第二章_恒定电场

1、第第 二二 章章恒定电场恒定电场第二章第二章 恒定电场恒定电场Steady Electric Field序序导电媒质中的电流导电媒质中的电流基本方程基本方程 分界面衔接条件分界面衔接条件 边值问题边值问题导电媒质中恒定电场与静电场的比拟导电媒质中恒定电场与静电场的比拟电导和接地电阻电导和接地电阻下 页电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场 通有直流电流的通有直流电流的导电媒质中导电媒质中同时存在着磁场和恒同时存在着磁场和恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与静电场有相似之处。静电场有相似之处。Int

2、roduction2.0 序序 本章要求本章要求: : 熟练掌握熟练掌握静电比拟法静电比拟法和和电导电导的计算。的计算。 理解各种理解各种电流密度电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳的概念，通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。定律深刻理解场量之间的关系。 掌握导电媒质中的掌握导电媒质中的恒定电场基本方程恒定电场基本方程和和分界面衔分界面衔接条件。接条件。 下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场基本方程基本方程E 的旋度的旋度边值问题边值问题边界条件边界条件电电 位位一般解法一般解法电导与接地电阻电导与接地电阻特殊解特殊解(静电比拟静电比拟)恒定电场知识结构恒定电场知识结构基

3、本物理量基本物理量 J、 E欧姆定律欧姆定律J 的散度的散度下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.1.1 电流电流 (Current)定义：定义：单位时间内通过某一横截面的电荷总量。单位时间内通过某一横截面的电荷总量。2.1 导电媒质中的电流导电媒质中的电流Current in Conductive Media三种电流：三种电流：tqIddA传导电流传导电流电荷在导电媒质中的定向运动。电荷在导电媒质中的定向运动。位移电流位移电流随时间变化的随时间变化的电场电场产生的假想电流。产生的假想电流。运动电流运动电流带电粒子在真空中的带电粒子在真空中的定向定向运动。运动。下 页上 页返

4、回导体或电解液导体或电解液第第 二二 章章恒定电场恒定电场 1. . 电流面密度电流面密度 JdSI JS 电流电流体电荷体电荷 以速度以速度 v 在某一体积内作匀速运动形成体电流在某一体积内作匀速运动形成体电流Jv 2mA电流密度电流密度2.1.2 电流密度电流密度（Current Density)下 页上 页返 回图2.1.1 电流面密度矢量图2.1.2 电流的计算（垂直）（垂直）（描述导体中每一点的电荷运动情况）（描述导体中每一点的电荷运动情况）电流密度的方向为电流密度的方向为正正电荷的运动方向电荷的运动方向描述了某点处通过描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上垂直于电流方向的单位面

5、积上的电流的电流第第 二二 章章恒定电场恒定电场2. . 电流线密度电流线密度 K A mKv n() dlIlKe 电流电流en 是垂直于是垂直于 dl，且通过，且通过 dl 与与曲面相切的单位矢量。曲面相切的单位矢量。面电荷面电荷 在曲面上以速度在曲面上以速度 v 运动形成的电流。运动形成的电流。图2.1.3 电流线密度及其通量下 页上 页电流线密度电流线密度返 回描述了某点处通过描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度垂直于电流方向的单位宽度上的电流上的电流第第 二二 章章恒定电场恒定电场3. 线电流的概念线电流的概念工程应用工程应用媒质磁化后的表面磁化电流；媒质磁化后的表面磁化电流；同

6、轴电缆的外导体视为电流线密度分布同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。下 页上 页图2.1.4 媒质的磁化电流返 回v dI 以线密度以线密度 以速度以速度v运动形成的电流运动形成的电流 第第 二二 章章恒定电场恒定电场元电流段是元电荷元电流段是元电荷 以速度以速度 v 运动形成的电流运动形成的电流dqdqd ()dd(dd (dVVSSI体电流元面电流元）线电流元）J Kl l第第 二二 章章恒定电场恒定电场导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场因此，因此，导电

