排列组合习题-含详细标准答案

1、排列组合专项训练1.题1 （方法对比，二星）题面：（1）有5个插班生要分配给 3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？（2）有5个数学竞赛名额要分配给 3所学校，每校至少分 到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解读：名额无差别”一一相同元素问题（法1）每所学校各分一个名额后，还有 2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：C： C3（种）（法2挡板法）相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：C： 6（种）注意：挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每 个位置至少分配一个元素的问题 .（位置有差别，元素无 差别）同类题一题面：有10个运动员名额，分给 7个班，每班

2、至少一个，有多 少种分配方案？答案：c6 详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额 之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板, 可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板 方法对应一种分法共有 C；种分法。同类题二题面：求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。答案：36.详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、v、z之彳1,故解的个数为C92=36 （个）。2.题2 （插空法，三星）题面：某展室有 9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用 1个展台，

3、并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有 种；如果进一步要求 3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有 种.答案：60 , 48同类题一 |题面：6男4女站成一排，任何 2名女生都不相邻有多少种排法？答案：A6 A7种.详解：任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有AA4种不同排法.同类题二题面：有6个座位连成一排，现有 3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A. 36 种B. 48 种 C. 72 种D. 96 种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个 空位不相邻，先排三个人，然后插空

4、，从而共A3A2= 72 种排法，故选C.3.题3（插空法，三星）题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位.1没有坐人的7个位子先摆好，2（法1 插空）每个男生占一个位子，插入 7个位子所成的8个空当中，有：A =6720种排法.（法2）15个男生先排好： A5 ;2每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，共有：c； 2c62 c6 种，综上：有 A5（C； 2C： C6 ）=6720 种.同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对

5、顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？答案：30。详解：记两个小品节目分别为 A、Bo先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把 4个球分成两堆，有片种方法。 这一步完成后就有 5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同理知有 或种 方法。故由分步计数原理知，方法共有 c y=30 （种）。同类题二题面：（2013年开封模拟）2位男生和3位女生共5位同学站成 一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （）A. 60B. 48C. 42D. 36答案：B.详解：第一步选2女相邻排列C3 A2,第二步与男一女排 列A2,第

6、三步男生甲插在中间，1种插法，第四步男 一男生才1空C4,故有C2 A2 A2 c4= 48种不同排法.4.题4 （隔板法变形，三星）题面：15个相同的球，按下列要求放入 4个写上了 1、2、3、4编号的盒子，各有多少种不同的放法？（1）将15个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；C134364（2）将15个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；（3）将15个球放入盒子内，每个盒子不必非空；（4）任取5个球，写上1-5编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；（5）任取10个球，写上1-10编号，奇数编号的球放入奇 数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子.解读：（2）先将2、3

7、、4号盒子分别放入 1、2、3个球，剩下的9个球用挡板法，C；=56（3）借来4个球，转化为19个球放入盒子内，每个盒子非空，C18816（4）不能用挡板法”，因为元素有差别.2 . 4（法1）必有一个盒子有2个球，C5 A 240 ；（法2）先选3个球，分别排到 4个盒子中的3个里，剩 下的盒子自然放2个球._ 33C5 A4240 ；41（法3）AC4480 ,会重！需要除2!重复原因：1号盒子放1、5号球，先放1后放5与先放5、后放1是一样的！（5）（法1）每个球都有2种选择，共有210种方法；（法2）奇数号的球有1、3、5、7、9,共5个，可以在1、3号两个盒子中选一个放入，共有：c；

8、 c； c3 c； c5 c；25 种放法, 同理放偶数号的球也有 25种方法，综上共有210种方法. 同类题一 题面：某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任 务.要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出 有 种不同的调度方法（填数字）.答案：120.详解：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有c2种选法，连同甲、 乙共4辆车，排列在一起，先从 4个位置中选两个位置 安排甲、乙，甲在乙前共有 c2种，最后，安排其他两辆 车共有A2种方法，故不同白调度方法为c2 c2 A2 = 120种.同类题二题面：我国第一艘航母辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中有5架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必

9、须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰那么不同的着舰方法有（）A. 12B. 18c. 24答案：c.详解：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素 A,有A；种方法。A与戊机形成三个 空”把丙、丁两机插入空中有 A；种方法。考虑A与戊机的排法有A2种方法.由乘法原理可知共有 A a3 A 24种不同 的着舰方法.故应选c.5.题5（相同与不同，三星）题面：某同学有同样的画册 2本，同样的集邮册 3本, 从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的 赠送方法共有（）A. 4 种 B. 10 种 c. 18 种D. 20 种同类题一 题面：（2013北京高考）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观 券

10、全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 答案：96. 详解：按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5的5张参观券分 成4组，然后再分配给 4人，连号的情况是 1和2,2和 3,3和4,4和5,故其方法数是 4A4= 96.同类题二 题面：3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不 站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排 法的种数是（）A. 360B. 288c. 216D. 96答案：288种. 详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考 虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位， 有c；种方法，然后再考虑顺序，

