2019届高考数学专题09线性规划

1、培优点九线性规划1 .简单的线性规划问题应注意取点是否取得到2x y _4例1:已知实数x, y满足/x+2yE4,贝U z=3x2y的最小值是（）y 0A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】 不等式组对应的可行域如图所示：由当动直线y =3x-t过（2,0 ）时，z取最小值为6,故选C.2 .目标函数为二次式x -1例2：若变量x, y满足4xy ,则z = x2+y2的最大值为（）x y 2_0A.打B. 7C. 9D. 10【答案】D22【解析】目标函数z=x +y可视为点到原点距离的平万，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，18页2观祭可得取远的点为B（1

2、，4），所以zmax = OB =10.3.目标函数为分式s=X口的取值范围是（）x 12x y -2 0 例3:设变量x, y满足约束条件4x2y+2之0,则x y-1 _0A.13_,2B I,2,C. 1,2 -2,2【答案】D【解析】所求s = 可视为点（x, y为定点（-1,1 ）连线的斜率.x 1从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在。，0 ）处的斜率最小，即kmin在（。,1 ）处的斜率最大，为1 一 一1 二20A结合图像可得s =1的范围为 J ,2 L故选D. x 1_24.面积问题x _0例4:若不等式组/x +3y之4所表示的平面区域被直线y =kx +4分成面积

3、相等的两部分，则3x y _4k的值为(A. 73C.173-3D. -一17【解析】在坐标系中作出可行域,如图所示为一个三角形，动直线y=kx+4为绕定点(0,4)的一条动直线,设直线交AC于M ,若将三角形分为面积相等的两部分，则Saabm =Sabcm ,观察可得两个三角形高相等，所以 AM =MC ,即M为AC中点,一 .、一一 一 一一 4联立直线方程可求得A：, |, C(1,1),则M1 7卜/，代入直线万程可解得k177 ,对点增分集训一、单选题x _01 .若实数X, y满足y0，则z = x y的最大值为（）A. 2B. 1C. 0D. _1【答案】B【解析】由图可知，可行

4、域为封闭的三角区域，由z = x-y在y轴上的截距越小，目标函数值越大，所以最优解为（1,0）,所以z的最大值为1,故选B.2.已知实数X,y满足线性约束条件x y -3 _0jx-2y -3W0,则其表示的平面区域的面积为0 x 4A.B.27C. 9D.27可知1 x 0 ,若z=x-ay只在点(4,3 )处取得最大值，则 2x y =21“2, 二范围是()A.：，-1 jB.-2, iC. -二,1 j【答案】Cx - y _1【解析】由不等式组4x -2y +2 0作可行域如图,I2x y -2x -2y = -2联立彳，解得C (4,3),当a =0时，目标函数化为z = x，x

5、- y =1由图可知，可行解(4,3 )使z=x -ay取得最大值，符合题意;1 z当a 0时，由z=x-ay,得y =1 x ,此直线斜率大于 0, a a当在y轴上截距最大时z最大，可行解（4,3）为使目标函数z = xay的最优解，a 1符合题意；1 z当a 0时，由z =x -ay ,得y =一 X 一一，此直线斜率为负值， a a要使可彳T解（4,3 ）为使目标函数z=x-ay取得最大值的唯一的最优解,L二 1一则一0,即 a 0.a综上，实数a的取值范围是（衣）.故选C.x24.已知实数x, y满足约束条件x - 5/x-2y +2之0 ,则z = 的取值范围为（|y|x y 2

6、二0【答案】C【解析】画出不等式表示的可行域,由题意得 A（2,2）, B（2,_4）.如图阴影三角形所示,一一 1所以1可看作点（x, y井口 P（5,0 ）连线的斜率，记为k , z由图形可得kpA k kpB4 一 3K2 - 32-02-4-04IkpB2 -532 -5333x 5 . _ 33 j .因此z M或z之一，所以z =的取值范围为q, U.|, + R .故选C.24y.24x y 25.若实数x, y满足约束条件J2x-3y OC| ,4-x y =2联立2x -3y =9,解得 B(3,1 ),x2 +y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值OB 2

7、=32 +(-1 )2 =10 .故选D.x.06.已知点A(1,2),若动点P(xy的坐标?足，则|AP|的最小值为()x y - 2A.，,2B. 1C. -D. 5【答案】C【解析】作出可行域如图:观察图象可知，|AP最小距离为点 A到直线x + y -2 =0的距离，即 |AP max =1 ：2 -2 =呢，故选 C.1r 2x - y - 2 1 07. x , y满足约束条件4x -2y -2 0 ,若z =y -ax取得最大值的最优解不唯一，则实数 2x-y 2 .0的值为（）A. 1或1B. 2 或 1C. 2 或 1D. 2 或122【答案】Dx y -2 -0【解析】由题

