排列数与组合数的性质与运算

1、第92课时 排列数与组合数的性质与运算【教学目标】1 .理解排列与组合数的概念；2 .能将排列与组合实际问题按排列的定义进行抽象，运用框图进行概括；3 .能运用乘法原理推导排列与组合公式；4 .掌握排列与组合数公式，运用排列与组合公式解决简单的排列问题。【教学重点】理解排列与组合的概念及排列与组合公式的推导与运用。【教学难点】能用排列与组合的定义正确地鉴定实际问题是否为排列与组合问题。【教学过程】一.知识整理1 .排列数定义：从 n个不同元素中，每次取出 m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号 Prm表示；当m = n时，叫做n个元素的全 排列

2、数，用符号 P；表示，也可以用符号 Pn表示。2 .排列数公式：pm n(n 1)(n 2) (n m 1)(其中 n,m N 且 m n)注意：从公式的特点分析，右边第一个因数最大n,后面的每次因数都比它前面一个因数少1 (递减)，最后一个因数为n-m+1,共有m个因数(连续自然数)相乘。(公式的特征) (1)全排列数：Pn n(n 1)(n 2) 3 2 1 n !(n个连续的自然数的乘积，常用记号n!表示，读作n阶乘)。(2) 排列数公式：(解决了一般性的计算问题，介绍计算器的使用)n! .Pn (规定：0 ! = 1 )(n m)!说明：排列数有二个公式:m个数Pnm n(n 1)(n

3、 2) (n m 1)常用于计算。m n!pnm 常用于有关恒等式证明，解方程时。(n m)!3 .组合数的公式:(1)组合数的概念： 从n个不同元素中取出 m m n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组仃数.用符号C表示.(2)组合数公式的推导：Pm m n npmn(n 1)(n 2) (n m 1)或n!(n, m N ,且m n). m!(n m)!(3)组合数的性质m n-mG =Gc；1 cn / rCnr=n - G-1r-1 C1+C11+-+C1n=2nG-Cn1+(-1) nGn=即 c n +Ci +Ci + - =Ci +Cn + =2二例题精

4、析【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，解决问题能力【题目】解方程：c c2x3；【解答】由原方程得x 1 2x 3或x 1 2x 3 13, . x 4或x 5,1 x 1 13又由1 2x 3 13得2 x 8且x N , .原方程的解为 x 4或x 5 .x N上述求解过程中的不等式组可以不解，直接把x 4和x 5代入检验，这样运算量小得多。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，证明题，中档题，逻辑推理能力。【题目】求证：Pnm mPnm1 PM【解答】m 证一 ：Pn_ m 1mPnn(n 1) (n m 1) mn(n 1) (n m 1 1)n(n

5、1)(n m 2)(nm 1) m (n 1)n(n 1)(n 1 m 1)Pmn 1 ,mm 1证一 ：PnmPnn!(n m)!mn!(n m 1)!n! n 1(n m)! n m 1(n 1)!(n 1 m)!Pnm1.【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，分析问题能力。【题目】 从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法【解答】问题可以分成2类：第一类2名男生和2名女生参加，有 C：C： 60中选法；第二类3名男生和1名女生参加，有 C3c4 40中选法.依据分类计数原理，共有100种选法.【属性】高三复习，

6、排列数与组合数的性质与运算，解答题，难题，分析问题与解决问题能力，逻辑思维能力。【题目】 设 an=1+q+q2+ - +qn-1 (n 6 N,qw 1),A 门=。&+。&+G，n(1)求A(用n和q表示)A。(2)当-391，且 qw-1 时，求 lim。n nn(1) an= 1 q A=Cn1(1-q)+C n2(1-q 2)+Cn(1-q n)1 q：+ Cn2+ Cnn-( C n1q+ Cn2q+ Cnqn)-X(2 n-1)-(1+q) n+1= 2n-(1+q) n1 q1 q(2) lim =1- lim (1-q )n n 21 q n 2-3p1,| 1-q |12l

7、imnAn = 1 f-q三.课堂反馈【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，选择题，易题，分析能力【题目】式子Cm0 2 C； m ( m N )的值的个数为()A. 1B . 2C . 3D.4【解答】A【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，填空题，易题，分析能力【题目】化简：Cm滞1 Cm.【解答】0【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，填空题，易题，分析能力种不【题目】从6个同学中，挑选 3人分别担任正组长，副组长和干事，问共有同的选法.【解答】P3 6 5 4 120【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，分析能力【题目】要安排五名工人分别

8、当车工、钳工、刨工、铳工和油漆工，已知工人甲不能当钳工和油漆工，问共有多少种安排工作的方法【解答】P3 P4 3 4 3 2 1 72（种）【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，计算能力【题目】若直线方程Ax+By=0的系数A B、C可以0, 1, 2, 3, 5, 7六个数字中取不同的值，则这些方程表示的不同直线有多少条【解答】P52 2 22【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，难题，分析能力【题目】4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种【解答】解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2

9、女，分别有C：, Cj C6 ,c4 c；,所以，一共有 c：+ci c6+c4 c；-。种方法.解法二：（间接法）C130 C；100.四.课堂小结（课堂小结主要为方法总结及解题注意事项）1 .条件限制的排列与组合问题，这里所说的限制表现为：某个位置上不能排某个元素，或 某个元素只能排在某个位置上，及某些元素和位置具有特殊的要求。2 .解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时 要利用分类和分步计数原理一（1）确定该题是否是排列、还是组合问题；（2）正确地找出元素 n,位置 m（3）准确地运用乘法还是加法原理。五.课后作业【属性】高三复习，排列数与组合数的性

10、质与运算，填空题，中档题，分析能力【题目】若C： C8,则C20的值为【解答】190【题目】某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普通客票【解答】如何确定一张车票起点与终点，相当于框图中的两个位置。需要准备的车票的种数就是从12个车站中任取2个的排列数，即：吊 12 11 132（种）。答：共需要准备132种普通客票。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，填空题，中档题，分析能力【题目】10个人走进放有一排 6把椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐1人，问有 种不同的坐法【解答】因为问题实际上就是从 10个人中任取6个人的排列数，即：R0 10 9 8 7 6 5 151200（种）。

11、答：有151200种不同的坐法。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，计算能力【题目】计算c；6 c52的值。155232 18 17 16 54 53C18 C54 C18 C5422473 2 12 1【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，易题，逻辑思维能力。【题目】在1 2, 3,，8, 9这9个不同数字中，任意取 3个不同数字构成一个三位数, 问共有多少个不同的三位数【解答】P93 9 8 7 504,答：共有504个不同的三位数。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，分析能力【题目】有6位团员坐成一排照相，6个座位平均分成两排，若甲、乙不能在同一排，有多少种不同的坐法【解答】甲随意坐，P1；乙另一排选一座位，P，因此P1 P31P4 432。【题目】解方程：c： 2 c1 p310 Px 3，原方程可化为135而 Px33,即 C5.1P3310 Px 3,(x