第五章连续时间系统的复频域分析(文正)

1、第五章第五章连续时间系统的连续时间系统的复频域分析复频域分析目录目录拉普拉斯变换的引出与定义拉普拉斯变换的引出与定义常用信号的拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质（单边）拉普拉斯变换的性质（单边）连续时间系统的复频域分析方法连续时间系统的复频域分析方法系统的模拟框图系统的模拟框图信号流图信号流图2 2一、拉普拉斯变换的引出与定义一、拉普拉斯变换的引出与定义1 1、问题的提出、问题的提出傅里叶变换存在缺点：傅里叶变换存在缺点： 1 1）局限性：）局限性： p傅里叶变换不存在，傅里叶变换不存在，p存在，但不能用定义式求得，存在，但不能用定义式求得， 、 频谱包含冲激函数，带来分析和

2、运算困难。频谱包含冲激函数，带来分析和运算困难。)0(te)(t)(sinttttfFtde)()(jjdttf)(条件：3 32 2、问题的解决、问题的解决 3 3、拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的定义傅里叶变换：傅里叶变换：（频域）（频域）拉普拉斯变换：拉普拉斯变换：（复频域）（复频域） 频域分析频域分析 复频域分析复频域分析 傅里叶变换傅里叶变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 推广推广tetfttfsFtjtstde)( de)()(ttfFtde)()(jjdttf)(条件：js4 45 5dtetfsFst)()(jjstdsesFjtf)(21)(双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换 0

3、)()(dtetfsFst)()(21)(tdsesFjtfjjst单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 本章采用本章采用二、常用信号的拉普拉斯变换二、常用信号的拉普拉斯变换单边指数信号单边指数信号单位阶跃函数单位阶跃函数单边正弦、余弦单边正弦、余弦单边指数正弦、余弦单边指数正弦、余弦单位冲激函数单位冲激函数stet1)(st1)(202020200)(cos)(sinssttstt1)(t202020200)(cos)(sinasastteastteatat8 8F(s)F(s)的极零图的极零图)()()(sDsNsF零点：使零点：使F(s)=0F(s)=0， 即即N(s)=0N(s)=0的的s

4、 s值值极点：使极点：使F(s)=F(s)=， 即即D(s)=0D(s)=0的的s s值值22) 1(1)2(1)( ssssF例：零点：零点：极点：极点：1sjs2（二阶） 1s9 9F(s)F(s)的极零图与波形的关系的极零图与波形的关系1010三、拉普拉斯变换的性质（单边）三、拉普拉斯变换的性质（单边）1 1、线性、线性 设设 )()(),()(2211sFtfsFtf 则则 )()()()(22112211sFasFatfatfa2 2、尺度变换、尺度变换 设设 )()(sFtf则则 )(1)(asFaatf0a)(1)(ajFaatfF)()()()(22112211jFajFatf

5、atfaF1111例：已知单边信号例：已知单边信号5412)()(2ssssFtf求：求：)2( tf的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。)(1)(asFaatf解：解：5)2(4)2(12221)2(21)2(22ssssFtf）（1212（3 3）时间平移）时间平移 设设 )()(sFtf则则 0)()()(00stesFttttf（ 是是 延时得到的）延时得到的） )()(00ttttf)()(ttf右移14141515有始周期函数的拉普拉斯变换有始周期函数的拉普拉斯变换 )()()()(321tftftftfsTLesFsF11)()(1第一周期波形的第一周期波形的拉普拉斯变换拉普拉斯变换

6、周期因子周期因子（1）f(t)（1） （1）（1） （1）t01234例：例：sLesF )tttf1)(1()()(112T解：解：sseesF211)(1616tf(t)110234561例：例：sesessF ttttfssL21121)()2() 1(2)()(2T解：解：)1 (211)()(221ssssTeseeesFsF17171818)()(sFtf例：例：设设 )23(tf 求求 的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 32)3(31)()32(3)23(sLesFsFtftf解：解：18181919 ( (4 4）频率平移）频率平移 设设 )()(sFtf则则 )()(00ssFe

7、tfts例：例：)(0ttSin2020s)(0ttSinet2020)(s)()(00FetfFtj1919( (5 5) ) 时域微分时域微分 设设 )()(sFtf则则 )0()()(fssFdttdf)0()0()0()()()1(21nnnnnnffsfssFsdttfd)0()0()()(222fsfsFsdttfd用于复频域系统分析用于复频域系统分析2020（6 6） 时域积分时域积分 设设 )()(sFtf则则 ssFdft)()(0sdfssFdft0)()()(推论推论21212222( (7 7) ) 复频域微分与积分复频域微分与积分 设设 )()(sFtf则则dssdF

