与球有关的切、接问题(有答案)

1、8与球有关的切、接问题1 .球的表面积公式：S= 4卡2；球的体积公式 V=4,R332.与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a,内切球的半径为r, 外接球的半径为 R,取AB的中点为D,连接CD, SE为正四面体的高，在 截面三角形SDC内作一个与边 SD和DC相切，圆心在高 SE上的圆.因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO = OS=R, OE = r, SE=Aa, CE=a,则有 R+ r= Aa, R2 r2= |CE|2=|,解得 R = /a, r=(2)正方体与球：正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内

2、切圆，如图所a本.设正方体的梭长为 a,则QJ|= r = 2(r为内切球半径).与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，3-2a.则 |GO|= R=乎 a.正方体的外接球：截面图为正方形ACCiAi的外接圆，则|AiO|= Rf(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A1-AB1D1的外接球的球心和正方体 ABCD-A1B1clD1的外接球的球心重合.如图，设3 AAi= a,贝U R= a.如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的

3、外2 b222接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R2=a一4一c = 4(l为长方体的体对角线长).角度一：正四面体的内切球1. (2015长春*II拟)若一个正四面体的表面积为Si,其内切球的表面积为S2,则S1=解析：设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 &=4乎a2 =，3a；其内切球半径为正四面体高的1,即r=J*a=16a,因此内切球表面积为 & = 4 J='a,则皆二也包44 3126s2兀 26a6,3.兀角度二：直三棱柱的外接球B. iC.V22D.万2. （2015唐山统考）如图，直三棱柱 ABC-AiBiCi的六个顶点都在半径 为1的半球面上

4、，AB=AC,侧面BCCiBi是半球底面圆的内接正方形，则 侧面ABBiAi的面积为（）解析：选C 由题意知，球心在侧面BCCiBi的中心。上，BC为截面圆的直径，.ZBAC=90 ；MBC的外接圆圆心 N是BC的中点，同理AiBiCi的外心 M是BiCi的中心.设正方形 BCCiBi的边长为x, RtMCi中，俯视网OM = 2，MCi = 1, OCi=R=i（R为球的半径），£,2+ &j=i,即 x =/，贝U AB=AC=i,，S矩形 ABBiAi = "V2X i=T2.角度三：正方体的外接球3. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中

5、三个四边形都是边长为2的正方形），则该几何体外接球的体积为A.81-5B. 16 % C. 9兀D.27544解析：选A 如图所示，设球半径为R,底面中心为O'且球心为O, ,正四棱锥P-ABCD中 AB = 2, .AO/ =业.PO，=4, .在 RtAOO'中，AO2=AO' 2+OO' 2, /.R （2014陕西高考）已知底面边长为 球面上，则该球的体积为（）= (72)2+(4-R)2,解得 R=4，.,.该球的表面积为4 tR2= 4 tiX 4 2=,故选A.类题通法切” “接”问题的处理规律1. “切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面

6、体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过 作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.2. “接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.牛刀小试1. （2015云南一检）如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于（）B.100兀C. 25 兀D 25jt解析：选A 易知该几何体为球，其半径为5,则表面积为S= 4tiR2=100兀1,侧棱长为42的正四棱柱的各顶点均在同一个D 4-解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半

7、径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r= 2j12+12+fV2 2 =1,所以 V 球=432tx 1A.*B. 4兀 C. 2兀3 =亨,故选 D.3. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为 3的球面上，当正六棱柱的底面边长为46时，其高的值为（）A. 3小B.小 C. 2mD. 25h2解析：选D 设正六棱柱的高为h,则可得（y6）2+=32,解得h= 2/3.4. （2015山西四校联考）将长、宽分别为 4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起, 得到四面体A-BCD,则四面体A-BCD的外接球的体积为.解析：设AC与BD相交于。，折起来后仍然有 OA=OB = OC=OD, .外接球的

8、半径2,从而体积v=/酚=*.5. 一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球 。的体积的比值为 .解析：设等边三角形的边长为 2a,则V圆锥=1 a2 432 =孚而 （12课标理）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球 。的球面上 正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2,则此棱锥的体积为（A ）；又R2 = a2+（y3a 33般所以R=乎a,故V球=£.呼a"喏;则其体积比为得 33 . 32 732高考全国课标卷真题追踪1.（15课标1理）已知A, B是球O的球面上两点，/AOB =900, C为该球面上的动点,若O-AB

9、C三棱锥体积的最大值为 36,则球。的表面积为（C ）（A） 36二（B）64 二 （C）144二（D）256 ;2. （13课标1理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高8cm,将一个球放在容器口 ，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度，则球的体积为(A)(C)500 冗 3cm3(B)gcm3866 冗 3cm3,e 2048 冗 3(D) cm3ABC是边长为1的2 (A) 6(B)3(C)6(D)24. （12课标文）平面口截千。的球面所得圆的半径为1,球心O到平面口的距离为42,则此球的体积为（B ）(B) 4 3%(C) 43兀5. （1

10、0新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（B ）2(A)二 ac 72(B),二a-112(C) 二 a2(D) 5二 a6. （10新课标文）设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（B ）(A) 3二a2(B) 6二 a2(0 12 二 a2(D) 24二 a27. （07新课标文）已知三棱锥 S-ABC的各顶点都在一个半径为 r的球面上，球心O在AB上,SO_L底面ABC, AC = J2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是（D）D. 4九8. （13新课标2文）已知正四棱锥 O-ABCD的体积为 呼，

11、底面边长为 J3,则以。为球心，OA为半径的球的表面积为 24n 。9. （13新课标1文）已知H是球O的直径AB上一点，AH :HB=1:2, AB_L平面a , H为垂足，a截千。所得截面的面积为 n,则球O的表面积为_10. （11新课标理）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB =6,BC =2石，则棱锥OABCD的体积为8石.11. （11新课标文）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较16，一，-1大者的高的比值为-.312. （08新课标理）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 ，且该六棱柱的体