第一章量子力学基础

1、1第一章 量子力学基础第一章第一章 量子力学基础量子力学基础第一节 经典物理学与旧量子论的局限 一、经典物理学宏观体系；微观体系 二、旧量子论局限黑体辐射；光电效应；原子光谱；旧量子论失败第二节 光的波粒二象性 一、波动说及光的电磁理论光的干涉；光的衍射；光的电磁理论 二、光的粒子说及粒子性证据光电效应；Einstein光子说 三、光的本质光是物质；光的波粒二象性第三节 实物粒子的波粒二象性 一、de Broglie假设和de Broglie波 二、电子衍射de Broglie假设的证实 三、测不准原理第一章第一章 量子力学基础量子力学基础第四节 量子力学基本假定 一、波函数和微观粒子状态的描

2、述 二、力学量和算符 三、本征态、本征值和Schrdinger方程 四、态叠加原理 五、Pauli原理第五节 箱中粒子的薛定谔方程 一、一维箱中的粒子 二、三维箱中的粒子第一章第一章 量子力学基础量子力学基础一、经典物理学力学方面力学方面 Newton 力学体系经典物理学体系经典物理学体系电、磁、光学方面电、磁、光学方面 Maxwell 方程组热现象方面热现象方面热力学及 Boltzmann、Gibbs等人建立的 统计物理学这些理论构成了一个完整的体系，可以解释各种常见的物理现象。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.经典物理学经典物理学第一章第一章 量子力学基础

3、量子力学基础1. 黑体辐射 但随着科学的发展，又发现了一些新的实验现象，用经典物理学理论无法解释。其中三个最著名的实验现象是黑体辐射、光电效应和原子光谱。 黑体定义黑体定义能吸收全部外来电磁波的物体。黑体辐射定义黑体辐射定义当将黑体加热时能发射出 各种波长的电磁波。经典电磁理论的解释经典电磁理论的解释假定黑体辐射是由 黑体中带电粒子振动发出的。经典热力学和统计力学理论计算得到的黑体辐射能量随波长的变化同实验所得的曲线相矛盾第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.旧量子论的局限旧量子论的局限1. 黑体辐射黑体辐射第一章第一章 量子力学基础量子力学基础能量量子化的概念1

4、900年，Planck提出了能量量子化的概念：（1）假设黑体中带电粒子以频率作简谐振动，这种做简谐振动的带电粒子称为谐振子，黑体是由不同频率的谐振子组成。黑体中所有谐振子的频率分布符合正态分布。（2）带电谐振子的能量不能连续变化，只能取谐振子频率和普朗克常数之积hv的整数倍。hv是最小能量单位，称为能量子。（3）谐振子的能量变化导致黑体辐射，因此，黑体辐射的能量只能取能量子hv的整数倍， = nhv，n = 0，1，2， h = 6.62610-34 Js-1。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.旧量子论的局限旧量子论的局限1. 黑体辐射黑体辐射第一章第一章 量

5、子力学基础量子力学基础2. 2. 光电效应光电效应1905年，爱因斯坦(Einstein) 提出了光子说：光子说： 光是一束光子流，光子有一定的能量E和动量P，其大小由v及决定E= hv，P= h/光电效应光电效应 一定条件下，光照射到金属表面时可能产生光电流的现象。光电效应实验现象光电效应实验现象能否产生光电流及光电子的动能大小只与光的频率有关，与光的强度无关。经典理论观点认为是光的强度而不是光的频率决定了能否产生光电流 及光电子的动能的大小，频率只决定光的颜色。 只有当v足够大时，吸光后的电子才有可能克服金属晶格的束缚而逸出金属表面变成光电子光电子， 并在电场作用下从阴极飞向阳极产生光电流

6、光电流。不同的金属有不同的临阈频率临阈频率v0，v越大，光电子的E越大。这就成功解释了光电效应的实验现象。入射光的v超过v0才可能产生光电子，且第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.旧量子论的局限旧量子论的局限2. 光电效应光电效应第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 3. 原子光谱原子光谱经典理论经典理论： 原子中的电子不断发射出电磁波，结果势必是其能量逐渐衰减，最后掉到原子核中，原子便不能稳定存在； 由于能量逐渐变化，发射出的电磁波的频率也随之而变并连续分布，即为连续光谱是由电子绕核加速运动发射出电磁波产生的实验现象实验现象：原子光谱是一条条分立的谱线，

