)=1+m+n=3，得 m n 2,又有f 1 x f 1 x对任意实数都成立， 则f(0)=n f( 2) 4 2m n,即m 2, n 0,2所以f(x) x 2x ,又因函数 y g x与y f x的图像关于原点对称，则2g(x) x 2x.(2 )因F (x) = g(x) f x 在-1 , 1上是增函数，所以 ' . .F (x) ( 2 2 )x 2 2

27、 在-1 , 1上非负，2(1所以( 2 2 )( 1) 0 或2(1220(22)2(1 或 02) 0 ，解得 200.考点： 1 、函数的性质；2、导数判断函数的单调性32 已知 f(x) 是实数集R 上的函数，且对任意且对任意R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立 .1 )求证：f(x) 是周期函数.2)已知 f(-4)=2 ，求 f(2012).( 1 )详见解析2)【解析】试题分析：( 1 ) f x f x 1x1fx1 fxfx导下去，问题即可得证. ( 2) 根据 ( 1 )推导的x 的周期,根据周期性求2012 的值.试题解析：证明Qffxfxx1,fx2x1fxf

28、x1.fx3fx5分fx6fx3fxf x 是周期函数且6 是它的一个周期7分(2) f 2012 f 335 6 2 ff6( 4)f42.12 分考点：函数的周期性.33.设f(x)是(一00,十8)上的奇函数,f(x+2) = f(x),当 OWxWl 时,f(x) = x.(1)求f(兀)的值;(2)当4<x<4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积2) 4试卷第 19 页，总 18 页实用标准文档【解析】解：由f(x + 2) = f(x),得 f(x +4) = f(x + 2) + 2 = f(x + 2) = f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f

29、(兀)=f(兀-4) = f(4 一兀)=一(4一兀)=兀一4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x + 2) = f(x),得 f(x 1)+2 =f(x1) = f (x1),即 f(1 + x)= f(1 -x).故知函数y = f(x)的图象关于直线 x=1对称.又0WxW1时，f(x) =x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则当4<x<4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,f(x)的图象如图所示.1则 S=4Ssab = 4X(£ X2X1) = 4.35 .已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x -4) = - f(x).求f(2 012)的值

30、；(2)求证：函数f(x)的图像关于直线x= 2对称；(3)若f(x)在区间0,2上是增函数，试比较 f( 25) , f(11) , f(80)的大小.【答案】(1)0(2)见解析 (3) f( 25)<f(80)<f(11)【解析】解：(1)因为f(x -4) = - f(x),所以 f(x) =-f(x-4) = - -f(x -4) -4 = f(x 8),知函数f(x)的周期为T= 8.所以 f(2 012) = f(251 X8 + 4) = f(4) = f(0).又f(x)为定义在R上的奇函数.所以 f(0) =0,故 f(2 012) =0.(2)证明：因为 f(x) = f(x4),所以 f(x + 2) =- f(x + 2) - 4