全国高考数学复习微专题：离心率问题

1、圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆， 双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c之间的联系。一、基础知识：c1、离心率公式：e a (其中c为圆锥曲线的半焦距)(1)椭圆：e 0,1(2)双曲线：e 1,+2、圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系(1)椭圆：a2 b2 c2,2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF1 PF2 2a2b：短轴长2c:椭圆的焦距(2)双曲线：c2 b2 a22a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：PF1 PF2 2a2b：虚轴长2c:椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系(

2、只需找出其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向：(1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形 (曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解(2)利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用 a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率

3、范围的突破口(2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可(3)通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e 0,1 ,双曲线：e 1,+例1：设Fi,F2分别是椭圆C:段PFi的中点在22y轴上，若VPF1F2,由线段PFi的中点在y轴上，。为F1F2中点可得、典型例题:思路：本题存在焦点三角形PF2n y轴，从而PF2F1F2，又因为 PF1F2 30°,则直角三角形VPFF2中，IPF1IJPF2I： F1F2I2:1:73,且 2a |PFj |PF

4、2,2c "后， 所 以c 2c"1F2I73e ；a 2a |PFj IPF2I3答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意。为FF2中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。22_例2：椭圆二4 1 0 b 273与渐近线为x 2y 0的双曲线有相同的焦点 12 bF1,F2, P为它们的一个公共点，且 F1PF290°，则椭圆的离心率为 思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设F1F2 2c ,在双曲线中，b 1 , a : b : c 2:1: J5,不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：2PFi PF2 4J

5、3,由双曲线定义可得：PFi PF2 2a差c,因为 F1PF2900,22222 cL 21cL 逐 PFi PF2PFi PF2代入可得：48"J 8c2c .i05c .30 e -a 6答案:.306PFiPF24c2 而 PFi| |PF2| =-1221-2 X 例3:如图所不，已知双曲线今a线的渐近线于A,B两点,且直线luuir的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AFuur2FB ,小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲 线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。2l交双曲t i a b 0的右焦点为F ,过F的直线 b2则

6、该双曲线的离心率为(B.C.,305D.,52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用a,b,c表示，再寻找一个等量关系解出a,b,c的关系。双 . b曲线的渐近线万程为y -x,由直线l的倾 a斜角是渐近线OA倾斜角的2倍可得：2bkOA av22，确定直线的万程为( b2a2 b2i -2 a2aby _&- x c ,与渐近线联立方程得a2 b22aby u2 x ca bbya2abc-22 or y3a2 b22abeuur uur-2abc7将AF 2FB转化为坐标语言， a2 b2则 yA2yB ,即 2abe 2 2abe2，解得 a:

7、b:c T3:i: 2 ,从而 e -5/3a2 b23a2 b23答案：B例4:设F1, F2分别为双曲线2 y_ b21(a 0,b 0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P使得|PF114A.- 3IPF21 3b,|PFi| IPF2I 9ab,则该双曲线的离心率为49C.-45B.-3D.3思路：条件与焦半径相关，所以联想到PFiPF2 2a,进而与|PFi| IPF2I 3b,| PF) | IPF2 | 9ab,找到联系，计算出a,b的比例，从而求得e 4解：Q | PFiPF2II 2a22IPFi IPF2II PFi |PF24PFi |PF2即 9b2 4a2 9ab229

8、b2 9ab 4a2 029 9 4 0 解得： 一(舍)或一一a aa 3a 3c 5a: b:c 3: 4:5 ea 3答案：B例5:如图，在平面直角坐标系xOy 中,A,A2,Bi,B2 为椭圆2 y b2i(a b 0)的四个顶点，F为其右焦点，直线AB2与直线BiF相交于点T,线段OT与椭圆的交点 M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 .思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用 a, b, c进行表示，在利用条件求出离心。首先直线AB2,BF的方程含a,b,c,联立方程后交点T的坐标可用a,b,c进行表示(T ac,b a C ),则OT中

9、点 a c a cac b a c,再利用M点在椭圆上即可求出离心率解：直线ab2的方程为:1;x直线BiF的方程为：一yb联立方程可得:bxcyay bxabbc解得：T(_2ac. a cb(a c),a cac b(a c),c 2(a c)）在椭圆0)上,2c(a c)2(a c)24(ac)21,c10ac3a20,10e 3解得：e27答案：e27例6:已知F是双曲线a 0,b 0的左焦点,且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若VABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率A.1,B.1,2C.1,1 J2D.2,1 近思路：从图中可观察到若 VABE为锐角三角形，只需要AEF 0

