专题二----四点共圆的应用(共5页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题二-四点共圆的应用 【知识点】1、 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”；2、 性质：共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； 圆内接四边形的对角互补； 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角；3、 判定：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径； 共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆； 对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆； 相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，其对角线AC、BD交于P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C

2、、D四点共圆； 割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，两边AB、DC的延长线相交于点P，若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆；4、 四点共圆的妙用：巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长、最值等问题。【例1】如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰ACD和BCE，CA=CD，CB=CE，且ACD=BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。求证：APC=BPC【变式1】如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点

3、F作FGAE交BC于点G，求证：AFG为等腰直角三角形。【例2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的点，AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CD于点P， 交边CD于点F；求证：AE=EP 【变式2】如图，在RtABC和在RtDBC中，BAC=BDC=90°，点O、M分别为BC、AD的中点， 求证：OMAD【例3】如图，ABC和EFG均为边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当EFG绕点D旋转时，线段EM长的最大值是 ；【变式3】如图，在ABC中，ABC=90°，AB=6，BC=8，O为AC的中点， 过O作OEOF，O

4、E、OF分别交射线AB、BC于 E、F，则EF的最小值为 【例4】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CFBE，垂足为点F,连接OF，则OF的长为 【变式4】如图，正方形ABCD的中心为O点，面积为25；点P为正方形内一点，且OPB=45°，PA：PB=3:4，则PB= 【检测练习】1、如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是2、如图，在ABC中，ACB=65

5、6;，BDAC于点D，CEAB于点E，则AED= ，CED= 。3、如图，C为半圆O上一点，AB为直径，且AB=2a，COA=60°，延长CP交半圆于点D，过P点作AP的垂线交AD的延长线于点H，则PH的长度为 5、 如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为点O，连接AO， 如果AB=4，AO=，则AC的长为 6、 已知ABC为等腰直角三角形，C为直角，延长CA到D，以AD为直径作圆，连接BD与O交于点E， 连接CE，CE的延长线交O于另一点F，则BD：CF= 7、如图，若PA=PB，APB=2ACB，AC与PB交于点D，且PB=5，PD=3，则PD