导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)

1、导数及其应用基本知识点/（X。+ 山）-“0）1，导数：当山趋近于零时，兀趋近于常数C。可用符号“T”记作：当"T0时,/（O + Aa）- /（Xo）f（x（） + Ax） - /（Xo） lim = c肛TC或记作X,符号“-，读作“趋近于，。函数在几的瞬时变化率，通常称作心在X = f处的导数，并记作厂（入）。即缶)in/gUTg)AxtO2, 导数的儿何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数曲物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。即若点Pg*。为曲线上一点，则过点"儿）的切线的斜率/(X。+ Ax) - /(心)Ax由于函数八/在“处的导数，表示曲线在点p

2、gjg）处切线的斜率，因此，曲线y =八刃在点“心j（x。）处的切线方程可如下求得：（1）求出函数y = fM在点。处的导数，即曲线y = fM在点"%"。）处切线的斜率。（2）在己知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y -儿二厂（入）（*-心），如果曲 线y = fM在点p（®J（®）的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知, 切线方程为x = x°,故过点 5九）的切线的方程为： 一儿=£（入）"_心）3, 导数的四则运算法则：（1）（fM±g（x）y= ff（x）±gfM（2）

3、f（x）gMY = f fMgW f Mgx）9/八/（x）l g（x）fx） - f（x）gx） 77 = 2gMg2（x）4, 几种常见函数的导数:(7)(ex)z = eJ(8)(ax)，= "lna5, 函数的单调性：在某个区间(a#)内，如果/(a)>0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递增；如果/(x)< 0,那么函数y =八刃在这个区间内单调递减。6, 函数的极值求函数的极值的方法是：解方程= o当厂(入)=o时：如果在附近的左侧厂(x)>0,右侧厂(x)<0,那么f(x0)是极大值；(2)如果在X。附近的左侧厂(x)<0,右侧厂(

4、巧>0,那么/(%)是极小值.7, 函数的垠大值和最小值(1) 设y = f(x)是定义在区间a,时上的函数,y = y(x)在(a,b)内有导数,求函数y = f(x)在a,b 上的最大值与最小值，可分两步进行：(1) 求y = f (x)在(a,b)内的极值；(2) 将y =八刃在各极值点的极值与/(a)、/'3)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值；(2) 若函数f (x)在a,h±单调增加，则f (a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值;若函数/(x)在a,b上单调递减，则/(“)为函数的最大值，/(b)为函数的最小值.注意：(1)在求函数的极值

5、时，应注意：使导函数厂(刃取值为0的点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数fW = x3的导数/7x) = 3x2,在点"0处有厂(0) = 0,即点X = O是f(x) = x3的驻点，但从/(X)在(-8,+8)上为增函数可知，点x = 0不是/'(X)的极 值点.(2)在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系 式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导(其实只要是初 等函数，它在自己的定义域内必然可导)，并且按常理分析，此函数在这一开区间内应 该有最大(小)值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导

6、函数为0, 那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大(小)值。(3) 极大(小)值与最大(小)值的区别与联系。y=f(x)接近某分，记作f(x)dx叫做被积式，b, a分别叫做11,微积分基本定式)：如果YA y=f(x)理(1)(牛顿莱布尼兹公，且/(X)8, 定积分的定义如果函数几才)在区间a, b上连续，用分点a=xo<Xi<.Xi-i<Xj<.<xn=bt将区间 a, b等分成n个小区间，在每个小区间K-i，旳上任取一点佥(£=1, 2, .» "),作和式£/(.)Ax = £/(.),当“too时，上

7、述和式无限f=1上1 n个常数，这个常数叫做函数兀)在区间d, b上的定积f(x)dx =lim Vo"U n注：在f/U)dx中中f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量, 积分上限和下限，区间a,b叫做积分区间。9, 曲边梯形：曲线与平行于，轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形。根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数y=/(x)在区间S幻上的定积分，即S = f/(x)c求曲边梯形而积的四个步骤：第一步：分割.在区间a，b中插入各分点，将它们等分成“个小区间卜一，叩C = 1 , 2 ,，町，区间x.-j , xj 的长度 Ax. = X； -；第二步：近似

8、代替，“以直代曲"，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲 边梯形而积的近似值；第三步：求和；第四步：取极限。10,定积分的几何意义：£f(x)dx表示介于X轴，曲线y=f(x),与直线x=a,x=b之间部分的曲边梯形而积的代数和,在x轴上方的而积取正号，在x轴下方的面积取负号。如下图(1) (2)：在a. b上可积，则jbf(x)dx= F(h)-F(a),其中F(x)叫做八朗的一个原函数。由于尸(力+盯=：f (x), ，(”) + <也是/")的原函数，其中c为常数一般地，原函数在°上的改变量F()- FS简记作Fg因此，微积分基本定理可以写成形式：f；/(xMx=F(x)|： = F(b)-F(a).12,定积分的性质: kf (x)dx = k£f(x)dx ,(其中 k 为常数): f (x) ± g(x)dx = j f (x)dx ± £g(x)dx : J f (x)dx = | f (x)dx + j f (x)dx (Jt中 a<b<C)o13, 利用函数的奇偶性求定积分:若f(x)是a,a上的奇函数，则J； f(x)dx 若f(x)是a,a上的偶函 数，则 Jj(x)dx =