可靠性工程与风险评估－模糊集理论ppt课件

1、第七章 模糊集实际在可靠性工程中的运用一、随机性与模糊性 现实生活和工程中的景象，存在着许多不确定性，这些不确定主要表现为两种类型：随机性与模糊性。 随机性：是指事件本身有明确含义，只是由于发生的条件不充分，使得在条件与事件之间不能出现确定的因果关系。换言之，结果明确，但是这样的结果能否发生不能确定，在某种程度上说出现与否是不可预测的。数理统计就是描画了涉及一个事件能否发生的不确定性，数理统计方法能较好反映了“一因多果的随机性。随机性也可称为偶尔性，它是用随机模型来描画。在可靠性分析中它是用符合某种分布的随机量来模拟的。 模糊性：是指事物概念本身是模糊的，即任一个对象能否符合这个概念难以确定。

2、也就是说概念内涵模糊，边境不清楚，在质上没有确切的含义，在量上没有明确的界限。 对于随机性是采用概率论方法来研讨其不确定性。对于模糊性就必需用模糊集实际来研讨对象本身不明确的不确定性及产生的不明确性。二、模糊集的概念及其运算 1.模糊集的概念 Zadeh(扎德首先引入模糊集的概念，其根本思想是把普通集合中的绝对隶属关系灵敏化，使元素对集合的隶属度从只能取0，1中的值扩展为可以取区间0，1中的任一数值，详细地说，我们有以下定义：定义：论域x上的一个模糊子集A完全被一个映射 :A1 , 0X 所决议，并称 为A的隶属函数。AXx xA称为x对于A的隶属度。模糊子集A也称模糊集。 隶属度的概念：就是

3、从0，1闭区间内给模糊子集 模糊集通常用下面带波浪号的大写字母来表示，例如 等。,BAnxxxA,21中每一个元素 一个相应的数字 用以表示 对于模糊子集 的隶属程度。nixi2 , 1AixA对于有限论域中的模糊子集模糊集可表示为：假设 ，那么X的模糊子集A可表示为：nnxxxX21, iniriAnnAAxxxxxxA/11Xxi式中 iAx表示 属于A的隶属度；X为论域；ix“/下面记的是X中的各元素，上面记的是元素隶 属度。“+表示X中的各元素和它的隶属度的总括。“A是普通集合亦称为论域中的一个模糊子集。对于普通的论域包括有限论域和无限论域，扎德给出另一种记法： xxAxA/式中是一种

4、记号不是积分，它们表示X中各个元素及其隶属度的总括。 由此可见，原先， 能否隶属于集合是模糊不清的，但是经过隶属度将原来具有的不确定性即模糊性在方式上转化为确定性，即确定其隶属于A的程度，采用不同确定的隶属度来表达模糊性。ix2.模糊集的运算下面将普通集合的并，交，余运算推行到模糊集中。隶属度值为 对于一切 。有设A，B为论域X上的一个模糊子集，它们分别具有 xxBA,以下关系：XxXx, xxBAXx2A是B的一个余集，BA 1BA xxxBBA1Xx3空模糊集定义为： 0 xXx4对于X中每一个元素x，都有 xxBAXx 那么说A包含B，记作 ，反之，称为B包含A，BA BA 假设 且 ，

5、那么说A与B相等，记作A=B。 BA BA5设A,B是论域X上的两个模糊子集，规定A与B 的并 集用 表示，其隶属函数为 ，并且对于XBABA的每一元素x有隶属度为 xxxBABA,max6A、B两个模糊子集的交集用 表示，其隶属函数 为并有BABA xxxBABA,min xxxBABA或式中 表示最小。 称为扎德算子。,BAABBAAB三、模糊关系与模糊矩阵1.二元模糊关系模糊关系的运用是很广泛和重要的，首先看普通二元关系，设X，Y是恣意两个普通集合，令YyXxyxYX,|,称集合 为X，Y的笛卡尔求积，简称卡氏积。YX 由此可见，卡氏积 是普通集合X和Y的元素之间YX 的无约束搭配。例2

6、.1 设5 , 4,3 , 2 , 1YX 5 , 3,4 , 3,5 , 2,4 , 2,5 , 1,4 , 1YX 3 , 5,2 , 5,1 , 5,3 , 4,2 , 4,1 , 4 XY所以 普通XYYX 假设对集合X，Y的元素之间的搭配施加某种限制，这时构成的集合是 的一个子集具有某种特殊的性质，其性质的内容。包含于搭配的限制之中，它反映X，Y是两个非空集合， 的子集R称为X到Y的一个二元关系，记作：YX YXR当 时，称x与y元素有关系R，记作 ；Ryx,xRy当 时，称x与y元素没有关系R，记作 。Ryx,yRx这里仅讨论二元关系，简称之为关系。YX 类似的，将X，Y上的模糊关

