福建省宁德市2020—2021学年度第一学期期末高一质量检测数学试题【含答案解析】

1、宁德市2020-2021学年度第一学期期末高一质量检测数学试题（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上。2 .全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请在答题卡的相应位置填涂。1 .命题 p： VxtR,x2+3>0,则f 为（）.A. Vxe + 3<0 b. 3xe+ 3>0 c. Vxe + 3<0 d. 3xe R,x2 + 3<02 .函数/(x) = 12-x +

2、 lnx的定义域是()A. (0,+co)B.(0,2) C. (0,2 D. (-co,2)3 .要得到函数/（x） = sin2x的图象，可将函数g（x） = sinx的图像（）.A.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变C.横坐标缩短到原来的L,纵坐标不变 24.己知4 = 2。6/=0. 61c = logo62 则（Ka>b>c B.a>c>b C.ob>aB.纵坐标缩短到原来的1,横坐标不变 2D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变）.D.c>a>b5 .已知不等式"后+加1+1>。恒成立，则?的取值范围为（）.A.（0,4）

3、B. 0,4） C. 0,4 D. （7,054，2）1 46 .设= 1,求一+ 一的最小值为（）。A. 2B.4C.8 D. 97 .己知定义域为R的奇函数在（，0）单调递减，且/（2） = 0,则满足叶（不）之0的x的取值范围是（）A. （00,2kJ2,+*=<>）B. 2,2C. 2,0）kj（0,2JD. 250）o2,+=o）8 .德国著名的天文学家开普勒说过："几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿，”黄金三角形有两组成，如图所示，在其中一个黄金 ABC中,BC _ 乒1AC- 2种，

4、其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72。的等腰三角形 （另一种是两底角为36。的等腰三角形）。例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形根据这些信息，可得。?54。=(1 + /53 + y/5A. B.).c*81-2>/5 D.4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9 .如果那么下列不等式正确的是()A.a3 >b'B.->- C.2° >2b D.ac1 >bc2a b10 .己知函数/(x) =

5、 x“"图像经过点(9, 3),则下列结论正确的有().B. /(x)为增函数D.若 M >七 >0,则 /(2II.已知角。的顶点与原点O重合,34 1始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P -二，将角a的终边逆时针旋转90。得到角则下列结论正确的是()A. tan a = B.cos Z = | C.sin(a-/?)=-1 D.sin(/7 + ?) =一 £12.已知定义在R上的函数/(x)的图象连续不断，若存在常数4(九£/?),使得/(x + X) + /l/(x) = O对任意的实数X恒成立，则称/(X)是回旋函数。给出下列四个命题中，

6、正确的命题是()A.函数/(x) = 4 (其中。为常数)为回旋函数的充要条件是 = 1.B.若函数f(X)=/(4>l)为回旋函数，则上>1.C.函数了/(x) = cosg,不是回旋函数。若"X)是几=2的回旋函数，则/(戈)在0, 2020上至少有1010个零点。三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置°13 .计算心25 +总4 +匕。82 8的值为314 .已知半径为3的扇形面积为二万，则这个扇形的圆心角为215 .函数/(x) = cos(r + 0的部分图像如右图所示,单调递减区间为16 .已知再满足3x + e&

7、#39; = 3,超满足3x一/-' = 3,则$ +x2 =四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题10分）已知集合 A = xl/ +3x-2>0. B = xm<x<+ 2）.（1）若"? = !时，求AcB： 2（2）若从q 8"求实数机的取值范围。18 .（本小题12分）设函数/（x） = 2L二，且/=2,/（2） = ?, x2（1）求/（X）解析式：（2）判断/（工）在区间1, +8）上的单调性，并利用定义证明。19 .体小题 12 分）已知函数 f（x） = 2sin2 x +

8、2sinxcosx-l.（1）求/（幻的最小正周期：（2）若 a e （0, ）,/ （ + ） => 求 cos a 的值。20 .（本小题12分）2020年下半年受拉尼娜现象的影响，某市持续干旱，不仅使自来水供应严重不足，而 且水质质量也明显下降。为了给广大市民提供优质的饮用水，某矿泉水厂特别重视生产过程 的除杂质工序，过滤前水含有杂质4% （其中a为常数），每经过一次过滤均可使水的杂质2含量减少二，设水过滤前的量为1,过滤次数为x（xeN*）时，水的杂质含量为.3（1）写出y与x的函数关系式：（2）假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0. 002。,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要

9、求？（参考数据：lg2 = 0. 301/g3 = 0. 477）21（本小题12分）已知函数/（幻=改2+3工一1。 若/（x）。的解集为（一1,），求/（x）的零点;(2)若/(x)在(-1, 1)内恰有1个零点，求。的取值范围。22.(本小题12分)己知函数/(x) = Asin(S： + e)(A>0, 0>0,1。lv工)只能同时满足下列三个条件中 2的两个： 函数/(同的图像的一个最高点为(£,4);6 函数/(x)的图象可由函数y = 2sin(x 殳)的图象平移得到：6 函数/(力图象相邻的两个对称中心之间的距离为1。(1)请写出这两个条件的序号，并求出了

