中考数学黄金知识点系列专题等腰三角形

1、专题15等腰三角形聚焦考点温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2:等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 °等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则b<a2180等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为/ A,底角为/ R /

2、 C,则/ A=180° 2/ B, / B=Z C=-22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形推论2:有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二.等边三角形1 .定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2 .性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3 .判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于

3、60°的等腰三角形是等边三角形 三.线段垂直平分线1 .定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线2 .性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3 .判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上名师点睛典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2016山东滨州第 6题）如图，4ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=B巳A=50° ,则/CDE的度数为（）A. 50° B . 51° C. 51.5° D. 52.5 °【答案】D.解析】试题分析：根据等月贮甬形的

4、性质推出NA=NCD知50" , ZB=ZrcEJ Nede=/bed,根据三角档的外角性 质求出/阴2广，由三角形的内角和定理求出NbDE二（18。“ -25°寸Z 5。，根据平角的定义 即可求出/CDETSO' - ZCDfl- ZEDB=13Oa - 50° -丫%十二52.5",故答案选 D，考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.【举一反三】（2016山东枣庄第 4题）如图，在 ABC3, AB = AC r, Z A = 3 0

5、76;, E为BC延长线上一点，/ ABC 与/ ACE勺平分线相交于点 D,则/ D等于A. 15°B , 17.5 °C , 20°D, 22.5 °【答案】A.【解析】试题分析：在小知。中=AC,/A=3Q°，根据等原三角册的性质可得NAESNACFTb" j斫以UMCEEE。" -ZACB=130* -7E0 =105 q f根据角平分线的性质可得NDEU3工丁 j/ACX52. 5",即可得/BCD=12工丁 , 根据三角形的内角和定理可得/>1时"-ZDBC-ZDCIrlSO"

6、 -37.5° -127. 5a -15° ,故答案选仇考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理 考点典例二、等腰三角形的多解问题【例2】（2016湖南怀化第8题）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为（）A. 16cm B. 17cm C. 20cm D. 16cm或 20cm【答案】C.【解析】试题分析：分当腰长为 4cm或是腰长为8cm两种情况：当腰长是 4cm时，则三角形的三边是 4cm, 4cm, 8cm, 4cm+4cm=8cnm满足三角形的三边关系；当腰长是 8cm时，三角形的三边是 8cm, 8cm, 4cm,三角形 的周长是20cm.故答案

7、选C.考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系.【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.【举一反三】（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为 4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是（）A. 13cm B. 14cm C. 13cm或 14cm D,以上都不对【答案】C.【解析】试题分析：分4即为等腰三角形的喉和55为等腰三角形的腰两未*情况：当4排为等腰三角形的腰时,三龟形的三边分弁是垢M4g, 5也符合三角形的三通关系，周长为13当5g为等腰三角形的腰时,三边分别是, 5

8、Gib"属1符合三色形的三边关系J局长为14加，故答案选C.考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系.考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】（2016年福建龙岩第15题）如图， ABC是等边三角形，BD平分/ABC点E在BC的延长线上,【答案】2.【解析】 试题分析： .ABC是等边三角形，/ ABCW ACB=60 , BA=BC = B叶分 / ABC / DBCW E=30° , BD± AC, . BDC=90 ,. BC=2DC-/ ACB4 E+Z CDE，/ CDEW E=30° , . . CD=CE=1 . . BC=2CD=2. 考

9、点：等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决.【举一反三】（2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形 ABC内一点，将线段 AP绕点A顺时针旋转60。得到线段AQ连接BQ若PA=6, PB=& PC=10,则四边形 APBQ勺面积为【解析】试题分折：如图,连结P*根据等边三角形的性质得，AB=AC；再根据旋转的性质得AP牙牛6, /FAQ=M"）即可判定&iFQ为等边三角形:所以秋=舒=6在AAPC和21皿 中：比AC, 点赖=/心， 犯=阳利用5As判定&PC丝ZiAB%根据全等三角形的性质可得线期=助在

10、AbPO中，已知相邛F4, 陵=口 师=L* 即PB"PQQ'所以PBQ为直角三角形,ZBPQ=90° ,所以£ 工日“甘必安彳乂sX£/十-S考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质.考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】（2016湖南长沙第17题）如图， ABC中，AC=8 BC=5, AB的垂直平分线 DE交AB于点D,交边AC于点E,则4BCE的周长为.【解析】试题分析：已知 DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB所以 BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13考点

11、：线段的垂直平分线的性质.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键.【举一反三】（2016山东威海第10题）如图，在 ABC中，/ B=/ C=36 , AB的垂直平分线交 BC于点D,交AB于点H,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点G,连接AD,AE,则下列结论错误的是（）./银冷ca. bo=VL11 B. AD, AE将/BAC三等分EC 2C. AABEEAACD D. SaadfSceg【答案】A【解析】试题分折:已知NB=/C=§6* j可得AB=AC, ZEAO103fl ,又因DH垂直平分AE,即垂直平分根据申垂线性质得DB=DA, EA=E