7、系定义为卡氏积 的一个模糊子集，假设A与B分别为X，Y论域上的一个模糊关系R，其中 ，R的隶属度为：YX BAR yxyxBAR,min,同样的定义二元模糊关系：设X，Y是两个非空集合， 的一个模糊子集R称为X到Y的一个二元模糊关系，记作：YX YXR模糊关系R由其隶属函数 所完全决议。1 , 0:YXR假设设X，Y分别为有限集合 nnyyyYxxxX2121,那么 卡氏积中模糊关系R可用以下 矩阵表示：YX nmnmnmRmRmRnRRRnRRRyxyxyxyxyxyxyxyxyx,212221212111这种表示模糊关系的矩阵成为模糊矩阵，由于隶属函数 取0，1中的值，所以，模糊矩阵的分量

8、也取0， 1中的值。R 采用合成运算进展相互组合可以得到不同积空间中的模糊关系，已研讨了不同的合成型式，而max-min合成已成空间最普遍的一种型式。 定义：设X，Y，Z是三个论域， 是X到Y的一个模糊关系， 是Y到Z的一个模糊关系，那么 的最大-最小合成记为 ， 指的是X到Z的一个模糊关系，它具有隶属函数为：1R21,RR21RR 21RR zyyxRRRR,minmax2121),(ZzYyXx当R是 的模糊关系时，记XX nnnRRRRRRRRR122.模糊矩阵模糊关系也可用矩阵来定义，模糊矩阵是运用Boolen矩阵开展而来的，并采用扎德算子来进展计算的。令 是两个模糊矩阵，其中 iji

9、jbBaA, 10ija, 10ijb那么：1ijijijijbabaBA,max(2) ijijijijbabaBA,min(3)(4)ijikkbaBA,minmaxBAjibaijij,(5)ijijbBaA11或四、隶属函数确实定模糊集实际中的主要隶属函数，它作为结果将模糊性在方式上转化为确定性，它是在数量上表示之隶属于一个集合中的程度，在任何情况下它可以被客观确实定，因此在一定程度上具有客观性和阅历性。隶属函数在模糊集实际中的位置是非常重要的。其位置不亚于概率分布函数的实际与运用研讨任务那样成熟。以下仅引见几种典型的隶属函数方式：1.正态型 0, 0,2baexbax2.戒上型偏小型

10、1降半Cauchy型 bcxax111cx cx 式中 0; 0; 0cba2降岭形型 02sin21211dcxcdxcx dxcdx 式中0 cd3. 戒下型偏大型1升半Cauchy型 bcxax110cx cx 2升半正态型 210cxkexcx cx 式中 0; 0; 0cba0; 0kc式中4.降半型1降半Cauchy型 211kxx式中0; 0; 0cba2降半正态型 2kxex式中0k五、言语变量 言语变量与数值变量所不同的是它的值不是数而是自然言语。本节引见从自然言语出发，建立自然言语的数学模型。凡是言语，都是用一定的词去表示一定的意义，言语的词与义的对应关系叫作它的言语。语义

11、。语义的中心问题是要得出一组规那么，以此作为算法，经过各根本词的知含义计算出合成词的含义。1971年扎德是经过言语变量处理了这个问题。 单词是自然言语的最小单位，例如，天、地、人、黑、白等。相对于一定的论域x，一类单词构成集合T，语义经过T到x的对应关系 来表达， 是一个模糊关系。0NN 25525125112xxxx年轻 50525150012xxxx老 455451453544513501214xxxxxx中年2言语变量：真实，其隶属函数为： 221121120axaaxxtrueax 021axa121xa式中 称为交差点，并且 是一个2/1ax1 , 0a表示有关x最小值的客观评判参数

12、，是为了思索表达整个真实。把假的隶属函数思索为真实的映射，因此有： xxtruefalse1自然言语中，有很多修饰词如“很、“相当、“特别、“有点等，这些词放在一个单词的前面便调整了这词词义的一定程度，此时对言语变量的模糊集要进展适当的修正，它的隶属函数可近视地定义为： 75. 025. 124xxxxxxxxAfairlyAAratheraAAveryAAveryveryA xxxxxxxxxxxxxxBABAAandBBABAAorBAnotAAslightAAsortofA125. 05 . 0六、工程模糊综合评判 综合评判是指对多种要素所影响的事物或景象进展总的评价，假设这种评价过程涉

13、及模糊问题，便是模糊综合评判。下面详细引见这种方法。一、一级工程模糊综合评判 模糊综合评判的主要步骤如下：1.建立要素集要素集是影响评判对象的各种要素所组成的一个普通集合，即nuuuU,21式中 U是要素集， 代表各影响要素。这些要素通常都具有不同程度的模糊性。miui2 , 12.建立备择集 备择集是评判者对评判对象能够作出的各种总的评判结果所组成的集合。通常用V表示，即nvvvV21,各元素 ，即代表各种能够的总评判结果。模糊综合评判的目的，就是在综合思索所影响要素的根底上，从备择集中，得出一最正确的评价结果。nivi2 , 13.建立权重集 在要素集中，各要素的重要程度是不一样的。为了反