7、即线状光谱，而不是连续光谱。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.旧量子论的局限旧量子论的局限3. 原子光谱原子光谱1913，Bohr提出了原子结构的提出了原子结构的Bohr理论理论(旧量子论旧量子论)： 假定电子绕核作圆周运动且能稳定存在； 在一定的轨道上运动的电子有一定的能量定态； 定态能量只能取一些分立的数值，是量子化的； 原子由一种定态(Em)变到另一种定态(En)过程中发射或吸收电磁波； 电磁波的频率v由决定：|Em-En|=hv。推广推广：Sommerfeld推广了Bohr理论，制定更为普遍的量子化条件。 第一章第一章 量子力学基础量子力学基础二、旧量

8、子论的局限成就：成就： 冲破了经典物理学中能量连续变化的束缚； 解释了许多经典物理学无法解释的微观现象。失败：失败：进一步研究发现，仍与许多事实不符，在某些方面难以自圆其说。例如： Bohr理论可以很好解释氢原子和类氢离子光谱，但推广到多电 子分子或原子时不适用； 定态不发出辐射的假定与经典理论矛盾； 量子化的条件无理论基础，比较生硬； 旧量子论推出周期表中第一周期应有6个元素，但事实只有2个； 以上种种导致旧量子论的失败。 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.旧量子论的局限旧量子论的局限4. 旧量子理论的成功与失旧量子理论的成功与失败败第一章第一章 量子力学基

9、础量子力学基础1. 宏观体系 服从牛顿经典力学的宏观体系： 速度远小于光速，v .经典物理学经典物理学2. 宏观体系宏观体系021mmVc第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. 微观体系服从量子力学。微观物理现象两个基本特征： 能量量子化 具有统计的特性，符合测不准原理 所以微观粒子的运动规律不服从经典力学而服从量子力学。 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.经典物理学经典物理学2. 微观体系微观体系第一章第一章 量子力学基础量子力学基础三、测不准原理三、测不准原理w内容：内容：w测不准关系式测不准关系式微观粒子的坐标和动量是不能同时具有确定值的。微观粒子的

10、坐标和动量是不能同时具有确定值的。微观粒子的特点微观粒子的特点不能在同一时刻具有确定的坐标和动量，它的某个坐不能在同一时刻具有确定的坐标和动量，它的某个坐标被确定的越准，则在此方向上的动量分量就越不准，反之亦然。标被确定的越准，则在此方向上的动量分量就越不准，反之亦然。：波动性粒子在x，y，z方向坐标和动量的不确定程度 的乘积关系 以以x和和Px分别表示分别表示微观粒子的x坐标和动量在x坐标轴方向上的分量的测定值与平均值之差，则两者之间的关系为：测定值与平均值之差，则两者之间的关系为：yPyzPzxPx第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二

11、象性三、测不准原理三、测不准原理1. 内容；内容；2. 测不准关系式测不准关系式第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 测不准关系可用于检验经典力学适用程度测不准关系可用于检验经典力学适用程度经典场合：经典场合：h是极小的数值，约为是极小的数值，约为0，测不准关系不起作用，测不准关系不起作用， 波动性不显著。波动性不显著。量子场合：量子场合：h不能忽略，测不准关系影响大，必须用量子力不能忽略，测不准关系影响大，必须用量子力 学方法处理。学方法处理。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二象性三、测不准原理三、测不准原理3. 测不准关系式可

12、用于检测经典力学适用程度测不准关系式可用于检测经典力学适用程度第一章第一章 量子力学基础量子力学基础一、波动说及光的电磁理论1. 1. 光的干涉光的干涉波动说：光是一种电磁波，波长不同，颜色不同。图1-1 光的干涉波动说可以解释，在两个波峰或波谷相遇的地方相互加强，在一个波峰与另一个波谷相遇的地方，两波相互削弱。 当光束重叠时出现明暗相间的条纹的现象第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二象性一、波动说及光的电磁理论一、波动说及光的电磁理论1. 光的干涉光的干涉第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. 2. 光的衍射光的衍射图1-2 X射线

13、衍射示意图光能够绕过前面的障碍物而弯曲传播的现象当一束X光射向晶体粉末时，发现E上出现了一系列明暗相间的同心圆，称为衍射环或衍射图X光源晶体粉末屏幕图1-3 光的衍射波动说的解释晶体是原子在空间有规则的排列而成，位于同一平面上的原子形成一个晶面，当波长为的X射线射入一组面间距为d的晶面上时，一部分光在平面反射，一部分光在平面反射，两组反射线相遇后相互干涉，产生明暗相间的圆环。 光的衍射现象同时证明，波动说所预言的光在密介质中的传播速度比在疏介质中慢。但波动说不能解释光籍以传播的介质是什么，于是假定了一种称为“以太”的物质。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的