7、媒质中导电媒质中，电流密度矢量和电场强度之间，电流密度矢量和电场强度之间必然存在一种函数联系必然存在一种函数联系欧姆定律欧姆定律 微分形式。微分形式。JE 2.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohms Law) 电导率，其倒数为电阻率电导率，其倒数为电阻率 单位单位 lRS导电媒质中导电媒质中m第第 二二 章章恒定电场恒定电场象金银等这样的金属，电导率很高，具有良好象金银等这样的金属，电导率很高，具有良好的导电性能，因此称为的导电性能，因此称为良导体良导体。电导率为无限。电导率为无限大的导体称为大的导体称为理想导体理想导体，在理想导体中

8、，电场在理想导体中，电场一定为一定为0，因为如果电场不为因为如果电场不为0，电流密度会为，电流密度会为无限大。这与电流必须有限相矛盾。反之，象无限大。这与电流必须有限相矛盾。反之，象玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小，在一般玻璃橡胶等绝缘材料的电导率十分小，在一般情况下可以忽略。近似认为为情况下可以忽略。近似认为为0。电导率为。电导率为0的的媒质称为媒质称为理想介质理想介质。理想介质中电流为理想介质中电流为0。补充补充第第 二二 章章恒定电场恒定电场J 与与 E 共存，且共存，且方向一致。方向一致。简单证明：简单证明：欧姆定律欧姆定律 微分形式。微分形式。JE 在线性媒质中在线性媒质中左边左边

9、ddldsJS右边右边欧姆定律欧姆定律 积分形式。积分形式。RIU RIU 下 页上 页图2.1.5 J 与 E 之关系返 回 dEld ddldsElJS JE第第 二二 章章恒定电场恒定电场自由电荷在导电媒质中移动时，不可避免地会与自由电荷在导电媒质中移动时，不可避免地会与其它质点发生碰撞，例如金属导体中的自由电子其它质点发生碰撞，例如金属导体中的自由电子会在电场力地作用下定向运动，会不断地与原子会在电场力地作用下定向运动，会不断地与原子晶格发生碰撞，将动能转换为原子的热振动，造成晶格发生碰撞，将动能转换为原子的热振动，造成能量损耗。因此要在导体中维持恒定电流，必须能量损耗。因此要在导体中

10、维持恒定电流，必须持续地对电荷提供能量。这些能量最终都转化成持续地对电荷提供能量。这些能量最终都转化成热能热能焦耳定律焦耳定律2.1.4 焦尔定律的微分形式焦尔定律的微分形式第第 二二 章章恒定电场恒定电场4. 焦尔定律的微分形式导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为dP(dS) (dl)JE WPUI下 页上 页 J 与 E 之关系设小块导体dVJE功率密度322 W/mJEEJpJoules Law微分形式第第 二二 章章恒定电场恒定电场 提供非静电力将其它形式的提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为电源。能转为电能的装置称为电源。2.2.1 电源电源 (Source)2.2 电源电

11、动势与局外场强电源电动势与局外场强Source EMF and 0ther Field Intensity下 页上 页返 回图2.2.1 恒定电流的形成电源能将电源内部导体原子或分子中的电源能将电源内部导体原子或分子中的正负电荷分开，使正负电荷之间的电压维持恒定，从而正负电荷分开，使正负电荷之间的电压维持恒定，从而使与它相联结的导体（电源外）之间的电压也恒定，使使与它相联结的导体（电源外）之间的电压也恒定，使导体内存在一恒定电流，并在周围维持一恒定电场。导体内存在一恒定电流，并在周围维持一恒定电场。第第 二二 章章恒定电场恒定电场电源电动势是电源本身的特征量，电源电动势是电源本身的特征量，与外

12、电路无关。与外电路无关。e ee ef fE E = =q q局外场强局外场强ef局外力局外力2.2.2 电源电动势电源电动势 (Source EMF)图2.2.1 恒定电流的形成（电源中将正负电荷分开的力）（电源中将正负电荷分开的力）局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极即作用于单位正电荷上的局外力即作用于单位正电荷上的局外力第第 二二 章章恒定电场恒定电场因此，对闭合环路积分因此，对闭合环路积分lEEd)(lec局外场局外场 Ee 是非保守场。是非保守场。)(ecEEJ图2.2.2 电源电动势与局外场强ddbeealEl =El电源电动势电源电动势