10、,- 即可。且AF,FE均可用a,b,c表示, 4FE答案:a c,所以 tanAEFAFb2FE a a c1.2e的取值范围为AEB为锐角。由对称性可得只需E是该双曲线的右顶点，过点FAF是通径的一半，得:AF小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题b2一,ab2(2)本题还可以从直线 AE的斜率入手，E a,0 ,A c,利用kAE1,0即可求a出离心率例7:已知椭圆2 y b21 a b 0的左、.右焦点分别为F1c,0 ,F2 c,0, 若椭圆上存在点 P使,则该椭圆的离心率的取值范围为sinPF1F2sin PF2F1

11、A. 0, , 2 1C. 0，12D. 2 1,1思路:PF1F2, PF2F1为焦点三角形VPF1F2的内角，且对边为焦半径PF2 , PF1 ,所以利用正弦定理对等式变形:sin PF1F2sin PF2F1sin PF2F1sin PF1F2Ipfi| cPF2 a 再由 PF2I |PR2a解得：PF22a2上一，再利用焦半径的范围为aa cc,ac可得(由于依题意，P非左右顶点，所以焦边界值c,a c ）：2a2a c aa c2a2a222c 2a2 ca 2ac2a2e2e 1、2 1,1答案:例8:2 x 已知Fi,F2是椭圆E :二 a2L 1 a ab2的左右焦点,若椭圆

12、上存在点P ,使得PF1PF2 ,则椭圆离心率的取值范围是(A.一,15B.2t，1C.0,一D.20，t思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时,F1PF2达到最大值。所以若椭圆上存在 PF1 PF2的点p ,则短轴顶点与焦点连线所成的90°,考虑该角与 a,b,c的关系，由椭圆对称性可知,0PF2 245°,所以tanOPF2OF2OP b2. 2221,即 cb c b c a22c 12c 进而一2即ea 2解得巫，再由e 0,1可得e2:由PF1 PF2可得F1PF2900,进而想到焦点F1PF2的面积：SVF1PF2b2tan*

13、 b2 ,2 一 -_1 _力一方面：SVF1 pf2-F1F2yPc Vpc Vpb2Vpb-,因为P在椭圆上，所以yp cb,b ,即 Vpb2b c再同思路一可解得:e T，1uur思路三：PF1 PF2可想到PF1uuurPF20,进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。P x,y ,Fi c,0 ,F2 c,0uuur 有PFiuuurc x, y ,PF2c x, yuuruuur 222PF1PF2x2y2c20,即 P 点一定在以。为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径b时才可有交点，所以 c b ,同思路一可解得e-2,12注：本题对P在

14、圆上也可由PF1PF2判定出P在以F1F2为直径的圆上，进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为c2,因为P在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程:2 2b x2x2a2V2y2c2, 2a b ，、一代入消去x可得:b2理后可得:b4y b,b一 2可得：yb2即可解得:2e 一,12同思路一答案：e,2小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口;二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解2例9:设点A,A2分别为椭圆' 1 a b 0的左右焦点，若在椭圆上存在异于点 b2A,

15、A2的点P,使彳# PO PA2,其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A. 0,12B.C.D.思路:本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P的横纵坐标分别位于a,ab,b中，所以致力于计算 p的坐标，设%,丫0,题目中A2 a,0 ,由POPA2可得P也在以OA2为直径的圆上。即x2,所以联立方程:42a22y b22c2 x aaxb20,由已知可得A a,0也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得:ax。2, 2a bTcXo据x0的范围可得:ab222- a b c c.2T，1答案：D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型:即已知一个交点,可利用韦达定理求出另一交点，

16、熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标2x例10:如图，已知双曲线" ab21（a 0,b 0）上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点，且满足AF BF ,设 ABF离心率e的取值范围为（A. 3,2 .3. ,2, ,31C. .2,2 ,3，.3, . 31思路：本题与焦半径相关，所以考虑a,c的几何含义,AFBF可得VABF为直角三角形,且AB2 OF于原点对称，所以则e 2ccos5,3 12所以eJ, ,3答案：B三、历年好题精选2 X1、已知双曲线一2a2c ,结合AF即为1sincos曲线上的动点，直线则双曲线的离心率为（A.五B.abf 可得AF2