14、映各要素的重要程度，对各个要素 应赋予一相应的权数 由各权数所组成的集合：miui2 , 1miai2 , 1maaaA,21称为要素权重集，简称权重集。 通常，各权数 ，应满足归一性和非负性条件：miai, 2 , 1011imiiaami2 , 1它们可视为各要素 对“重要的隶属度。因此，权重集可视为要素集上的模糊子集，并可表示为：miui2 , 1mmuauauaA/2211各个权数，普通由人们根据实践问题的需求客观地确定，也可按确定隶属度的方法加以确定。同样的要素，假设取不同的权数，评判的最后结果也将不同。4.单因数模糊评判 单独从一个要素出发进展评判，以确定评判对象对备择集元素的隶属

15、程度，便称为单要素模糊评判。设评判对象按要素集中的第 个要素 进展评判，对备那么集中的第 个元素 的隶属度为 ，那么按第 个要素 评判的结果，可用模糊集合：iiujijuiiuniniiiivvvvR332211来表示， 称为单要素评判集。显然，它应是备择集V上的一个模糊子集，可简单地表示为：iniiiR,21iR同理，可得相应于每个要素的单要素评判集如下：mnmmmnnRRR,21222212112111将各单要素评判集的隶属度为行组成的矩阵：mnmmmnnR32122322211131211,称为单要素评判矩阵。显然， 为一模糊矩阵。R 单要素评判集，实践上可视为要素集 U和备择集V之间的

16、一种模糊关系，即影响要素与评判对象之间“合理关系。因此，单要素评判集又可表示为：niiniiiiivuvuvuR,/,/,/2211其中， 为卡氏积 的 元素 ；表示 和 之间隶属“合理关系的程度，即按 评判时，评判对象取 的合理程度。因此，单要素评判矩阵 ，又可视为从U到V的模糊关系矩阵。njmivuji, 2 , 1;, 2 , 1,VU ijijviujvR5.模糊综合评判 单要素模糊评判，仅反映了一个要素对评判对象的影响。这显然是不够的。我们的目的是要综合思索一切要素的影响，得出科学的评判结果，这便是模糊综合评判。 怎样思索一切要素的影响呢？从单要素评判矩阵 可以看出： 的第 行，反映

17、了第 个要素影响评判对象取各个备择元素的程度； 的第 列，那么反映了一切要素影响评判对象取第 个备择元素的程度。因此，可用各列元素之和，RRiiRjjmiijjR1nj, 2 , 1来反映一切要素的综合影响。但是，这样做并未思索各个要素的重要程度。假设在 式的各项作用以相应因数的权数 ，那么便能合理地反映一切要素的综合影响。因此，模糊综合评判，可表示为，iRmiai, 2 , 1BAB权重集 可视为一行m列的模糊矩阵，上式可按模糊矩阵乘法进展运算，AnmnmmnnmbbbaaaB,2121222211121121上式中 ijimijab1nj, 2 , 1mijia,minmax 称为模糊综合

18、评判集； 称为模糊综合评判目的，简称评判目的。 的含义是：综合思索一切要素的要素的影响时，评判对象对备择集中第 个元素的隶属度Bnjbj, 2 , 1jbj6.评判目的的处置 得到评判目的 之后，便可根据以下各种方法确定评判对象的详细结果。njbj, 2 , 11最大隶属度法 取与最大的评判目的 相对应的备择元素 为评判的结果，即jjbmaxLvjjLLbvvVmax 最大隶属度法仅思索了最大评判目的的奉献，舍去了其他目的所提供的信息，这是很惋惜的；另外，当最大的评判目的不止一个时，用最大隶属度法便很难决议详细的评判结果。因此，通常都采用加权平均法。2加权平均法 取以 为权数，对各个备择元素

19、进展加权平均的值为评判的结果，即jbjvnjjnjjjbvbV11/假设评判目的 已归一化，那么jbjnjjvbV1 假设评判对象是数值性量如平安系数，那么按最大隶属度法或加权平均法取值，便是对该量模糊综合评判的结果，假设评判对象是非数性量，如评判某技术方案实施的难易程度，那么备择集将是：十分困难易，实施颇困难，实施实施十分容易，实施容V 此时，无法运用上述加权平均法，而只能用最大隶属度法。假设仍要加权平均法，那么需将备择元素非常容易，容易，颇困难，非常困难这种非数性量数性化，即分别用一适当的数字来表示它们。3模糊分布法 这种直接把评判目的作为评判结果，或将评判目的归一化，用归一化的评判目的作为评判结果。归一化的详细作法如下：先求各评判目的之和，即njjnbbbbb121再用原来的各个评判目的除以b，得归一化的模糊综合评判集：21321,nnbbbbbbbbbbbB上式中 为归一化的模糊综合评判集；Bnjbj, 2 , 1为归一化模糊综合评判目的，即11njjb各个评判目的，详细反映了评判对象在所评判的特