8、ttf)()(djdFtjtfF)()(23)3(1)(jtteFt31)(3jteFt例：例： 重根重根 （8 8） 时域卷积时域卷积 设设 )()( ),()(2211sFtfsFtf则则 )()()()(2121sFsFtftf（9 9） 复频域卷积复频域卷积 设设 )()(),()(2211sFtfsFtf则则 )()(21)()(2121sFsFjtftf用于复频域系统分析用于复频域系统分析2323四、连续时间系统的复频域分析方法四、连续时间系统的复频域分析方法积分微分方程的拉普拉斯变换积分微分方程的拉普拉斯变换 - -直接求全响应直接求全响应从信号分解的角度求拉普拉斯变换从信号分解

9、的角度求拉普拉斯变换 - -求零输入响应：初始状态等效为信号源求零输入响应：初始状态等效为信号源 - -求零状态响应：求零状态响应：)()()(sHsEsR24242525解：两边求拉普拉斯变换，设初始状态为解：两边求拉普拉斯变换，设初始状态为0 0)(9)(3)(8)(7)(6)(22sEssEsEssRssRsRs)() 938 ()() 76(22sEsssRss76938)()()(22sssssEsRsH例例: : 已知某系统方程为已知某系统方程为求系统函数求系统函数 。)(9)(3)(8)(7)(6)(tetetetrtrtr )(sH25252626例例5-145-14已知输入已

10、知输入 ，初始条件为，初始条件为 ，系统，系统的转移函数为的转移函数为 ，求系统的响应。并标，求系统的响应。并标出受迫分量与自然分量；瞬态分量与稳态分量。出受迫分量与自然分量；瞬态分量与稳态分量。 )()(tetet1) 0(, 2) 0(rr655)(2ssssH解：解： )()(655)(2sEsRssssH)(5)()(6)(5)(22tedttdetrdttdrdttrd微分方程微分方程)(5)()(6)(5)(2sEssEsRssRsRs)()(2121tecectrtstszi)(3221tecectt132) 0 (2) 0 (2121ccrccr5, 721cc自然分量)(57

11、)(32teetrttzi初始条件确定常数初始条件确定常数 ： 21 , cc0)3)(2(652令pppp3221，（1 1）求零输入响应）求零输入响应 )(trzi0)(6)(5)(22trdttdrdttrd27272828)(teLsE,11s)()()(sEsHsRzs) 1)(3)(2(5ssss312312sss(3) (3) 求全响应求全响应 )(tr)()()(trtrtrzszi)()442(32teeettt瞬态分量自然分量受迫分量（2 2）求零状态响应）求零状态响应 )(trzs 自然分量受迫分量)()3()(2)(32teetetrtttzs29解：解：列电路微分方程

12、列电路微分方程)()()(tetudttduRCcc代入数值代入数值)()()(tetudttducc，零输入响应为特征方程的特征根为1)()(tcetutCzi代入初始条件代入初始条件 电路的电路的零输入响应零输入响应电压电压2)0(Cuc)(2)(tetutCzi11)(ppH转移算子转移算子系统的系统的冲激响应冲激响应)()(tetht)()(tteVuc2)0( 30电路的电路的零状态响应零状态响应电压电压)()()(*)()(tetthtetutCzs全响应全响应)()1 (tet)()1 ()()1 ()(2)()()(tetetetutututttCzsCziC自然响应自然响应受

13、迫响应受迫响应稳态响应稳态响应 瞬态响应瞬态响应)()(tett1( )1H ss电路的电路的零状态响应零状态响应电压复频域求解电压复频域求解1( )( )( )e ttE ss1111( )( )( )11zsRsE sH ss sss( )( )( )tzsrttet 321)(1)(12)(1)(2211sRsEssRssE1111sss2111211111ssssss3232五、系统的模拟框图五、系统的模拟框图 1 1、基本运算单元、基本运算单元 由于方程中涉及的运算有：加法、乘法和微分，则：由于方程中涉及的运算有：加法、乘法和微分，则： 模拟框图中的运算器件有：模拟框图中的运算器件有

14、：加法器、乘法器和积分器加法器、乘法器和积分器 前面介绍的时域和频域分析方法：前面介绍的时域和频域分析方法： 给定物给定物理系统理系统建立数学模型建立数学模型（方程式）（方程式）求求 解解 数学分析数学分析 实验方法实验方法 模拟模拟 图解法图解法 信号流图法信号流图法 对于高阶系统对于高阶系统 ：3333 时域时域 复频域（复频域（s s域）域） 加法器加法器 )()()(21txtxty)()()(21sXsXsY)(1tx)(2tx)(ty)(1sX)(2sX)(sY标量乘法器标量乘法器 )()(taxty)()(saXsY)(tx )(tya )(sX)(sYa积分器积分器 )(tx)