14、波粒二象性光的波粒二象性一、波动说及光的电磁理论一、波动说及光的电磁理论2. 光的衍射光的衍射第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 3. 光的电磁理论光的电磁理论 1864年，Maxwell在前人工作的基础上，指出电场和磁场的变化不能局限在空间的某一部分，而是以c = 31010 cms-1的速度向外传播着，这称为电磁波。 光是一种波长约为10-3 10-5 cm的电磁波，可见光是波长约为410-5 cm 7.510-5 cm的电磁波。电磁波是用电场强度向量和磁场强度向量两个向量的振动表征，它们以相同的位相和相等的振幅在两个相互垂直的平面内运动，它的传播速度c的方向与两个向量的方向垂直。

15、光的电磁理论可以解释光的电磁理论可以解释： 光的反射、衍射、干涉、折射和偏振等现象； 可以证明真空中的光速c = 31010 cms-1； 可以说明电磁波的传播不需要借助于弹性介质，无须引入“以太”的概念。 以上种种使光的电磁波理论获得了极大成功，于是光的波动说又发展成为光的电磁理论，并战胜了当时盛极一时的粒子说。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二象性一、波动说及光的电磁理论一、波动说及光的电磁理论3. 光的电磁理论光的电磁理论第一章第一章 量子力学基础量子力学基础二、光的粒子说1. 光电效应光电效应Newton为首的粒子说认为：光是直

16、线传播的粒子流，有不同的种类，因此有不同的颜色光电效应的三条规律： 对于阴极K所用的金属，具有一固定的临阈频率 ，只有当入射光的频率 时才有光电流产生如果 ，则不论光的强度多大，照射时间多长，都没有光电流产生。不同金属有不同的临阀频率。000 光电子的初动能随着光的频率直线增加，而与光的强度无关。单位时间内光电子的数目即光电流的大小与光子的强度成正比。 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二象性二、光的粒子说二、光的粒子说1. 光电效应光电效应第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. Einstein光子说光子说 光的能量量子化：每种频率

17、的光都具有一个最小单位光量子，或光子，记为E0= 。光的能量只能是E0的整数倍。h 光子不但具有能量E0，而且还具有质量m。不同频率的光子具有不同的质量。2hmc1905年Einstein提出光子说，成功解释了光电效应现象。光子说要点： 光子还具有一定的动量： 光的强度取决于光密度 单位体积内光子的数目。hchmcP第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二象性二、光的粒子说二、光的粒子说2. Einstein光子说光子说第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 3. 光子说对光电效应实验现象的解释光子说对光电效应实验现象的解释 当光照射到金

18、属表面时，光子的能量 被电子吸收，能量的分配 符合Einstein光电效应方程：h2012mVhW 入射光子的频率越大，电子逸出金属表面后的初动能 越大， 且随频率直线增加。 212mVm电子的质量V电子逸出金属表面后的运动速度W0称为逸出功从上式可以看出，若照射光的频率不够大，不足以克服逸出功W0，则不会有光电子发生。 入射光的强度越大，光子的数目越多，因而产生的光电子的数目也增 多，但不增加光电子的初动能。 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二象性二、光的粒子说二、光的粒子说3. 光子说对光电效应的解释光子说对光电效应的解释第一章第一

19、章 量子力学基础量子力学基础三、光的本质1. 光是物质光是物质2. 光的波粒二象性光的波粒二象性光在与实物粒子的相互作用中光在与实物粒子的相互作用中表现为粒子性，光也不是经典表现为粒子性，光也不是经典力学中的粒子，但具有经典概力学中的粒子，但具有经典概念中粒子的某些性质。念中粒子的某些性质。光在传播过程中表现为光在传播过程中表现为波动性，光不是经典概波动性，光不是经典概念中的波，但具有经典念中的波，但具有经典概念中波的某些性质概念中波的某些性质EhPh粒子性粒子性波动性波动性可用可用E、P、和和 表达表达第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒

20、二象性三、光的本质三、光的本质1. 光是物质；光是物质；2. 光的波粒二象性光的波粒二象性第一章第一章 量子力学基础量子力学基础一、一、de Broglie 假设和假设和de Broglie波波微观实物粒子：电子、中子等静止质量不等于零的粒子。微观实物粒子：电子、中子等静止质量不等于零的粒子。 de Brolie假设：二象性并不是一个特殊的光学现象，而是具有普遍的意义。假设：二象性并不是一个特殊的光学现象，而是具有普遍的意义。 实物粒子也具有波动性，表征实物粒子粒子性的物理量实物粒子也具有波动性，表征实物粒子粒子性的物理量E 和和P与表征波动性的物理量与表征波动性的物理量v和和之间的关系：之间

21、的关系：Ehde Brolie关系式：关系式： mhPhhP de Brolie波：实物粒子具有的波，或称物质波。波长由波：实物粒子具有的波，或称物质波。波长由de Brolie关系式确定关系式确定第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二象性一、一、de Broglie假设和假设和de Broglie波波第一章第一章 量子力学基础量子力学基础第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二象性一、一、de Broglie假设和假设和de Broglie波波-34346.626 106.626 100