12、C,所以Nfi=/D曲NBNCAEkE口，即可判定仆曲4sAem,根据相似三角形的性质可得四=国，再由/皿=N/NBAD=r20 ? Z»ac= Zbjyc- Zbai>=720 ?所以4dc=Ndac?日阿得 BA BCCD=CA=BA,即EgM-CgHC-AEp所以BC二BA;既诉一 1,即也险与选项以错误j因为/ 队 L BA BC /DAC=108D , ZB= ZDZC= ZCAE= 3S c , fHAZDAEZBAC - ZDAB - ZC=36° 艮1/DAB=/DAE=/CAE二肥",即可得 心，AE将N0AC三等分选项5正确；因为/BAE

13、：/BAD+/D他二72" , ZCAB=ZCAEZ fZB=ZCDAE=TW" ,可得/BAE=/CAD,在ZiBAE和中一 杷=AC»所以BAE段ACAD,选项C正确jlZBAE=ZCAD由ZiBA&Acad可得s一也二s.工，s工二十/二毛力计3工口所以以上二s二十又因血垂直平分如翦垂直平分ACj所以3二jh二E二-Sjxrc- - Sjlcmj即0二心二选】页D正确.故答案选A . 71'考点：黄金分割；全等三角形的判定与性质；线段的垂直平分线的综合运课时作业能力提升一、选择题1. （2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为 4c

14、m,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是（）A. 13cm B. 14cm C. 13cm或 14cm D,以上都不对【答案】C.【解析】试题分析：分4cm为等腰三角形的腰和 5cm为等腰三角形的腰两种情况：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是 4cm, 4cm, 5cm符合三角形的三边关系，周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时,三边分别是，5cm, 5cm, 4cm,符合三角形的三边关系，周长为14cm,故答案选 C.考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系.2. （2016四川甘孜州第9题）如图，在 ABB, BD平分/ ABC ED BC,已知AB=3, AD=1,

15、则 AED勺周长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】试题分析百平分4EC?，:乙堂/CRD J：ED"» ：,NCBH-；BE二傥dEZ）的般FTE+aE+Ng且95砒W6兰科'二4=3,'.石。的除=3+1二，故选C.考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.3. （2016辽宁营口第8题）如图，在 ABC43, Z ACB90 ,分另以点 A和点C为圆心，以相同的长（大一 1于-AQ为半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线MNIxAB于点D,交AC于点E,连接CD下列结论2C. /ADE=/DCBD. /A=2/DCB【答案】D.【解析】试题

16、分析：: DE是AC的垂直平分线，DA=DC AE=EG故A正确，DE/ BC /氏/ DCE故B正确, /ADm/CDE/DCB故C正确，故选 D.考点：作图一基本作图；线段垂直平分线的性质.4. (2016河南第6题)如图，在 ABC中，/ ACB=90 , AC=& AB=10. DE垂直平分 AC交AB于点E,则DE的长为【】(A) 6(B) 5(C) 4(D) 3【答案】D.r【解析】试题分析，已知事在畋 中，ZACB=90° , AC=8, AB=10,根据匐股定理可得BC二E,又因DE垂直平分队,ZACE=90",可得证为加：的中位线根据三角册的中位线

17、定理可得DE二：BC:3,故答案选D.考点：勾股定理；三角形的中位线定理.5. (2016河北第16题)如图，/ AOE=120 , OP平分/ AOB且OP=2.若点M N分别在 OA OBh,且4PMN；等边三角形，则满足上述条件的PMNT ()第16题图A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 3个以上【答案】d.【解析】试题分析：M、N分别在A O、BO上，一个； M N其中一个和。点重合，2个；反向延长线上，有一个, 故答案选D.考点：等边三角形的判定6. 在平面直角坐标系中，点A（ J2, J2）, B （3J2, 3J2）,动点C在x轴上，若以A B、C三点为顶点的三角形是等腰三角

18、形，则点C的个数为（）A. 2 B . 3 C .4 D .5【答案】B.【解析】试题分析：如图，;二所在的直线是工丁龙，谩酒的中垂线所在的直线是P = r + M 'J点上（6， ）3（3次,372 J方的中点坐标是2上），把户20,产2s代入尸二t十心解得六斗上，的卬垂线所在的直线是J=汇+4力,C4力0以点工为国心，以/的长为半径画弧？与x轴的交点为点g、g ；上葬 出一近力-向 二k 136，"，以点B为图上以一如的长为半径画弧，与H轴没有交点，综上,可得若以。三点 为顶点的三角形是等腰三角形，1M点c的个数为3.故选B.考点：1.等腰三角形的判定；2.坐标与图形性质

