苏锡常镇高三二模数学试卷及答案(word)

1、学习必备欢迎下载2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学I试题 2018.3一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1 .已知集合 A =-1,1, B=4,0,1,则集合 A1|B=.2 .已知复数z满足z=34i （ i为虚数单位），则z =3 .双曲线 工 =1的渐近线方程为434 .某中学共有1800人，其中高二年级的人数为 600.现用分层抽样的方法在全校抽取 n人，其中高二年级被抽取的 人数为21,则n =.5 .将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字 1, 2, 3, 4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的

2、数字,则两次数字之和等于 6的概率为.6 .如图是一个算法的流程图，则输出S的值是.7 .若正四棱锥的底面边长为 2cm,侧面积为8cm2,则它的体积为 cm3.8 .设Sn是等差数列an的前n项和，若az+a4=2, 5 +S4=1,则现。=.9 .已知a >0, b>0,且2十' = JOb",则ab的最小值是 a btan A 3c - btan B10 .设三角形 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知巴一 = 3cb ,则cosA =a -ex, x ：111 .已知函数f(x) = «4(e是自然对数的底).若函数y =

3、f(x)的最小值是4,则实数a的取值范围x ,x ,1x为12 .在 AABC 中，点 P 是边 AB 的中点，已知 CP=J3, CA =4 , /ACB = 2 ,则 CP CA=13 .已知直线l： x y+2 =0与x轴交于点A,点P在直线l上，圆C ： (x-2)2 + y2 =2上有且仅有一个点 B满足AB _L BP ,则点P的横坐标的取值集合为2f (1),14 .若二次函数f(x)=ax +bx+c(a>0)在区间1,2上有两个不同的零点，则 一的取值范围为 .a二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤

4、.15 .已知向量 a =(72sin a,1) , b =(1,sin(a +).4(1)若角豆的终边过点(3,4)，求a b的值;(2)若a/b,求锐角色的大小.16 .如图，正三棱柱 ABC-ABQi的高为J6,其底面边长为2.已知点M , N分别是棱A© , AC的中点，点D是棱CCi上靠近C的三等分点.Ji求证：(1) B1M /平面 ABN ；(2) AD _L平面 ABN .17.已知椭圆C：22x y ,-2-=1(a>b>0)经过点 a b(J3,1), (I,，3),点A是椭圆的下顶点22(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点A且互相垂直的两直线11,

5、12与直线y = x分别相交于E, F两点，已知OE = OF ,求直线11的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6, O是圆心，且OC_LAB.在OC上有一座观赏亭 Q ,其中2 二/AQC=.计划在BC上再建一座观赏亭 P,记/POB =日（0日一）.32AOU，.、“八 元，一一. ，（1）当日=一时，求ZOPQ的大小;3（2）当/OPQ越大，游客在观赏亭 p处的观赏效果越佳， 求游客在观赏亭 P处的观赏效果最佳时， 角e的正弦值.19 .已知函数 f (x) = x3+ax2+bx+c , g(x)=lnx.(1)若a=0, b = 2,且f (x)之g(x)恒成立，

6、求实数c的取值范围;(2)若b = 3,且函数y = f(x)在区间(1,1)上是单调递减函数.求实数a的值;当c = 2时，求函数h(x) Jf(x), f(x"g(x)的值域. g(x), f(x):二 g(x).八一 , . . . . . . _ _ *20 .已知Sn是数列an的前n项和，ai =3,且20=20书3 (n = N ).(1)求数列an的通项公式;(2)对于正整数i , j , k(i < j <k),已知九aj , 6ai , Nak成等差数列，求正整数 九，N的值;(3)设数列bn前n项和是Tn,且满足：对任意的正整数n ,都有等式aibn

7、+azbn+23/ + T 1成立.求满足等式 一=-的所有正整数 n .an 3an6 =3n 1 一3n-32017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学n (附加题)21.【选做题】在A, B, C, D四小题中只能选做两题，每小题 10分，共计20分 域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .A.选彳4-1 :几何证明选讲如图，AB是圆。的直径，D为圆O上一点，过点 D作圆。的切线交AB的延长线于点 C,.请在答题卡指定区且满足DA = DC.(1)求证：AB=2BC;(2)若AB =2,求线段CD的长.215,列向量XB.选彳4-2 :矩阵与变换4 0已知

