2017中考数学压轴试题复习第一部分专题七因动点产生的线段和差问题

1、1.7因动点产生的线段和差问题课前导学线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”.两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1）.三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射” 问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图 2）.两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长.如图 3,PA与PB的差的最大值就是AB此时点P在AB的延长线上，即P如图 4，正方形ABC啲边长为 4,AE平分/BAC交BC于E.点P在AE上，点Q在

2、AB上，那么BPC周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点C不确定啊.第一步，应用“两点之间，线段最短”.如图 5,设点B关于“河流AE的对称点为F,那么此刻PF+PQ的最小值是线段FQ第二步，应用“垂线段最短”.如图 6,在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的.河第二类问题是 “两点之间，线段最短”解决线段和差的最值问题,结合“垂线段最AD图 4AD图 5图 62例 502014年湖南省郴州市中考第 26 题2已知抛物线y=ax+bx+c经过A 1, 0)、耳 2, 0)、C(0,

3、2)三点.(1) 求这条抛物线的解析式；(2)如图 1， 点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC勺面积最大？求出此时点P的坐标；(3) 如图 2,设线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D, M为抛物线的顶点，那 么在直线DE上是否存在一点G使厶CMG勺周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存 在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 14 郴州 26”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到CB的中点的正上方时，四边形ABPC勺面积最大拖动点G运动，可以体验到，当A G M三 点共线时，GO GM最小，CMG勺周长最小.思路点拨1. 设交点式求

4、抛物线的解析式比较简便.2. 连结OP把四边形ABPC勺面积分割为三个三角形的面积和.3第(3)题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标.图文解析(1)因为抛物线与x轴交于A 1,0)、B(2, 0)两点，设y=a(x+ 1)(x 2).代入点C(0, 2)，可得a= 1.所以这条抛物线的解析式为y= (x+ 1)(x2) =x2+x+ 2.(2) 如图 3，连结OP设点P的坐标为(x, x2+x+ 2). 由于&AOC= 1 ,&POC=x,SPOB= x+x+ 2 ,所以S四边形ABP=SAAO&hSAPOCSAPOB=x+ 2x+ 3 = (x 1

5、) + 4.因此当x= 1 时，四边形ABPC勺面积最大，最大值为 4.此时 R1,2).(3)第一步，几何说理，确定点G的位置：如图 4,在厶CM(中,CM为定值，因此当G(+GM最小时，CM周长最小.3由于GA= GC因此当GA GM最小时，GGF GM最小. 当点G落在AM上时，GAr GM最小（如图 5）.1 9得M(,).2 4由A( 1, 0)、M(丄,-)，得直线AM的解析式为y =3x.2 422第（2）题求四边形ABPC勺面积，也可以连结BC（如图 8）.因为ABC的面积是定值，因此当厶PCB的面积最大时，四边形ABPC勺面积也最大. 过点P作x轴的垂线，交CB于F.AC =

6、, cos /CA=ADAO-1，所以AE - 5AD=?,E(- ,0)AEAC.522图 3图 4第二步，代数计算，求解点G的坐标：如图 6,1yM1AL一B/ 10 7219由y=_x+x+ 2=_(x )224如图 7,作GHL x轴于H设点G的坐标为（x3x+?）.2 2由于 tan /GEH=tan /AC8丄，所以空=丄，即EH=2GH2EH23解得 r所以G(-8 16/ HocA/:ABO s考点伸展图 7图 84因为PCF-与PBF有公共底边PF高的和等于C B两点间的水平距离，所以当PF最 大时，PCB勺面积最大.设点F（x, x+x+ 2） ,F（x, x+ 2），那么

7、PF=x+ 2x.当x= 1 时，PF最大.此时P（1,2）.335例 512014 年湖南省湘西州中考第 25 题如图 1,抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点Q点B（2 -和，3点q 3, 3）均在抛物线上，点F（0,_3）在y轴上，过点（0,3）作直线l与x轴平行.44（1） 求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2） 设点D（x,y）是线段BC上的一个动点（点D不与B C重合），过点D作x轴的垂 线，与抛物线交于点G设线段GD的长为h,求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何 值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3） 若点P（m n）是抛物线上位于

8、第三象限的一个动点，连结PF并延长，交抛物线于 另一点Q,过点Q作QSL l，垂足为S,过点P作PNL l，垂足为N,试判断FNS的形状，并说明理由；（4） 若点A 2,t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连结AF,当点M在何动感体验请打开几何画板文件名“ 14 湘西 25”，点击屏幕左下方的按钮（2）,拖动点D在BC上 运动，可以体验到，当点D是BC的中点时，GDt大.点击按钮（3）,拖动点P运动，可以 体验到，FNS保持直角三角形的形状点击按钮（4）,拖动点M运动，可以体验到，ME与MF保持相等，当AE是垂线段时，MB MA最小.思路点拨1第（2）题用x表示G D两点的纵坐标，GD

9、的长就转化为关于x的二次函数.2第（3）题是典型结论：抛物线上任意一点到直线I的距离等于它与点F间的距离.3.第（4）题要经过两步说理，得到MA MA勺最小值是点A到I的垂线段长.图文解析2（1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以y=ax.11代入点C（ 3, 3），得a二-丄所以抛物线的解析式为y二-丄X2.33设直线BC的解析式为4y=kx+b,代入B（2,-）、q 3, 3）,2k b = 得2k b6-3k b = -3.1 1解得k石,b 2.所以直线BC的解析式为乜-2.7（2）由于点D G分别在直线BC和抛物线上，所以D（x,x_2）,G（x, x2）.33所以h=GD= _1x(

10、12)=-1(x+1)2+25.333212125因此当X二一1时，h取得最大值，最大值为25.212（3）如图 2，设点（当为H.设直线PQ的解析式为 八収.44_31c13联立直线PQ y=kx与抛物线y = - x2，消去y,得x2+kx =0.4334所以X1X2=_9它的几何意义是HSHNk9.44又因为HP -.所以HF=HS HN所以-=-HS.2HN HF所以 tan / 1 = tan / 2.所以/ 1 =Z2.又因为/ 1 与/ 3 互余，所以/ 2 与/ 3 互余.所以FNS是直角三角形.考点伸展第（3）题也可以通过计算得到 对等角”及“两直线平行，内错角相等应用这个结论，就容易解答第（如图 3,作MELl于E,那么MF= ME当MEb MA的值最小时，MFb MA的值也