22、.1 10319.1 10m610v 34103166.626 107.28 109.1 1010hmv例1、 石头 m = 0.1 kg, v = 10 m/s 很小可以忽略，故石头的运动波性没有表现出来，粒性是主要的。例2、 电子 kg m/s m值与电子的尺寸相近，其波性自然能表现出来。m第一章第一章 量子力学基础量子力学基础二、二、de Brolie假设的证实假设的证实电子衍射实验电子衍射实验1927年年Davisson和和Germer的电子衍射实验的电子衍射实验： 实 验 结 果 说 明 电 子 具 有 波 动 性 。 通 过实 验 结 果 说 明 电 子 具 有 波 动 性 。 通

23、 过Bragger方程即可算出电子波的波长方程即可算出电子波的波长。 sin2ndn = 0, 1, 2, 这样计算出来的波长与根据de Brolie关系式计算出来的结果完全一致。这表明，动量为P的自由电子的衍射行为与波长为的平面波的衍射行为相同。因此我们说动量为P的自由电子的波长等于 。 hP第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.光的波粒二象性光的波粒二象性二、二、de Broglie假设的证实假设的证实电子衍射实验电子衍射实验ndsin2第一章第一章 量子力学基础量子力学基础一、波函数和微观粒子运动状态的描述假设假设：对于一个微观体系，它的状态可用波函数：对于

24、一个微观体系，它的状态可用波函数(x, y, z, t)表示，表示，是坐标是坐标(x, y, z)的函数，同时也是时间的函数，同时也是时间t的函数。这一的函数。这一函数称为波函数或态函数，简称态。函数称为波函数或态函数，简称态。 例如：一个例如：一个2电子体系，粒子电子体系，粒子1和粒子和粒子2的坐标分别为的坐标分别为(x1, y1, z1)和和(x2, y2, z2)，则描则描述体系状态的波函数述体系状态的波函数=(x1, y1, z1, x2, y2, z2, t)第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设一、波函数和微观粒子运

25、动状态的描述一、波函数和微观粒子运动状态的描述第一章第一章 量子力学基础量子力学基础1. 波函数波函数 在电磁理论中，频率为在电磁理论中，频率为，波长为波长为的沿着的沿着x方向传播的平方向传播的平面波可用下式表示面波可用下式表示 ( , )2xx tACost既然动量为既然动量为P的自由电子的衍射行为与波长为的自由电子的衍射行为与波长为 的光的衍射行为相似，的光的衍射行为相似，将将 和和 代入上式所得之波就可用来描述自由电子的行为：代入上式所得之波就可用来描述自由电子的行为：hPhPEh2( , )x tACosxPEth这就是这就是de Brolie波或物质波。波或物质波。 除电子外，质子、

26、中子等一切微观粒子都具有波动性，其运动状除电子外，质子、中子等一切微观粒子都具有波动性，其运动状态都可用一波函数态都可用一波函数来描述，来描述， 称为波函数或状态函数。称为波函数或状态函数。 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设一、波函数和微观粒子运动状态的描述一、波函数和微观粒子运动状态的描述1. 波函数波函数定态波函数：不含时间的波函数定态波函数：不含时间的波函数 (x,y,z)。本课程只讨论定态波函数。本课程只讨论定态波函数。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2.波函数的物理意义波函数的物理意义 (1) 描述光或实物

27、粒子的二象性时，不同的性质采用不同的函数：描述光或实物粒子的二象性时，不同的性质采用不同的函数：描述粒子性的函数：描述粒子性的函数：E，P，描述波动性的函数：描述波动性的函数：，| |2| |2=| * |， = f + i g， *= f i g第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设一、波函数和微观粒子运动状态的描述一、波函数和微观粒子运动状态的描述2. 波函数的物理意义波函数的物理意义的物理意义：在时间的物理意义：在时间t在坐标在坐标x、y、z附近小体积元附近小体积元d d内找到粒子的内找到粒子的 几率与波函数几率与波函数(

28、x，y，z，t)的绝对值的平方成正比。的绝对值的平方成正比。 第一章第一章 量子力学基础量子力学基础(2) 几率：几率：空间某一小体积元空间某一小体积元d d内粒子出现的次数内粒子出现的次数d 为为x到到x+dx，y到到y+dy，z到到z+dz区域，区域，dw (x，y，z，t)表示在时间表示在时间t和空间和空间d内找到电子的几率，则：内找到电子的几率，则：ddx dy dz2( , , , )( , , , )dw x y z tKx y z tdK是比例常数。是比例常数。 (3) 几率密度：几率密度：在时间在时间t及空间某点及空间某点(x，y，z)单位体积内出现粒子的几率单位体积内出现粒子