8、矩阵A =：0 1 一(1)求矩阵AB;若B/A，X = 15L求a ,1b的值.C.选彳4-4 :坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点P(2夜-),圆心为直线Psin(B -) = -J3与极轴的交点，求圆C的极坐标方程. 43D.选彳4- 4-5 :不等式选讲已知x , y都是正数，且xy =1 ,求证：(1+x + y2)(1 + y+x2)29 .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是矩形，PD垂直于底面 ABCD , PD = AD = 2

9、AB ,点Q为线段PA (不含端点)上一点(1)当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值;(2)已知二面角 QBDP的正弦值为2,求PQ的值.3 PA23.在含有n个元素的集合An=1,2,n中，若这n个元素的一个排列(a1，a2,，an )满足a =i(i =1,2,n),则称这个排列为集合 A的一个错位排列(例如：对于集合A3 =1,2,3,排列(2,3,1)是A3的一个错位排列；排列(1,3,2)不是A3的一个错位排列).记集合An的所有错位排列的个数为Dn.(1)直接写出D1, D2, D3, D4的值;当n A3时，试用Dn. Dn表示Dn,并说明理由; *(3)试用

10、数学归纳法证明：D2n (n亡N )为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学I试题参考答案、填空题1.12.53.6.257.4,338.11.a _ e 412.613,3y =x 4.2635.31689.2、,610.11,514.30,1)3二、解答题43nn工 +sin = cos cos： sin 15.解：(1)由题忌 sina =- , cosot =-所以 a b = , 2 sin.2+sin(a ) = . 2 sin44.2 42323,2= i r =552522(2)因为 a / /b ,所以 x/2sin ct sin(a + )=1

11、 , gp 72 sin « (sin 口 cos + cos« sin )=1,所以 444,2sin a +sin a cos« =1 ,22则 sin a cos" = 1 sin a = cos a ,对锐角 a 有 cos« 丰 0 ,所以 tana = 1,n所以锐角:-=-. 416.证明：（1）连结MN ,正三棱柱 ABC AB1cl中，AA/CC1且AA =CC1 ,则四边形 AAC1c是平行四边形,因为点M、N分别是棱AC1 , AC的中点，所以 MN /AA1且MN = AA ,又正三棱柱 ABC A1B1cl中AA/BB

12、1且AA = BB1 ,所以MN /BB1且MN = BB1 ,所以四边形 MNBB1是平行四边形，所以B1M /BN ,又BM0平面A1BN , BN平面A1BN,所以B1M /平面ABN ;小(2)正三棱柱 ABC AB1cl中,AA _L 平面 ABC ,BN c 平面 ABC，所以 BN _L AA ,正 &ABC 中，N 是 AB 的中点，所以 BN_LAC,又 AA、ACu 平面 AAC1C , AA。AC = A ,所以BN _L平面AAC1c，又ADu平面AAC1c ,所以 AD _L BN ,由题意，AA J6 , AC = 2 , AN = 1, CD =,所以包*

13、 = = *口 ,13 AC CD . 2一. n 一 . . . 一又/AAN =/ACD =,所以 MiAN 与 AACD相似，则 /AAN =/CAD , 2所以 ZANA1 +/CAD =/ANA1 +/AA1N =一,2AiN仁平面ABN ,则 AD _L AN ,又 BN Cl AiN = N , BN ,所以AD _L平面ABN .3111 =1=2 所以椭圆C的标准方程为 L+y2=1； 1 217.解:(1)由题意得a 4b ，解得a a=1=1a2 4b2 1 b2 1(2)由题意知A(0,-1),直线11, 12的斜率存在且不为零,- y = k1x-1311设直线11