13、电源内总场强电源内总场强ceEEE dlEl 0 dddellbeacElElEl下 页上 页返 回abL第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.3.1 基本方程基本方程 (Basic Equations)2.3 基本方程基本方程 分界面衔接条件分界面衔接条件 边值问题边值问题Basic Equations Boundary Conditions Boundary Value Problem在恒定电场中在恒定电场中0tq恒定电场是一个无通量源场，电流线是连续的。恒定电场是一个无通量源场，电流线是连续的。故故0 JtqSSJd电荷守恒原理电荷守恒原理1. . J 的散度的散度亦称电流连续性方程亦称电

14、流连续性方程0 dSJS散度定理散度定理0dVJV下 页上 页返 回(由任一闭合面流出的传导电流，应等于该面内自由电荷的减少率）由任一闭合面流出的传导电流，应等于该面内自由电荷的减少率）第第 二二 章章恒定电场恒定电场结论：结论： 恒定电场是无源无旋场。恒定电场是无源无旋场。2. . E的旋度的旋度 所取积分路径不经过电源所取积分路径不经过电源，则，则 3. . 恒定电场（电源外）的基本方程恒定电场（电源外）的基本方程0d SSJ0d llEEJ0 J0 E恒定电场是无旋场。恒定电场是无旋场。得得0E积分形式积分形式微分形式微分形式构成方程构成方程0 d llE斯托克斯定理斯托克斯定理0 d)

15、(SES下 页上 页返 回DE仍成立仍成立第第 二二 章章恒定电场恒定电场下 页上 页恒定电场的基本方程与电路的基本定律应用到电路的结点应用到电路的回路 恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。0dsSJ0I21llldlEdlElE d0UUU21第第 二二 章章恒定电场恒定电场2. 分界面上的衔接条件（Boundary Conditions)说明分界面上 E 切向分量连续，J 的法向分量连续。 静电场（=0）下 页上 页 采用与静电场类比的方式可以方便的得到恒定电场中不同媒质分界面的衔接条件。恒定电场（无源区）0d llE SD0dsttEE21nnDD21nnJJ210d llE 0

16、dsSJ第第 二二 章章恒定电场恒定电场下 页上 页在不同媒质分界面上一般情况下介质交界面上总有净自由电荷存在表明 有关静电场的定律适用于恒定电场，因静电场是恒定电场的特例注意nn 21JJ nnDD 21n2n1EE21 n2n1EE21n1nnEEE11221121211 第第 二二 章章恒定电场恒定电场折射定律 电流线的折射下 页上 页分界面上电位 的衔接条件由ttntntJJJJJJ21221121 tantanttEE221121 ttEE21nnJJ2121 nn2211第第 二二 章章恒定电场恒定电场下 页上 页 良导体与不良导体的交界面。 1 2 1）不良导体中电流线与良导体界

17、面几乎垂直。2）良导体可以近似认为是等位体。表明讨论123）可以用电流场模拟静电场。21 2121 tantan01212 tantan02002t 1tEE第第 二二 章章恒定电场恒定电场 00022n2nJE0n1E 0022J， 在理想介质中在理想介质中空气中空气中2n21nn2EDD导体中导体中表明表明 1 1 分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行。 表明表明 2 恒定电场下恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷。导体与理想介质分界面上必有面电荷。0 1n2nJJ故下 页上 页返 回图2.3.2 导体与理想介质分界面2n1n0JJ 导体与理想