29、的几率d2( , , , )( , , , )( , , , )dw x y z tw x y z tKx y z tdw(x，y，z，t)称为几率密度称为几率密度第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设一、波函数和微观粒子运动状态的描述一、波函数和微观粒子运动状态的描述2. 波函数的物理意义波函数的物理意义第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 归一化波函数归一化波函数 将波函数乘上一个常数因子并不改变它所描述的状态。将波函数乘上一个常数因子并不改变它所描述的状态。 原因：粒子在空间各点出现的几率密度之比等于波函数在这些点的

30、平方之比，而将波函数乘上一个常数后，它在各点的平方之比并不改变，因而粒子在空间各点出现的几率密度之比不变，所以粒子所处的物理状态也就相同。 对于单个粒子体系，在整个空间找到粒子的几率应当等于对于单个粒子体系，在整个空间找到粒子的几率应当等于1，即，即 由此可以求得常数由此可以求得常数K22( , , , )( , , , )( , , , )1w x y z t dKx y z tdKx y z td21( , , , )Kx y z td归一化归一化关系式关系式第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设一、波函数和微观粒子运动状态

31、的描述一、波函数和微观粒子运动状态的描述3. 归一化波函数归一化波函数第一章第一章 量子力学基础量子力学基础乘以乘以 而得到而得到的过程称为归一化。的过程称为归一化。 令令则：则：K2( , , , )dwx y z td2( , , , )wx y z t为未归一化波函数。为未归一化波函数。K归一化波函数归一化常数绝对值平方等于几率密度第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设一、波函数和微观粒子运动状态的描述一、波函数和微观粒子运动状态的描述3. 归一化波函数归一化波函数第一章第一章 量子力学基础量子力学基础4. 波函数的性质和

32、必须满足的标准化条件波函数的性质和必须满足的标准化条件(1) (x，y，z，t)是微观粒子运动规律的统计结果，其自身的物理意义不是微观粒子运动规律的统计结果，其自身的物理意义不明显，但其平方则代表几率密度；明显，但其平方则代表几率密度；(2) K(x，y，z，t)并不改变并不改变所描述的状态，即与所描述的状态，即与所描述状态相同。所描述状态相同。(3) (x，y，z，t)必须满足下面的三个标准化条件才能称为必须满足下面的三个标准化条件才能称为“品优品优”波函数。波函数。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设一、波函数和微观粒子运

33、动状态的描述一、波函数和微观粒子运动状态的描述4. 波函数的性质波函数的性质和必须满足的标准化条件和必须满足的标准化条件a.波函数必须是连续的，即的值不能出现突跃；(x,y,z) 对x,y,z的一级微商也应是连续的；b.波函数必须是单值的，即在空间每一点只能有一个值；c.波函数必须是平方可积的（有限），即在整个空间的积分*d应为一有限数。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础二、力学量和算符二、力学量和算符1. 算符：算符：假设假设：对于微观体系的每一个可观测力学量都对应着一个：对于微观体系的每一个可观测力学量都对应着一个 线性厄米算符。线性厄米算符。规定了某种运算的符号称为算符，或称为算子规

34、定了某种运算的符号称为算符，或称为算子 力学量算符化规则：力学量算符化规则：（1）坐标）坐标x,y,z和时间和时间t所对应的算符就是坐标和时间自身。所对应的算符就是坐标和时间自身。,xx yy zz tt 若用若用 表示某一算符，表示某一算符， 表示被施以运算的对象，记为表示被施以运算的对象，记为 ，称为算符称为算符 作用于作用于 。 ( )u x( )u x( )u xMMM第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符1. 算符算符第一章第一章 量子力学基础量子力学基础例如，求单个粒子的能量算符例如，

35、求单个粒子的能量算符 。解：因为单个粒子的能量等于动能解：因为单个粒子的能量等于动能T与势能与势能V之和，按经典力学：之和，按经典力学：（2）与坐标相关联的动量的算符是）与坐标相关联的动量的算符是（3）对于任一力学量）对于任一力学量M，先按经典方法将其表示成先按经典方法将其表示成x、y、z、P和和t的函数，的函数，然后再将相应的算符代入便可得力学量然后再将相应的算符代入便可得力学量M的算符：的算符：( , , , )xyzMM x y z ppp tM( , , , )M x y ziiitxyzH2221( , , )2xyzETVPPPV x y zm第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局

36、限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符1. 算符算符P,P,Pxyziiixyz 第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2221( , , )2xyzETVPPPV x y zmP, P, Pxyziiixyz 222222222222P, P, Pxyzxyz 222222222H( , , )22V x y zVmmxyz H能量算符能量算符 也称为哈密顿算符。也称为哈密顿算符。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符1. 算符算符拉普