14、： y =k1x _1,与直线y =x联立方程有1，得E(,),y = xk1 -1 k1 -1111设直线 12 ： y = x 1 ,同理 F (,),k1_1_1 _1_1k1k1 、11因为OE =OF ,所以|二|一|, k1 -1_1.1k1-11.1 一=，k1+=0无实数解；k1 -11 1 k1一 -1 k1,二1， k1 -=2, k12-2k1-1=0, B#k1=1±V2,k1 -11 1 k11k1综上可得，直线11的斜率为1±J2.18.解：(1)设/OPQ=a,由题，RtAOAQ 中，OA=3, /AQO =冗/AQC = n所以 OQ =百，

15、在 AOPQ 中，OP=3, ZPOQ =-Q =-22由正弦定理得一OQ一 sin OPQOPsin OQP '即-3-sin :ji,所以、,3sin:二 sin(二- -)= sin(刃，sin(二-贝U 3 sin =二sincos二-cos一sin ;1二一 cos 23 .sin口 ,所以 V3sina =cosa因为"为锐角，所以cos" #0,所以tanu =近，得口3(2)设/OPQ =口，在 AOPQ 中，OP = 3, ZPOQ =-0 22 36OQOP 333由正弦定理得=,即=,sin OPQ sin OQP 加二 阿-()2.冗冗所以

16、V3sin a =sin(n -ot -(- -0) =sin( (a -0) =cos(a -0) =cosa cos0 +sina sinQ ,22从而(J3 -sin 6)sin a = cosot cosQ ,其中 33 -sin 00, cosa 丰 0 ,所以tan ：cos1.3 -sin 二cos1 - < 3sin记 f(8)=r=， f'(0)2, 8w(0,一)；3-sin ?(. 3 -sin ?)2令 f '(=0 , sine = 3,存在唯一备w (0,万)使得sin 6当8W(0,日。)时f '>0, f单调增，当 腔(日0,

17、()时f'<0, f(6)单调减,所以当日=的时，f(H)最大，即tan/OPQ最大，又NOPQ为锐角，从而/OPQ最大，此时sin日3答：观赏效果达到最佳时，6的正弦值为 319.解：(1)函数 y =g(x)的定义域为(0,+=c).当 a=0, b = 2, f (x) =x3 2x+ c , f (x)之 g(x)恒成立，x3-2x+c 占 ln x恒成立，即 c±lnx-x3+2x.令中(x) =ln x -x3 +2x ,12则'(x)=3x 2x1 2x -3x3x(1 -x)(1 3x 3x2)x令6(x)2,得x<1, 华(x)在(0,1

18、上单调递增,令叫x)X0,得x之1,9(x)在1,收)上单调递减, 当 x=1 时，W(x)max=/1)=1.c _1.(2)当 b = -3 时，f (x) =x3+ax2 -3x+c , f'(x) =3x2+2ax-3 .由题意，f'(x) =3x2 +2ax-3<0对 xw(1,1)恒成立,f'=3 2a-3<0，<()，.-a=0,即实数a的值为0.f '(-1) =3-2a -3<0函数y = h(x)的定义域为(0,).当 a=0, b = -3, c=2 时，f (x) = x33x+ 2 ._2_._2_.f'

19、(x) =3x2 _3,令 f '(x) =3x2 -3 = 0,得 x=1.x(0,1)1(1尸)f'(x)-0+f(x)极小值0当 xW(0,1)时，f (x) >0 ,当 x=1 时，f (x) =0 ,当 xW (1,2)时，f (x) >0 .对于 g(x) =ln x ,当 x w (0,1)时，g(x) <0,当 x = 1 时，g(x) = 0 ,当 xw (1,+=c)时，g(x) > 0 .当 xw (0,1)时，h(x) = f (x) A0 ,当 x =1 时，h(x) = 0 ,当 xw (1,")时，h(x) >

20、; 0 .故函数y = h(x)的值域为0, +=c).20.解：(1)由 2Sn =an+ 3 (n w N )得2&由=an七-3,两式作差得 2%+=a0七a书，即 an七=3an+(ne N ).a1 =3, a2 =2S +3 =9,所以 an+ =3a0 (n e N*),烝 *0 ,则包土 =3 (ne N*),所以数列an是首项为 3公an比为3的等比数歹U,所以 an =3n (n w N*)；由题意2+中ak =2 64，即九3j+N3k =2 6 3i ,所以，.3j，+ N3k=12，其中 j i 21 , k-i >2,所以131至3九主3, R3k占9