19、；3.分类讨论；4.综合题；5.压轴题.7. （2016山东滨州第 6题）如图， ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且 AC=CD=BD=B E/A=50° ,则/CDE的度数为（）A. 50° B , 51° C, 51.5° D, 52.5【答案】D.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质推出/A=NCDAf5o'2b=/DCEj /RDE=/E皿 根据二房形的外角性质求出/B=25"，由三角形的内角木碇理求出/时的NBEMa （1BT -25" ） =77.5",根据平角的定义艮1可求出/CDE=1g0

20、0 -ZCDAl- ZEDB=1900 -50" -77.5° =52, 6" j 故答案选上考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质.二、填空题8. （2016贵州遵义第14题）如图，在 ABC, AB=BC Z ABC=110 , AB的垂直平分线 D& AC于点D,连接BD则/ ABB 度.【解析】试题分析：在 ABO, AB=BC /AB（=110° ,./ A=/C=35° , = AB的垂直平分线 DE交 AC于点 D, AD=BD . / AB0/A=35 ,故答案为：35.考点：线段垂直平分线的性质.9

21、. （2016 江苏苏州 第17题）如图，在 ABC中，AB=10 , / B=60° , 点 D、E分别在 AB、BC上,且BD=BE=4 ,将 BDE沿DE所在直线折叠得到 B' DE （点B'在四边形 ADEC内）， 连接AB',则AB' 的长为.【答案】2 ,.17.【解析】试题分析：过点 D作D。B' E于点F,过点BYB' GJ± AD于点G, : / B=60° , BE=BD=4， BD弱等一 一一，.1 .边二角形, B D白 BDE B FB E=BE=2 DF=23, GD=B F=2, B G

22、=DF=“, AB=1QAG=10- 6=4, .AB' =2,7考点：1轴对称；2等边三角形.10. （2016湖北随州第12题）已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程 x2-8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为.【答案】19或21或23.【解析】试题分析：解方程m-取+15=。得乐3期第二"分以下几种情况：当等腰三角形的三边长为13时，其周长为21j当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23;当等股三角形的三边长为9、3、3时；尹”叫不符合三角形三边关系定理，舍去,当等腹三角形的三边长为九 5时，苴周长为 综上该等腰三角形的周长为19或%或2力考点：一元二

23、次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质.11. （2016广西河池第18题）如图的三角形纸片中，AB=A（C BG=12cm| Z C=30° ,折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF,那么BF的长为 cmiBFC114【答案】14 .3【解析】试题分析：过 D作DHL BC过点A作ANL BC于点N, ABAC，/ B=ZC=30 ,根据折叠可得：DF=BF,ZEDf=ZB=30 , ABAC BC=12cm| . BN=NC=6cm . 点 B落在 AC的中点 D处，AN/ DH . . NH=HG3cm.DH=3tan30 =邪(cm 设 BF=DF=xc

24、mi 则 FH=l2-x- 3=9-x(cmD,故在 RtADFC, DF 2 DH 2 FH 2 ,14 一 , cmi故答案为:3143故 x2 (J3)2 (9 x)2,解得：x=14,即 BF的长为:3考点：翻折变换（折叠问题）12. （2016内蒙古通辽第14题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48。，则该等腰三角形的底角的度数为【答案】69°或21°【解析】试题分析；分两种情况讨论；若乙1<90° ,如图1所示：BDJLW，十=9。" -48° =42* , A£=ACf .'.ZABC=C= （1800

25、 -42"）二的 ;若>如, p如图2所示:同可得:”猛;900 -48° =42° VO1SD口 -42° =118° ? 4B=aC,（130° 1380 ） +2=21。综上所述；等腰三角形底角的度额为69。或21。.故答案为：居。或21。.考点：等腰三角形的性质；分类讨论.13. （2016福建南平第16题）如图，等腰 ABC43, CA=CB=4, / ACB120° ,点 D在线段AB上运动（不与A、B重合），将 CADW4CB时别沿直线 CA CB翻折得到 CA电4CBQ给出下列结论： CD=CQCQ/

26、PCQ勺大小不变;' PCC®积的最小值为当点D在AB的中点时， PDQ1等边三角形，其中所有正确结论的序号是【答案】.【解析】试题分析：丫将ACtD与C8D分别沿直线C九C5翻折得到与6%,工六，正 确；;将AdD与acs9分界的直线CA. 3翻折得到<!躇与/BCQ=£BC3 ：.ZCJM-Zcg= ZCZHZ5CZ ZJ C5=l 20* , J/P等3609 - (NdUJMC4/金CB) =36(T - (120° 4120s ) =120* J J/PC2的大小不变j正确j如图，过点 Q作 QEL PC交 PC延长线于 E, .一/ PC