37、拉斯算符拉普拉斯算符： 2222222xyz第一章第一章 量子力学基础量子力学基础 同样可以很容易求出角动量同样可以很容易求出角动量L及其在球坐标系中三个分量及其在球坐标系中三个分量Lx、Ly、Lz的的算符及角动量平方算符及角动量平方L2算符的表达式：算符的表达式：zyxxyxzyzzyxLkLjLiyPxPkzPxPjzPyPiPPPzyxkjiPrLyzzyiyizziyPzPyLyzxzxxziLyxyyxiLz第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符1. 算符算符第一章第一章 量子力学基础量

38、子力学基础直角坐标系和球坐标系之间的变换关系直角坐标系和球坐标系之间的变换关系 ：0 ：0 2 r ：0 21222zyxrtgxycos ;sinsin ;cossinrzryrx第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符1. 算符算符第一章第一章 量子力学基础量子力学基础sinctg cosxLicosctg sinyLi zLi 22222111sinsinsinL 2,2 仅考虑角仅考虑角度部分的度部分的Laplace算符算符第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.

39、量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符1. 算符算符第一章第一章 量子力学基础量子力学基础直角坐标系和球坐标系中的Laplace算符表示：22222222222222sin1sinsin11 rrrrrrzyxdddrrd sin2第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符1. 算符算符第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. 算符的运算规则算符的运算规则(1) 算符的相等：算符的相等：若 ，则)(B)(AxuxuBA(2) 算符的加法：满足交换律和结合律算符的加法：满

40、足交换律和结合律若 则若 则)(B)(A)(CxuxuxuBACCBAFCBACBAF(3) 算符的乘法：一般不满足交换律算符的乘法：一般不满足交换律若 ，则 ，而 。)(BA)(CxuxuBACAAA2。一般情况下不等于 ABBA第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符5. 算符的运算规则算符的运算规则第一章第一章 量子力学基础量子力学基础例如：)()( )()()()(Pxuxxixuixuxxixxxuixxuxixxux)()(Pxuxxixuxx所以：)(P)(Pxuxxxuxx22222

41、222BABBAABABABABABABBAABABA比较：第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符5. 算符的运算规则算符的运算规则第一章第一章 量子力学基础量子力学基础算符的对易关系：算符的对易关系：ABBA称为算符对易关系或对易子，用称为算符对易关系或对易子，用 表示。表示。 A,B算符的对易关系式；ABBAB,A可相互对易；则若B,A0ABBAB,A不可相互对易则若B,A0ABBAB,A0)(P)(P,P ixuxxxuxxxx例如：所以：不能相互对易。和xxP第一节第一节 经典物理学与旧量

42、子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符5. 算符的运算规则算符的运算规则第一章第一章 量子力学基础量子力学基础常用对易子的代数关系式：C,ABCB,ACB,AC,AB,ACB,AA,BB,A可以推导：222 , 0; , , ; , , ;P ,P 0; P ,P 0; P ,P 0;P , P , P , ;L ,L 0; L ,L 0; L ,L 0;L ,L L ; L ,L L ; xyzxyzxyzxyzxyzyzxp qpx y zqx y zxyziii L ,L Lzxyi 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的

43、局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符5. 算符的运算规则算符的运算规则第一章第一章 量子力学基础量子力学基础则算符则算符 称为线性算符。称为线性算符。 若算符若算符 作用在任意两个函数作用在任意两个函数 和和 的代数和的代数和 + 上上的结果等于这一算符的结果等于这一算符 分别作用在分别作用在 和和 上的代数和上的代数和 + 上，上，即即A2( )ux1( )u x2( )ux1( )u x2( )ux1( )u x2( )ux1( )u xAA)(A)(A)()(A22112211xucxucxucxuc3. 线性算符线性算符d

44、dxx算符算符 和和 都是线性的，都是线性的，Sin, log和和 不是线性算符不是线性算符第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符2. 线性算符线性算符第一章第一章 量子力学基础量子力学基础(4)算符的本征函数和本征方程 如果算符 作用于函数u(x)上等于一个常数a与u(x) 的乘积，即 。 a称为算符 的本征值本征值， u(x)称为算符 的本征函数本征函数，该方程称为算符 的本征方程本征方程。 AA ( )( )u xau xAAA对应于不同的本征值a，算符 有不同的本征函数。 A对于同一本征值

45、a，算符 也可能有不止一个线性无关的本征函数属于这个本征值a。若有f个线性无关的本征函数属于同一个本征值a，则称本征值a是简并的，f就是本征值a的简并度简并度，也称为退化度。A第一章第一章 量子力学基础量子力学基础5. 厄米算符（自轭算符）厄米算符（自轭算符）*AAAmnmnnmddd如果算符如果算符 对于任意函数对于任意函数 下式成立下式成立 就称算符就称算符 为厄米算符为厄米算符 AAdd A例1：乘号“”为厄米算符。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符3. 厄米算符（自轭算符）厄米算符（自