21、N之9,12 =九31' + 卜31<,之12,所以上=1, k-i =2,九= N=1 ；(3)由 ah +a2bn】+a3bnN + +anbi =3n'_3n3得，n -2abn4 +a2bn +a3bn+ +anb2 +an3i =33(n+1)3,aibn书 +3(abn +azbn+ +anb2 +anbi) = 3n也-3(n +1) 3,aibn J3(3n3n -3) =3n攵-3(n+1)-3,所以 3bn卡=3n%-3(n +1) T 3(3n*-3n -3),即 3bn+ =6n +3 ,所以bn十=2n+1 (n = N ),又因为 aQ =31

22、 3 1 3=3,得匕=1 ,所以 bn =2n -1 (n w N*),.1，2n -12* T n *从而 Tn =1 +3+5+ + (2n-1) =n=n (n £ N ) , =- (n £ N ),2an3n当口=1时工=1；当n=2时T2 = 4；当n=3时马=1;a3a2 9a3 3、一，一，, T 1卜面证明：对任意正整数n > 3都有< 一an3"Jn+i" an 1an32-n1(n 1)2 -3n2)"(fn + i), 3当 n 23时，2n2 +2n +1=（1 -n2） +n（2 n） <0 ,即

23、丛-Tn- <0 , an 1 an所以当n至3时，仄递减，所以对任意正整数 n>3都有Tn <工=1；anan a3 3T 1综上可得，满足等式 =-的正整数n的值为1和3.an 32017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学R （附加题）参考答案21.【选做题】A.选彳4-1 :几何证明选讲证明：（1）连接OD, BD.因为AB是圆O的直径，所以/ADB=90,，AB = 2OB.因为CD是圆。的切线，所以NCDO =90，,又因为DA =DC ,所以/A=/C ,于是 MDB与ACDO ,得到AB = CO ,所以 AO =BC ,从而 AB =2BC

24、.(2)解：由 AB=2及 AB=2BC得到 CB=1 , CA = 3.由切割线定理，CD2 = CB CA = 1 父3 = 3,所以 CD = J3 .B.选彳4-2 :矩阵与变换左4 0 1 24 8解：(1) AB = 111=);：0 1 J：0 5 一 b 5 一(2)由B,A,X =5 L解得X = AB一18 5旧45.C.选彳4-4 :坐标系与参数方程解：在 Psin(6 _=)=J3中，令 0 =0,得 P = 2 ,3所以圆C的圆心的极坐标为(2,0).因为圆 C 的半径 PC = J(2 J2)2 +22 -2x272 x2xcos- =2 ,于是圆C过极点，所以圆的

25、极坐标方程为P = 4cos日.D.选彳4-5 :不等式选讲证明：因为x, y都是正数，所以 1 + x + y2 >33/Xy2* >0 , 1 + y + x2 之3夺商 >0,2、，.2、(1+x+y )(1+y+x ) >9xy ,又因为 xy=1,所以(1 xy2)(1 yx2) _9.D(0,0,0),22.解：(1)以D为原点，DA, DC , DP为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB = t，则A(2t,0,0) , B(2t,t,0), C(0,t,0) , P(0,0,2t), Q(t,0,t);T所以 CQ =(t,-t,t), DB=(2t,t,0), DP=(0,0, 2t),TDB n1 =0设平面PBD的法向量n1 =(x,y,z)，则«TDP n1 =02tx ty = 0 .修 2x y = 0 一,人，_ - t即j2ty ，解得x 0y ，所以平面PBD的一个法向量n =(1,-2,0),欢迎下载则CQ与平面PBD所成角的正弦值为155 PQ-t-t(2)由(1)知平面PBD的一个法向量为n1 = (1,2,0)，设、=K(0 九1)，则PQ =九PA , DQ PA= (0,0,2 t) + M2t,0, 2t) = (2t 九,0,21(1 - Z) , DB