18、介质的分界面讨论0/11t2t1tJEE表明表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面表面非等位面第第 二二 章章恒定电场恒定电场下 页上 页 理想导体与理想介质的分界面。 1 02 n2EE21）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降，电流分布在导体表面，导体不损耗能量2）理想介质中的E垂直于导体表面。表明讨论1 EJ有有限限值值111 01E1t2 EE0tn2EE2第第 二二 章章恒定电场恒定电场下 页上 页 有推动自由电荷运动的电场存在，说明E不仅存在于介质中而且存在于导体中；恒定电场与静电场不同之处 电流恒定说明流走的自由电子被

19、新的自由电子补充，空间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场；+-U静电场+-UEtEn恒定电场第第 二二 章章恒定电场恒定电场下 页上 页 导体不是等位体；+-+-+- 导体媒质内外伴随有磁场和温度场。导线端面电荷引起的电场导线侧面电荷引起的电场所有电荷引起的电场叠加导电媒质周围介质中的恒定电场 介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷所产生的恒定场，与静电场的分布相同。第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.3.3 边值问题（边值问题（Boundary Value Problem)分界面衔接条件分界面衔接条件拉普拉斯方程拉普拉斯方程02得0 E由基本方程出发由基本方程出发由得0 J2t1

20、tEE 2n1nJJ21nn2211常数恒定电场中是否存在泊松方程？恒定电场中是否存在泊松方程？思考思考下 页上 页返 回 E )( E E0 第第 二二 章章恒定电场恒定电场 例例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上的面电荷分布。及导体分界面上的面电荷分布。01212212( 区域）1 解解: : 选用圆柱坐标系，边值问题为：选用圆柱坐标系，边值问题为：0 02( 区域）201222222221121 ，时4021U下 页上 页图2.3.4 不同媒质弧形导电片返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场电位电位 2102121021)()(

21、4UUeEeE)(4 )(42101221021UU电场强度电场强度电荷面密度电荷面密度)-()(4212100201012UEEDDnn通解通解DCBA21 , )(421012U下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟2.4.1 比拟方法 (Contrast Method)Contrast of Steady Electric Field and Electrostatics 0 DEDSqSD d02(0)静电场静电场0E恒定电场恒定电场（电源外）（电源外）EJSISJ d0 J0E02恒定电场恒定电场JIE静电场静电场EDq 两种场各物

22、理量满足相同的定解问题，则解也相两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。应量关系便可得到另一个场的解。下 页上 页返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场下 页上 页比较内容)(0静电场恒定电场（电源外）边界条件ttEE21nnJJ21nnDD21ttEE2121 nn2211 nn2211 21 对应物理量EDqJIE第第 二二 章章恒定电场恒定电场微分方程相同；场域几何形状及边界条件相同；媒质分界面折射情况相似，满足下 页上 页静电比拟的条件 试求同轴电缆的电场。例ED

23、解静电场e2E12ln2RRU 2122lnlnln2RRRURqI恒定电场2121第第 二二 章章恒定电场恒定电场下 页上 页结论EJ恒定电场JIe2lE21Iln2RU lR2221Ilnln2lnRRUR lRJe2Il1）把求解恒定电场的解析解问题转化为求解静电场的 解析解问题； 2）把求解恒定电场的数值解问题转化为求解静电场的 数值解问题； 3）把静电场的镜像法直接用于恒定电场。应用静电比拟可以第第 二二 章章恒定电场恒定电场在实验室用恒定电场模拟静电场固体模拟 （如导电纸模拟） 实验方法：液体模拟 （如电解槽模拟） 恒定电流场的电极表面近似为等位面( 条件 )煤质电极下 页上 页

24、由于实验研究静电场十分困难，而许多工程实际问题可以近似看作静电场问题，用恒定电流场模拟静电场的方法进行实验研究是一种可行的方法。 也可以用恒定电流场来研究非电的相似问题。第第 二二 章章恒定电场恒定电场2.5.1 电导电导 (Conductance)2.5 电导与接地电阻电导与接地电阻Conductance and Ground ResistorIJ J/E lUlE d/G I UUE EJSISJ d UIG/下 页上 页返 回电导：流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比。电导：流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比。UIGlESElESJdddd1. 1. 通过电流场（或电压）计算电