46、轭算符）A第一章第一章 量子力学基础量子力学基础*1212*1221*2121( )P( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )P( )xxuxux dxuxiux dxxi ux uxiuxux dxxuxiux dxuxux dxx 所以，动量算符是厄米的。注意：由于所以，动量算符是厄米的。注意：由于u1(x)和和u2(x)是有限的，所以是有限的，所以0)()(2*1xuxu例2：动量算符 为厄米算符第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符3. 厄米算符（自轭算符）厄米算符（自

47、轭算符）P,P,Pxyziiixyz 第一章第一章 量子力学基础量子力学基础自轭算符的性质 a.自轭算符 的本征值a是实数。Ab.自轭算符 的所有本征函数都是归一化的 。即：A*1nnd c.自轭算符 的属于不同本征值am和an的本征函数m和 n彼此正交。即： A*0nmd 函数的正交归一性可用下面一个通式表示：当m=n时，n和m为同一个函数，nm=1，是归一化函数；当mn时，nm=0，n和m彼此正交。*nmnmd 第一章第一章 量子力学基础量子力学基础d.自轭算符 的属于同一个本征值an的不同本征函数 任意线性组合后 还是属于本征值an的本征函数。 A,1,2, , ,nn, n ie.自轭

48、算符 的全部本征函数构成一个完备系列。 A第一章第一章 量子力学基础量子力学基础4. 线性厄米算符线性厄米算符 如果一个算符即是线性的又是厄米的，则这个算符就是线性厄米算符。如果一个算符即是线性的又是厄米的，则这个算符就是线性厄米算符。 微观体系中任何一个力学量对应的算符都是线性厄米算符微观体系中任何一个力学量对应的算符都是线性厄米算符量子力学量子力学基本假定之二。基本假定之二。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设二、力学量和算符二、力学量和算符4. 线性厄米算符线性厄米算符第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. Schr

49、dinger 方程方程 微观粒子的运动状态要用波函数微观粒子的运动状态要用波函数(x，y，z，t)来描述，波函数来描述，波函数(x，y，z，t)随时间的变化要由随时间的变化要由Schrdinger方程来表达：方程来表达： 22( , , , )( , , , )2x y z tiVx y z ttm -i( , , , )( , , )( )( , , ) etx y z tx y ztx y z 化学所讨论的状态化学所讨论的状态多数是多数是定态定态其几率密度分布不随时间而改其几率密度分布不随时间而改变的状态。描述定态的变的状态。描述定态的(x，y，z，t)必定具有下列形式必定具有下列形式常数

50、常数第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设三、本征态、本征值和三、本征态、本征值和Schrdinger方程方程3. Schrdinger方方程程假设假设：第一章第一章 量子力学基础量子力学基础波函数的这种形式，可保证粒子在空间各点出现的几率密度不随波函数的这种形式，可保证粒子在空间各点出现的几率密度不随t 改变。改变。( , , , )( , , , )( , , )( , , )x y z tx y z tx y zx y z因此，定态粒子的状态可用不含因此，定态粒子的状态可用不含 t 的函数的函数 (x，y，z)来描写，来描

51、写，(x，y，z) 定态波函数，简称波函数。定态波函数，简称波函数。22( )( , , )( )2( , , )idtx y zVEtdtmx y z 2*( , , , )( , , , )( , , , ) ( , , )( , , ) ( , , )( , , )i ti tx y z tx y z tx y z tx y zx y zeex y zx y z 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设三、本征态、本征值和三、本征态、本征值和Schrdinger方程方程3. Schrdinger方方程程第一章第一章 量子力学

52、基础量子力学基础22( , , )( , , )( , , )2x y zVx y zEx y zm上式左边只是上式左边只是 t 的函数，右边只是的函数，右边只是(x,y,z)的函数，两边必等于同一常数的函数，两边必等于同一常数(E)整理之得整理之得22( , , )( , , )2Vx y zEx y zm 也可写作也可写作此为定态波函数此为定态波函数 (x，y，z)所应满足的方程所应满足的方程定态定态Schrdinger方程。方程。量子力学可以证明，量子力学可以证明，E就是粒子的能量，就是粒子的能量，E=T+V。或或),(),(HzyxEzyx第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物

53、理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设三、本征态、本征值和三、本征态、本征值和Schrdinger方程方程3. Schrdinger方方程程第一章第一章 量子力学基础量子力学基础Schr dinger方程的几点说明：方程的几点说明：(1) Schr dinger方程不是推导而来，而是量子力学的一条基本假定。方程不是推导而来，而是量子力学的一条基本假定。(2) 定态是不依赖定态是不依赖t的运动状态，是原子、分子中电子最可能的状态，不的运动状态，是原子、分子中电子最可能的状态，不 含含t的的可以解释微观现象中大量的定态性质。可以解释微观现象中大量的定态性质。(3) Laplac