15、(tydxtyt)()(0s1)(sX)(sY)(1)(sXssY3434（1 1）一阶系统的模拟框图）一阶系统的模拟框图系统函数：系统函数：assH1)()()()(txtaydttdy微分方程：微分方程：)(tx)(tya)(sX)(sY1sa 时域时域 复频域（复频域（s s域）域） 2 2、系统的模拟框图、系统的模拟框图3535xbxbyayay0101 （2 2）二阶系统的模拟框图）二阶系统的模拟框图系统函数：系统函数：01201)(asasbsbsH微分方程：微分方程：x 1a 0a 1b 0by3636分子分子前向通道前向通道分母分母反向通道反向通道例：已知一系统微分方程例：已知

16、一系统微分方程 画出其系统的模拟框图。画出其系统的模拟框图。)(tr)(te64xxyy 4 -637373 3、 n n阶系统的模拟框图阶系统的模拟框图模拟框图：模拟框图：1s1s1s1na2na0a)(sX)(sY0b1bmb01110111)(asasasbsbsbsbsHnnnmmmm)()(.)()()()(.)()(0111101111tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdmmmmmmnnnnn系统函数：系统函数：微分方程：微分方程：38383 3、子系统的模拟框图、子系统的模拟框图（1 1）子系统并联模拟）子系统并联模拟 n n阶系统：

17、阶系统： 01110111)(asasasbsbsbsbsHnnnmmmmnnpskpskpsk2211（俱为单阶极点）（俱为单阶极点） )()()()(21sHsHsHsHn子系统并联模拟框图：子系统并联模拟框图：)(1sH)(2sH)(sHn)(sX)(sY39392 2子系统级联模拟（串联模拟）子系统级联模拟（串联模拟） n n阶系统：阶系统： 01110111)(asasasbsbsbsbsHnnnmmmm)()()()(2121nmmpspspszszszsb调整某一子系统的参数仅影响该子系统的极点或零点调整某一子系统的参数仅影响该子系统的极点或零点在在s s平面上的位置，对其它子系

18、统不产生影响。平面上的位置，对其它子系统不产生影响。 )( )()()()(21nrsHsHsHsHr)(1sH)(2sH)(sHn)(sX)(sY4040例如：已知系统函数如下，试分别用一阶系统的级联与例如：已知系统函数如下，试分别用一阶系统的级联与并联模拟实现系统。并联模拟实现系统。233)(2ssssH解：将系统函数分子分母分别因式分解。解：将系统函数分子分母分别因式分解。233)(2ssssH) 2)(1(3sss) 2(3) 1(1sss2112ss级联型级联型)(sX1)(sY231s1s4141 并联型并联型)(sX12)(sY211s1s2112)(sssH233)(2ssss

19、H 直接型直接型1s)(sY)(sX331s24242六、系统的信号流图六、系统的信号流图表示复杂系统的又一种图示方法表示复杂系统的又一种图示方法 4343)(sX)(sY1sa)(sX)(sYa1s信号流图信号流图模拟框图模拟框图要点要点根据系统的结构框图可画出信号流图根据系统的结构框图可画出信号流图根据信号流图求系统的传递函数根据信号流图求系统的传递函数梅森公式梅森公式nKKKGsH1)(44444545梅森公式参数解释：梅森公式参数解释：称为特征式，称为特征式，且且=1-L=1-Li i+L+Li iL Lj j-L-Li iL Lj jL Lk k+H(s)H(s)：待求的总传递函数；

20、：待求的总传递函数；LLi i: :所有各回路的所有各回路的“回路传递函数回路传递函数”之和；之和；LLi iL Lj j: :两两互不接触的回路，其两两互不接触的回路，其“回路传递函数回路传递函数”乘积之和；乘积之和；LLi iL Lj jL Lk k: :所有三个互不接触的回路，其所有三个互不接触的回路，其“回路传递回路传递函数函数”乘积之和；乘积之和；4646n n：前向通道数；：前向通道数；G Gk k：从输入端到输出端第：从输入端到输出端第k k条前向通路的总增益；条前向通路的总增益；k k称为特征式，称为特征式，且且k k=1-L=1-Liiii+L+LiiiiL Lijij-L-LiiiiL LijijL Likik+“回路传递函数回路传递函数”是指反馈回路的前向通路和反馈回路的是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的正、负号正、负号。例：例