10、(X)的解析式； 已知函数g(x)的图象关于点(1, 0)对称，当xeQ 1时，g(式)=/_吠+7-1.若对Vep 2,大，e-工，使得g(xJ = /(M)成立，求实数？的取值范围。6 3宁德市2020-2021学年度第一学期期末高一质量检测数学试题参考答案一、选择题：1-4： DCC A 5-8： BD BA二、多选题：9. AC ； 10. BCD； 11. AC ； 12. AD三、填空题：兀(13 A13.314. 15.乃，2k-,2k + -(keZ)344 /16. 2备注：第15题前空2分后空3分，后空的区间写开或闭皆可，AeZ未写不扣分.四：解答题: 17.解：因为一炉+

11、3x2之0,所以Y-31+2 «0, 1分所以4= 1 < x < 2.3 分113因为 ? = 一5,所以8 = -54乂<54分6分10分3所以 Ac3 = x/1Wx42m< 1in + 2 > 2m < 1，所以0 K6K 1. m>018 .解:7(1) = 2（1）由题意得4a + h = 24a + b _ 522分a+b = 24" = 5解得厂+1 所以X（2）由（1）知/（x） = x + ,，函数/（X）在l, + 8）单调递增，6分X证明如下：任取£1，+°°），且演 ，有） -

12、 /（X,） = （x, + ） -（x, + ）7 分不 X?(须一)(&-1)9分因为1 Xj x2,所以入总0,工-0，再看一10,所以/*）在U + 8）单调递增，命题得证.12分所以/（8）_/（）0，即/（%）/（/），11分19.解：(1) f (x) = 2sin2 x + 2sinxcosx-l=sm 2a-c0s2x=41(- sin 2x - cos 2x)=5/2sin（2x-）4 分4所以/（x）的最小正周期为46分(2) f(+ ) = 2sin(a + - -) = 5/2sin(a-) 2 2412 46因为2£(0,1),2-0(一,?),

13、2 o o 38分9分所以5/?sin(2 三)=, 即 sin(a-)=6565”. z /r 3所以 cos(a)65z 7t. TC 因为COSG=COS (。一一)+ 66= 8s(a/)CsingW 66663 V3 4 13 褥-4=xx=5 2 5 210所以3。=巫士10220.解：（1）因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少一，3所以每次过滤后所含的杂质是前一次的L 3所以得到），=即 y = -x(-)A,xe N,100 3（没有写xwN*扣1分）（2）设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求，则6/%x(1)A<0,00%12所以(一3100012所以 lg()x

14、<lg310001?31000、3 近 2 3-0.3015所以 x 2- =x 5.71g 30.47712分10分又xeN*,所以11分即至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.12分21.解法一：（1）依题意得方程ax'+3x 1=0的两根为T, b, 1分将x = 1代入方程得a = 4, 2分于是方程如2 +3x-l=0可化为4/ +3x l=0 ,解得x = 1或1=3分4所以函数/（X）的零点为-1,4分4(2)因为函数/(幻=,储+3、一1在(一1,1)内恰有1个零点，所以该函数图象在内与x轴只有一个公共点.(i)当。=0 时，由/(x) = 3x l=0,得故 ”

15、 =0 满足题意；5 分(ii)当。大0时，当函数/(x)的图象在x轴两侧时，则由/(一1)/(1) = (。-4)( + 2)<0解得-2 V。<4, 6分此时-2vc/v4且。工0,满足题意7分当。=-2时，x = le(-l,l),满足题意： 8分2当”=4时，x = -e(-bl),满足题意.9分4当函数/(X)的图象在x轴同侧时，则由4 = 3?-4x4x(1) = 0解得 =-2io分49 o)2由/(工)=-工厂+3工-1=0即 9厂-12%+4=0解得x = ：£(-l,l)9故。=一一，满足题意.11分4综上所述，的取值范围是2,4U_>.12分解

16、法二： (1)同解法一;4分(2)依题意知方程以2+31 1=0在内恰有1个实根，5分显然x=o时不满足方程ax1 + 3x -1=0,3x j所以 a = = (一) 3()6 分XX令r = L 因为xe(-l,O)U(O'l)， x所以 1 W (一-一 1) U (1,+8),10分结合图象可知，要使两函数图象恰有一个公共点，必须£-2,41|-；12 分22.解：(1) ®由条件知A=4,由条件知丁 =开，从而6y=2.因为(2,4)为函数f(x)图象最高点，6所以 2£+0=:+2九, wZ , (p=+2k7r.626因为例所以方卷所以 /(

17、x) = 4sin(2x + -).61分2分71(2)由(1),当xw 时，2x + -e 6 36当2x+二=一工时，/(X)取最小值一2, 66当2x + £=£时，/(X)取最大值4, 6 2所以f(x)在xe时的值域为-2.4.记函数y = g(x)，xe0,2的值域为A.若对任意的$e0,2,存在x,6 3使得g(X) = /'()成立，则4=-2,4.6分 因为xe°时，g(,T)= /一氏 + ?一1 ,所以g=0,即函数g(x)的图象过对称中心(1.0).(i)iy<0,即叱。时，函数g(x)在0/上单调递增，由对称性知，g(x)在1,2上单调递增，从而 g(x)在0.2上单调递增.g(0) = m-l，由对称性得g(2) = -g(0) = l,贝lj A = - 1,1 一川.要使人口一2,4,只需4m -1 > -21 - /?/ < 4上单调递减，在上单调递增，由对称性知,解得/21,所以一 1 W?W08分(ii)当0<g<l,即0<机<2时，函数冢X)在：0,g(外在1,2上单调递增，在2-y,2上单调递减.所以函数g(x)在0,；上单调递减，在-,2-上单调递增，在2-竺,2上单调递减, 2222*3)由=min< g(3)，g(2)，双幻侬=max <