17、csin2ccos ，因为A,B关B的左焦半径。所以有2a即关于PM , PN的斜率分别为if22、（2016,新余一中模拟）已知点A是抛物线BFAF的函数,2c cos sin ,一,一求值域即12 6N是双曲线上关于原点对称的两点,P是双k1,k2(k1 k2 0),若匕k2的最小值为1,物线的焦点，P在抛物线上且满足PA焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（A. ,2 1,2 1B.2223、已知Fi,F2分别是双曲线xy 4 a b4 y的对称轴与准线的交点，点B为抛m PB ,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为C.D. .51的左、右焦点，过点 Fi且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A

18、,B两点，若VABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是)A .2 1,.2 1,c. 1,1/24、设Fi,F2分别是双曲线2 x-2 auuuurM ,使得FMuuuuOMuuurOF10 , O为坐标原点，且uuurMF1uuuur心率为（A. 33 1B.2C. 6,2mf2 ,则该双曲线的离 35、(2016四川高三第一次联考）椭圆22 bt -和圆xy 一 2c ,2（c为椭圆的半焦距）对任意t1.2恒有四个交点,则椭圆的离心率e的取值范围为（）“c 4A.0,5B.5,1C.17 4D. ，一17 56、如图，内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,

19、BD ,设内层椭圆方程为2 x2 a2y,221ab 0 ,外层 b22y 1 a 0,b 0的左右焦点，若双曲线左支上存在一点b2x椭圆方程为2ma21 a mb9b 0,m 1若AC,BD的斜率之积为则椭圆的16离心率为7、（2015,新课标 II）已知A,B为双曲线E的左右顶点，点 M在E上，VABM为等腰三角形，且顶角为120°,则E的离心率为（A. .5B. 2C. 3D. 2228、（2016,宜昌第一中学 12月考）已知双曲线 与 22 1a 0,b 0的左、右焦点分 a2 b2别为F1,F2,点M在双曲线的左支上，且MF27 MF1 ,则此双曲线离心率的最大值为C.2

20、2 x9、（2015,山东）平面直角坐标系 xOy中，双曲线C1: aa 0,b 0的渐近线与抛物线C2 : x2 2py p 0交于点O,A,B ,若VOAB的垂心为C2的焦点，则Ci离心率为10、（2014,湖北）已知 Fi,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点，且F1PF2 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（34.3A. 32 3B. 3C. 3D. 211、（2014,浙江）设直线 x 3y0 m 0与双曲线2 x-2 a2yy1 a 0,b 0 的b2两条渐近线分别交于点A, B ,若点m,0满足PA则该双曲线的离心率是解得: 习题答案:1、答案:B.解析：

21、设M(P,q),N(2p, q), P(s,t)，贝U 马 a2 x212L,2,2a b20- b22b 1 ,则 a2b222两式相减得：叱 S22q t224b a4c24a25a24c22、答案:解析：由抛物线方程可得:0, 1 ,B 0,1P作准线的垂线，垂足为PBPMPAPB1,可知m取得最大值时，PAMsinPAM最小，数形结合可知当AP与抛物线相切时,2 xPAM最小。设AP : y kx 1 ,联立方程y即 x2 4kx 4 0 ,则k 1 ,此时 P 2,1 ,则 |PA 2V2, PB2a3、PA& 1,则 e -V2 1a .2 1解析：QVABF2为钝角三角形

22、，且 AF2 BF2, AF2F145oAFiF1F2,22c a 2ac 0e2 2e 1答案：B4、答案：A思路：已知条件与焦半径相关,uuuir先考虑焦点三角形 MFF2的特点，从F1MuuuuOMuuirOF10入手，可得uuiurF1MuuuuOMuuurOF1 ,数形结合可得四边形OMPF1形，所以OMuuuuOFiuuuurMF1 : MF22c e2a5、答案:OF2F1F2I可判定VMF1F2为直 角MF1.3k, MF22 3kMF2MFi3k 3k,3解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则b 2c2ca5c2,平方变形后可得：cba6、答案:3k ，可得bt2bt2c2cF1F2MF1|MF2|2273k4ac17c2a对任意tb1,2恒成立，即5e24e11711解析：设切线 AC的方程为y k1 x ma ,切线BD的方程为y k?x mb,联立切线AC 与内层椭圆方程，得y k1 x ma,22. 2bx ay abb2 a2k2 x2 2ma3k2x m2a4k2 a2b2 0 ,由0 b 10可得：ki2 -by ，同理a m 1k2 I m2 1 ,所以 ki2k|bTaakik2b29a2167、答案：D2 x解析：设双曲线方程为 一2 a2y图所示：BM| |