立体几何大题训练与答案

1、1、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，直角三角形，ABAE 2,FAFE,AEF45E.（ 1）线段CD的中点为P，线段AE的中点为M，F M求证： PM / 平面 BCE ；（ 2）求直线 CF 与平面 BCE 所成角的正切值 .AD.解：（ 1）取 AB 的中点为N，连 MN ,PN,则MN/EB ,PN/BCP面 PMN /面 EBC ,PM / 平面 BCE?(2) 先证出 FE面 EBC，?FCE 为直线 CF 与平面 BCE 所成角，?tanFCEFE6?EC6 ABE 是等腰BC5 分8 分11 分14分2、己知多面体ABCDE 中， DE平面

2、 ACD ， AB / / DE ， AC=AD=CD=DE=2，AB =1 ，O为CD的中点.B(1)求证： AO平面 CDE ；A(2)求直线 BD 与平面 CBE 所成角的正弦值CEOD3、如图， 在ABC 中，C 90，AC BC3a ，点 P 在 AB 上， PE / BC交AC于E，PF/AC 交 BC 于 F沿 PE 将APE翻折成A' PE ，使平面 A' PE平面ABC ；沿 PF 将 BPF 翻折成 B'PF ，使平面B' PF平面 ABC （ 1）求证： B' C / 平面 A' PE ；（ 2）若 AP2PB ，求二面角A

3、' PCE 的平面角的正切值A'CEAB'FPFCEABBP解：（ 1）因为 FC / PE ， FC平面 A' PE ，所以 FC /平面 A' PE因为平面 A' PE平面 PEC ，且 A' E PE，所以 A' E平面ABC ? 2 分同理， B' F平面 ABC ，所以 B' F / A' E，从而 B' F /平面A'PE ? 4 分所以平面 B' CF /平面 A' PE，从而 B' C /平面 A' PE?6 分（ 2）因为 ACBC3a ，

4、AP2BP ，所以 CE a， EA2a ， PE2a ， PC5a ?8 分过E作EMPC ，垂足为M，连结 AM A'B'CEMAFPB（第 20 题）由（ 1）知 A' E 平面 ABC ，可得 A EPC ，所以 PC 面AEM ，所以 AMPC所以 A' ME即为所求二面角A' PCE 的平面角，可记为?12分在 Rt PCE中，求得 EM25a ，5所以 tanA E2a?15分EM255a5、如图，平面，平面，BAC 120 0 ，为4DAABCEDBCDDE=DA=AB=AC.MBC中点 .E(1) 求直线 EM 与平面 BCD 所成角的

5、正弦值；(2)P 为线段DM 上一点，且APDM ，求证： AP/DE.DPACMB解： (1)ED平面 BCD ，DM 为 EM 在平面 BCD 上的射影，EMD 为 EM 与平面 BCD 所成角?2分DA平面 ABC ，DAAB, DAAC，E设 ABa ，又DAABAC ，DCDB2a 在 ABC 中，BAC 120， BC3a ，D又M为BC中点，DMBC ，BM1BC3DM5Pa ，a ? 5 分2223AC在 Rt EDM 中， EMDE2 DM 2a ，M2Bsin EMDDEa2 ?7 分EM3a32（ 2）ABAC，M 为 BC 中点，BCAM 又 DA平面 ABC ，BCD

6、A ，BC平面 DAM ?9 分又 AP平面 DAM ，BCAP ，?11 分又APDM ，AP平面 BCD ?13 分又ED平面 BCD ，AP/DE ?14 分5、如图，已知 ABCD 是边长为1 的正方形， AF 平面 ABCD ，CE AF ，CEAF(1)（1）证明： BD EF ；E（2）若 AF 1，且直线BE 与平面ACE 所成角的正弦值FAD为 3 2，求 的值10解：（ 1）连结BD、AC，交点为ABCD是正方形? 2分BDAC 平面ABCD ?4 分AFAFBDBD 平面ACEF?6 分BD EF?7 分（2）连结OE ，由（ 1）知，所以 BEO 即为直线BD 平面 A

7、CEF ，BE 与平面ACE 所成的角?10 分 AF 平面 ABCD ， CE AF ， CE 平面 ABCD ， CE BC ，BC =1 ，AF 1，则 CE， BE12，BO2 ，2RtBEO 中， sinBEO BO23 2 ，? 13分BE21210因为1 ，解得4 ?15 分36、如图，在几何体中，AA1 平面 ABC ， ABBC,CC 1 /AA1,AB BC AA 1 2,CC1 1, D, E分别是 AB, AA 1 的中点 .A1(1)求证： BC 1/ 平面 CDE ；(2) 求二面角 EDCA 的平面角的正切值 .EC1ACDB解：（ 1）连接 ACR 1R 交 E

8、C 于点 F，由题意知四边形 ACCR 1RE 是矩形，则 F 是 ACR 1R 的中点，连接 DF ， D 是 AB 的中点， DF 是 ABCR1R 的中位线， BCR 1R/DF ，4 分 BCR 1R 平面 EDC ， DF平面 EDC ，BCR 1R/ 平面 CDE.7 分(2) 作 AH 直线 CD ，垂足为 H，连接 HE ， AAR 1R平面 ABC ， AAR 1RDC ， CD 平面 AHE ， CD EH ，AHE 是二面角 E CD A 的平面角 .11 分D 是 AB 的中点， AH 等于点B 到 CD 的距离，在 BCD 中，求得： AH 2 5 ，5在 AEH 中