8、意作出约束条件 jx -2y-2 W0 ,平面区域，2x-y 2 _0将2 = 丫ax化为丫=2*+2, z相当于直线y=ax + z的纵截距,由题意可得，y =ax+z与y=2x+2或与y=2x平行，故a =2或-1 ;故选D.y满足不等式组2-成立的概率为（5x y -4 _ 0x-2y 4 ,0|x _4A.但56B.1116C. * 58D.y因为六表示的平面区域，如图所示:3E2-1度不x+l)_2所以工x 1x y -4 _0作出不等式组 x-2y 4 .0x _4y - 0所以由几何概型得:工_2成立的概率为x 15SA ADESa ABC ?x -2y 1740),由 x=4=

9、0 一 _，得B(4,41x y -4 =0由i!x -2y 4=0,y=2x1/口18 10，由,5 V ,解得 D . , I,2,y x 1由* 5,x =4, 一一1解得 E(4,2 ),所以 &abc =2 4 18一父2 二7107，10所以 上 E2成立的概率为SAADE = 7 =15 ,故选A.x 1 5SAABC 1656wx y 2 ：二09.若x , y满足不等式组 X -5y +10 0 ,则z = x _3 +2y的最小值为(x y -8 01 . z-目标函数可化为 y = |x -3 +-,共图象是对称轴为 x =3的两条射线，-x=3口 z 口,x=3由得三取

10、得最小值时的最优解为113 .x -5v 10=02y = 一5即 Zmin =33+2 父里=26 .故选 C.550 _x _ 2M (x, y)为 D 上10.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组|y 2 给定.若x 72y动点，点A的坐标为 （五,1 ）. 则 z =OMv OA的最大值为（）A. 4 2B. 3 2C. 4D. 3【答案】Cuuw uuv.【斛析】如图所不：z=OM OA=J2x+y,即y=-V2x + z,首先做出直线10： y =J2x,将10平行移动, 当经过B点时在y轴上的截距最大，从而 z最大.2l-因为B （、历2 ）,故z的最大值为4.故选C.x

11、-y 2 .011.若不等式组x -5y+10 E0所表示的平面区域内存在点（Xo，y0）,使 +ay0+2 0成立,x y -8 -0则实数a的取值范围是（）A.1-1jB - , -1 1C -二 ,1 1D. 1, i【答案】Bx-y 2 _0【解析】 作出不等式4x-5y+10 E0,可行域如图：lx y -8 0平面区域内存在点 M（%,y0）,满足+ay0+2W0,x _ y 2=0，直线x十ay+2 =0与可行域有交点，解方程组4 y得B(0,2x-5y 10 =0，点B在直线x+ay+2=0下方.可得0十2a+230.解得a _1 .故选B.x -.-y 6 0 ,若圆心CeQ

12、 ,且圆C与x y-0轴相切，则圆心C(a,b )与点(2,8班线斜率的取值范围是()【解析】画出可行域如图,由圆的标准方程可得圆心C(a,b),半径为1,因为圆C与x轴相切，所以b=1, 直线y=1分别与直线x+y-6 = 0与xy+4 =0交于点B(51), A(T1),b -87所以a 5,圆心C(a,b)与点(2,8)连线斜率为k=-b8=-a - 2 a - 2当qWa 2时,一 一，7当 2 a W5时 k-,3一 .,_ ，一 一一7 . 7所以圆心C(a,b )与点(2,8)连线斜率的取值范围是J00，wju j|-,J,故选A.、填空题x y -1 _ 013.设x , y满

13、足/x _y +320 ,则z = x +2y+1的最大值为 x _2【答案】13【解析】如图，作出可行域(图中阴影部分)，目标函数z=x+2y+1在点A(2,5)取得最大值13.故答案为13.x - 214 .若变量x , y满足约束条件x-y+1W0 ,则z=x2十y2的最小值为 x 2y -2 -0【答案】1【解析】作可行域，A(0,1 ), z=x2+y2表示可行域内点P到坐标原点距离的平方，由图可得z =x2 +y2最小值为OA2 =1 .x - y -115 .已知实数x, y满足fx + y E1,则2x+y+2的最小值为 x-0x【答案】4x - y 1【解析】由实数x, y满

14、足4x+y 1 ,作出可行域如图,x 二 0联立 11y =1，解得 A)，2x+y+2 =2 +丫整， x y =1xx其几何意义为可行域内的动点与定点P(0,-2 )连线的余率加2.kpA =02 =2 , 2x+y+2的最小值为4.故答案为4. 1x16 .某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为0.2,年利润获利30%的概率为0.4 ,年利润获利50%的概率为0.4 ,对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7,持平的概率为0.2,年利润亏损20%的可能性为0.1 .为确保本地的鲜鱼供应， 市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍.根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为 千万.【答案】2.2【解析】设本地养鱼场平均年利润。，远洋捕捞队平均平均年利润t ;E =-01 父0.2+0.3父0.4+0.5父0.4 =0.3, E= =0.6 父0.7+0父0.2 0.2父 01 =0.4 ；设本地养鱼场