11、即先选后排，有 8种 方法；地¥域两名女生后，再考虑男生的问题，先把 三个男生任意排列，有 簿中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成 两个元素插入4个位置中。有 N种不同的排法，共有A c； A麻种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两 端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有c；种不同的方法，然后其他两个男生排列有麻种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有a2种不同的排法。共A c； c2 a2 a2种不同的排法，故总的排法为 A2 c； A3 A2 A2 c； c2 A2 A2 =288 种不同的方法。.题6（组合数的性质，二星）题面：5个男生3个女生，

12、分别满足下列条件，各有多少种方法？选出3人参加A活动；(2)选出5人参加B活动；(3)选出4人参加一项活动，女生甲必须参加；(4)选出4人参加一项活动，女生甲不能参加答案：同类题一题面：从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个 医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的 组队方案共有()A. 70 种B. 80 种C. 100 种D. 140 种答案：A.详解：分为2男1女，和1男2女两大类，共有c； c4 c5 c：=70 种同类题二题面：男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各 1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1

13、名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员.答案：(1) 120种(2) 246 种.详解：(1)第一步：选3名男运动员，有 C6种选法.第二步：选2名女运动员，有 C2种选法.共有C6 C2 =120种选法.(2)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为c4c4+c2c3+c 4 c6 +c 4 c6 =246 种.题7(选和排，二星)题面：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工彳若这 3人中有且只有1名女生，则选派 方案共有多少种？ 法一：先选后排，c；c：A33 法二：边选边排，

14、(c3a3) a2同类题一题面：将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有()A. 12 种 B. 24 种 c. 36 种 D . 48 种答案：c. 详解：先分组再排列：将 4名教师分成3组有c2种分法， 再将这三组分配到三所学校有 A3种分法，由分步乘法计 数原理，知一共有 c2 A3=36种不同分配方案.同类题二题面：甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台 阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则 不同的站法种数是()A. 258 B. 306c. 336 D . 296答案：c.详解：根据题意，每级台阶最多站 2人，所以，分两类：第一类

15、，有2人站在同一级台阶， 共有c3A2种不同的站 法；第二类，一级台阶站1人，共有A3种不同的站法.根 据分类加法计数原理，得共有c3A7+A3= 336(种)不同的站法.3.题一(合理分类，二星)题面：若从1,2, 3,，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A . 60 种 B . 63 种 c. 65 种 D . 66 种同类题一题面：只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A . 6 个B. 9 个 C. 18 个D . 36 个答案：C. 详解：注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，

16、二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 C1=3（种）选 法，即1231,1232,1233,而每种选择有 A2xc3 = 6（种）排 法，所以共有3X6= 18（种）情况，即这样的四位数有 18 个.同类题一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班 至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个 班，则不同分法的种数为A.18 B.24C.30 D.36答案：C.详解：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C：,顺序有A3种，而甲乙被分在同一个班的有A3种，所以种数是C42A3 A 30同类题二题面：由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且 1、3都不与5相邻

17、的六位偶数的个数是 （）A. 72B. 96 C. 108D. 144答案：C.详解：分两类：若1与3相邻，有A2 C3A2A2=72（个），若1与3不相邻有A3 A3= 36（个）故共有72+36= 108个.题8题面：5个男生3个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？（1）选出4人参加一项活动，女生甲必须参加;（2）选3人参加数学竞赛，至少有一名男生（法1）分类：1名、2名、3名男生:同类题二题面：甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的 课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）A. 6B. 12 C. 30 D. 36答案：C.详解：可以先让甲、乙任意选择两门，有 c： ci种选

18、择方法， 然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相 同，可以让甲选两门有 c2种选法，然后乙从剩余的两门选，有c22种不同的选法，全不相同白选法是 c：c；种 方法，所以至少有一门不相同的选法为22C4 C4 C：C；=30种不同的选法。题9 （组合数性质，三星）某班分成五个小组，分别有5,6,7,8,9名同学，现从该班挑选 2名同学参加比赛，且 这两名同学必须来自同一小组，共有多少种不同的方案？c5c；c；c；C355 ；3_ 3_ 3（法 2）间接法一一C8 C3 C8 1 55.（法3）1先取1名男生；2再在剩下的7人中取3人；f 27 6“C5C75 105?2同类题一题面：将甲

19、、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班 至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A. 18B. 24C. 30D. 307答案：C.详解：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有C：种不同的分法，然后三组进行全排列共A3种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共A3种不233同的排法。所以总的排法为 C4 A3 A3=30种不同的排法。同类题二 题面：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（A） 30 种（B） 90 种（C） 180 种（D）270种答案：B.详解：将5名实习教师分配到高一年级的

20、3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人,C1 C2另两组都是2人，有 5 2 415种方法，再将3组分A到3个班，共有15 A3 90种不同的分配方案，选 B.（法 2除序）=1 C；.A5A3（3）3,3,3,4,4,5,5,5,5能组多少个不同的九位数？多重排列除序 C93C：C：3!2!4!答案：150同类题一题面：形如45132的数称为 波浪数”，即十位数字, 千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位 波浪数”的个数为答案：16.详解：由题意可得，十位和千位只能是 4,5或者3,5.若 十位和千位排4,5,则其他位置任意排1,2,3