9、，AE5tan AHE2AH即所求二面角的正切值为5.27、如图，已知平面QBC 与直线 PA 均垂直于Rt ABC 所在平面，且（ 1）求证：PA / / 平面 QBC ；PAABAC,（ 2）若 PQ平面 QBC ，求 CQ 与平面PBC 所成角的正弦值C解：（ 1）证明：过点Q 作BC 于点 D，QD平面 QBC 平面 ABC ， QD平面 ABC ?2 分又 PA 平面 ABCQD PA ,?2 分又 QD平面QBCPA 平面QBC?6 分（ 2） PQ 平面 QBC PQBPQC90，又 PBPC, PQPQPQBPQCBQCQ?8 分点 D 是 BC 的中点，连结AD ，则 ADB

10、CAD平面QBCAD，ADQDPQ四边形PADQ 是矩形?10 分设 PA AB AC 2a得： PQAD2a ， PD6aBCPA, BCPQ ，BC平面 PADQ，又.PQAB从而 平面 PBC平面 PADQ ，过 Q 作 QHPD 于点 H ，则： QH平面 PBC QCH 是 CQ 与平面 PBC 所成角?12分2 3QH2 2aa ， CQBQ6a63QH2 312sin QCH363CQ2CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值为?38、如图，在直三棱柱ABC A1 B1 C1 中，ABC 是等腰直角三角形，AA 1=2， D ，E 分别为 CC 1 与 A 1B 的中点，点E 在平面

11、ABD 上的射影是(1) 求证： DE/ 平面 ACB ；(2) 求 A 1 B 与平面 ABD所成角的正弦值.14 分ACB900 ，侧棱ABD 的重心 .A1C1B 1DEACB9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B1 C1 中，底面 ABC 为等腰直角三角形， B=90 °,D 为棱 BB 1 的中点。B1（ 1）求证：面 DA 1C面 AA 1C 1C；AA 1A112 ，求二面角C（ 2）若ABAA1DC的大小。DBAC10、如图，在四棱锥P-ABCD 中， PA 平面ABCD ， AB/CD ， DAB=90 °， PA=AD=DC=1，AB=2 ，

12、 M 为 PB 的中点P（ 1）证明： MC/ 平面 PAD ；（ 2）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值MABDC11 、如图在梯形ABCD 中 ，AB/DC ，E、F 是线段 AB 上的两点，且DEAB ,CFAB ， CF3, EFFB2,G 为 FB 的中点 ,设 AEt ，现将ADE , BCF分别沿DE ,CF 折起，使 A 、 B 两点重合于点P ，得到多面体PEFCD .（ 1）求证：PD / 平面 EGC ；（2）当EG面PFC时,求DG与平面DCPED 所成角的正切值.DCEFAEFGBGP（1）证明：连接DF 交 EC 于点 M ，连接 MGDCM ,G 为中点PD

13、/MG又PD面EGCMMG面 EGCPD / 平面 EGC5分（2）当 EG面 PFC 时, EGPF又G 为 FB 的中点，EFEP2 ，t 2 7 分EF过点 G 在平面PEF 中作 EP 的垂线，垂足为N，连接 DN .GNDE 面 PEF面 PED面 PEFGN 面 PEDGDN 即为 DG 与平面 PED 所成角 .P11 分易求得 GN3217, DN,所以 DG 与平面 PED 所成角的正切值为227. 14 分12 、如图，在四边形ABCD 中， ABAD 4，BC CD7，点 E为线段 AD上的一点 .现将 DCE 沿线段 EC 翻折到 PAC ，使得平面 PAC平面 ABC

14、E ，连接 PA ，PB .(1)证明： BD平面 PAC ；(2)若 BAD60 ，且点 E 为线段 AD 的中点， 求直线 PE 与平面ABCE 所成角的正弦值.PDCE解： (1)连接 AC ， BD 交于点 O ,在四边形ABCD 中，BABAD4， BCCD7AABCADC，DACBACACBD,又平面 PAC平面 ABCE ，且平面 PAC平面 ABCE = ACBD平面PAC?6 分(2) 如图，过点P 作 AC 的垂线，垂足为H，连接 EH ，EC并取 AO中点 F，连接 EF ，平面 PAC平面 ABCE ，且平面 PAC平面 ABCE = AC ， PH ACPH平面 AB

15、CE ， PEH 即为直线 PE 与平面ABCE 的所成角，由( )可知， ACBD ，且 AO2 3，CO3 ，又 PE2 ，PC7，设 CHx ，则有PH7 x2 ， EHPE 2PH 2x23又 F 为 AO 的中点，在Rt EFH 中， FH23x ， EF 1由勾股定理得，( 23x) 21x 23，解得 x43 ，3EH253， PH333直线 PEEH3与平面 ABCE 的所成角的正弦值即 sin PEH.PE313 、 在 三 棱 柱 ABC A1B 1 C1 中 ， AB=AC=AA1=2，平面 ABC 1平面 AA 1C1C，O，如图 AA 1C1= BAC 1=60 °，设 AC 1 与 AC 相交于点（ 1）求证： BO 平