54、e算符：算符： 一维箱中粒子的一维箱中粒子的Schr dinger方程：方程： 三维箱中粒子的三维箱中粒子的Schr dinger方程：方程：2222222zyx xExxVxm222zyxEzyxzyxVzyxm,2222222第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设三、本征态、本征值和三、本征态、本征值和Schrdinger方程方程3. Schrdinger方方程程第一章第一章 量子力学基础量子力学基础(4) 定态定态Schrdinger方程也叫能量有确定值的本征方程；方程也叫能量有确定值的本征方程；(5) 满足本征方程的波函

55、数一定是品优波函数；满足本征方程的波函数一定是品优波函数；(6) 退化度（简并度）：若有退化度（简并度）：若有 f 个线性无关的本征函数个线性无关的本征函数，对应于同一对应于同一 个本征值个本征值E，那么这些线性无关的本征函数个数那么这些线性无关的本征函数个数 f 叫简并度，而说叫简并度，而说 本征值本征值E是简并的。是简并的。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设三、本征态、本征值和三、本征态、本征值和Schrdinger方程方程3. Schrdinger方方程程第一章第一章 量子力学基础量子力学基础四、态叠加原理四、态叠加原

56、理A假设假设：微观体系属于力学量：微观体系属于力学量A的本征函数的任意线性组的本征函数的任意线性组合得到的函数合得到的函数 也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。a1,a2, , an 分别为本征函数分别为本征函数1, 2, , n对应力学量对应力学量算符算符 的本征值。的本征值。niiinnc ccc12211 说明说明：(1) ci大小反应大小反应i对对的性质的贡献大小。的性质的贡献大小。 (2) 例如，原子中的电子可能存在于例如，原子中的电子可能存在于s或或p轨道，将轨道，将s与与p轨道的波函轨道的波函数线性组合为杂化轨道后也是电子可能的轨道。数线性组合为杂化轨道后也是电子可能

57、的轨道。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设四、态叠加原理四、态叠加原理第一章第一章 量子力学基础量子力学基础1. 力学量平均值定理力学量平均值定理若描述体系状态的波函数若描述体系状态的波函数不是不是力学量算符力学量算符 的本征函数，的本征函数， 则当体系则当体系处于处于所描述的状态且所描述的状态且已归一化时，则力学量已归一化时，则力学量A可取平均值：可取平均值：*, 1, ,0ijijijijijdij 若若 因：因：考虑到考虑到i的正交归一化性质：的正交归一化性质：第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子

58、论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设四、态叠加原理四、态叠加原理1. 力学量平均值定理力学量平均值定理AAA d 2AiiiiiiiiiA dcAcdc a 第一章第一章 量子力学基础量子力学基础由假设由假设IV可知，可知，所描述的状态中，力学量所描述的状态中，力学量A取取a1值的几率为值的几率为 |c1|2；取取a2值的几率为值的几率为 |c2|2；取取an值的几率为值的几率为 |cn|2；由于在整个空间中，几率密度等于由于在整个空间中，几率密度等于1，所以，所以1n1i2in1ii*in1ii*ii*in1iiin1i*i*icccdccdccddw因此，因此，|ci|2代表代表

59、状态时力学量状态时力学量A取取ai值的几率。值的几率。而而A的平均值：的平均值：2222112233nA.na ca ca ca c第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设四、态叠加原理四、态叠加原理1. 力学量平均值定理力学量平均值定理所以：所以：2iii 1Aca第一章第一章 量子力学基础量子力学基础 不同力学量同时具有确定值的充分必要条件：这两个不同力学量同时具有确定值的充分必要条件：这两个力学量算符可相互对易。力学量算符可相互对易。充分条件的证明：设充分条件的证明：设n是算符是算符 和和 的属于本征值的属于本征值 ln和和

60、 mn的本征函数，的本征函数，则则 LML=L= MLM=M=nnnnnn nnnnnnnn nnmmm lllm l LMML0n两式相减两式相减 LMML0所以：所以： 例如，坐标例如，坐标x和动量和动量Px的算符不可相互对易，因此它们没有共同的本的算符不可相互对易，因此它们没有共同的本征函数系，从而也不能同时具有确定值征函数系，从而也不能同时具有确定值测不准原理。测不准原理。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限.量子力学的基本假设量子力学的基本假设四、态叠加原理四、态叠加原理2. 力学量同时具有确定值的条件定理力学量同时具有确定值的条件定理LM2. 力学量同