25、导通过电流场（或电压）计算电导或设或设思路思路设设第第 二二 章章恒定电场恒定电场当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。UIUQGC 多导体电极系统的部分电导多导体电极系统的部分电导可与静电系统的部分可与静电系统的部分电容比拟电容比拟。（自学）。（自学） 2. 比拟法比拟法GC即即下 页上 页lSlSlESJlESDddddSSSESEdd返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场例例2.5.1 求求图示同轴电缆图示同轴电缆的绝缘电阻。的绝缘电阻。解解(1)(1)I电导电导12ln2lUIG(2)(2)用静电比拟法求解用静电比拟法求解由静电场由静电场,

26、ln212lC 根据根据GC关系式，得关系式，得12ln211lGR绝缘电阻绝缘电阻U下 页上 页图2.5.1 同轴电缆横截面返 回lIJ2lIE2ldlE212dlI12ln2lI面电流密度面电流密度设漏电流为设漏电流为设电缆的长度设电缆的长度L L远大于截面半径，远大于截面半径，忽略其端部边缘效应忽略其端部边缘效应第第 二二 章章恒定电场恒定电场01222200 ,0U通解通解 代入边界条件，得代入边界条件，得21CC )(0U电位函数电位函数解解 取圆柱坐标系取圆柱坐标系 ， 边值问题边值问题)(下 页上 页eeE0U电场强度电场强度图图2.5.2 弧形导电片弧形导电片返 回例例2.5.

27、2 已知导电片厚度为已知导电片厚度为 h，当当 ; 0 0时，试求电导片的电导。试求电导片的电导。0, U时第第 二二 章章恒定电场恒定电场电流电流)(d)(d0eeSJhUISba电导电导)mS(ln0abhUIG电流密度电流密度eUEJ0下 页上 页abhUln0返 回eeE0U电场强度电场强度第第 二二 章章恒定电场恒定电场2. 接地电阻(Ground Resistor)下 页上 页电路中某一点和大地连接。接地接地器电阻、接地器与土壤之间的接触电阻、土壤电阻构成。接地的工程意义 人身安全，属于保护性接地。 设备的运行需要，属于工作性接地。接地器埋在地中的导体系统（棒、球、柱及其它组合）。

28、接地电阻主要考虑第第 二二 章章恒定电场恒定电场定义接地电阻（以为参考）下 页上 页（流流出出接接地地器器的的电电流流）接接地地器器的的电电位位）(IR 接地电阻的计算 计算接地电阻必需研究地中电流分布，认为在接地器附近电流密度最大，接地电阻主要集中在接地器附近。 因此接地电阻与接地器的形状尺寸、埋入深度及土壤的导电系数有关。第第 二二 章章恒定电场恒定电场 求深埋地中的球形接地器的接地电阻通过电流场计算电阻 静电比拟法24IIJr24IEr2d44aIIrraCG4,Ca14,GaR下 页上 页14RIa例解一解二第第 二二 章章恒定电场恒定电场求浅埋的球形接地器的接地电阻。用镜像法44(2

29、 )IIah 111()42RIah下 页上 页例解当h 较小采用数值解当h 较大第第 二二 章章恒定电场恒定电场求浅埋的半球形接地器的接地电阻。2I2rE接地器接地电阻 12Ra22IJr解aId2aEl设 I下 页上 页例第第 二二 章章恒定电场恒定电场002UIbx为危险区半径为危险区半径2.5.3 跨步电压跨步电压 (Step Voltage)bxxrrIUd22以浅埋半球接地器为例以浅埋半球接地器为例,22rIJ 人体的安全电压人体的安全电压U040V图2.5.7 半球形接地器的危险区上 页返 回)(2bxxbI22 rIJE第第 二二 章章恒定电场恒定电场基本方程E 的旋度边值问题边界条件电 位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电场知识结构基本物理量 J、 E欧姆定律J 的散度上 页第第 二二 章章恒定电场恒定电场同轴电缆返 回第第 二二 章章恒定电场恒定电场屏蔽室接地电阻（深度 20 m）下 页返 回第第 二二 章章恒