27、Q120。，/ QC=60° ,在 RD QC曰，tan Z QCE-QE , CQ，QE=CQ< tan / QCECQ< tan 60° =6 CQ = CP=CD=CQ，Sapcqf1 CPX QE=1 CPX 邪 CQ: CD2 ,，CD 222最短时，&PC最小，即：CD! AB时，CM短，过点 C作C吐AB,此时CF就是最短的 CDAC=B(C=4, /13232ACB120 , ./ AB(=30 ,CF=-BO2,即：CD最短为 2, . Sapccsj =CD2=- 22 = 2>/3 .错222将 CADW4CB盼别沿直线 CA

28、 CB翻折得到 CA* CBQA摩AP, / DAB/PAC : / DAB30° ,.rZ AP1=60° ,APD等边三角形，PD=AQ ZADf=60 ,同理： BD德等边三角形，DQ=BQ /BDQ60。，/ PDQ60。，.当点 D在 AB的中点，.二 AD=BD）,，PD=DQ. DP幅等边三角形，正确, 故答案为：.考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题）14. （2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形 ABC内一点，将线段 AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ连接BQ若PA=6, PB=8, PC=1Q则四边

29、形 APBQ勺面积为【解析】试题分析:如囹，连结田，根据等边三角形的性质得/目氏F0",出5a再根据旋转的性质得的-F卡6,/F弧=00。，即可苧族ZYATQ为等边三角形，所以PQ=AP=6/在AAFC和ABQ中，ZCAF=ZfiAQ,AF=PQ,利用8必判定AAPC经的的根据全等三角形的性质可得FC=期二10 j在ABFQ中，已知咫守二国,PQ!=6 EQ:=10即F相+PQJbq）所以公网为宣角三角附J /改十=箕。所以5二6 4尸0工气十5二；下二乂臼考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质.15. （2016湖南长沙第 17题）如图， ABC中，AC=8,

30、BC=5, AB的垂直平分线 DE交AB于点D,交边 AC于点E,则4BCE的周长为【解析】试题分析：已知而是好的垂直平分线，根据线般的垂克平分线的性质得到EA=ES,所以ABCE的周长 %/E44EB=BC+EC*A=BC*ACr3考点：线段的垂直平分线的性质16. （2016湖南娄底第17题）如图，WA ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知 AB=7, BC=6则 BCD的周长为【解析】试题分析：将 ABCg直线DE折叠后，使得点 A与点C重合，由折叠的性质可得 AD=CD由AB=7, BC=6可得 BCD勺周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13考点：翻

31、折变换（折叠问题） 三、解答题17. （2016山东淄博第 22题）（8分）如图，已知 ABC AD平分/ BAC交BC于点D, BC的中点为 M, ME/ AD交BA的延长线于点 E,交AC于点F.（1）求证：AE=AF（2）求证：BE=j （AB+AC.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析；(1)根据角平分尊的性反及书丑主的性质易/AE*/诋，即可用AE=AFj(2)作段"硼，交EA 的延长线于G,已知K=AG,根据三角形中位线定理的推论证明BE=E%再利用三用形的申位线定理艮问证 得结论.试题解析：(1)息平分/6前.-Zbad=Zcad, '/ad/

32、 e%二Nbad=z>ef, Zcad=Zafe二/ae 户 4fe,J.AE=AF.(2)作CG4EM,交BA的延长线于G.二郎 Ms,/-Zg=Zaef Nacg=Nafe,: Nae k Nafe,Zg=Zacc7二4 AC,TBM二CM. EM/CC,7.BE-EC,. BE=1 BG=1 (BA+AG =1 (AB+AC.222G考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.18. (2016湖南怀化第17题)如图，已知 AD=BC AC=BD(1)求证： AD军 ABCA(2) OA与OB相等吗？若相等，请说明理由.DC【答案】（1）详见解析；（2） OA=OB理由详见解析

33、【解析】试题分析：（1）根据定理推出全等即可（2）根据全等得出NOAB=/OEAJ根据等角对等边得弄呵.试题解析: <1）证明：:在AADB 和ARI2A 中. AB-BC, AB=BA, BD-AC 7，乐（SS£）j（2）解;OA=OB,理由是；.ADE丝ZCAjabd=Nbm>.OA=CB.考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定.19. （2016广西河池第21题）如图，AE/ BF, AC平分/ BAE交BF于C.（1）尺规作图：过点 B作AC的垂线，交 ACT 0,交AE于D,（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明.【答案】（1）作图见解解析；（2） AB=AD=BC【解析】试题分析；（1）利用基本作图作上eUwe即可j（2）先利用平行线的性JS得NENO/ECTj再根据角平分线的定义和等量代换得到/3己=/56则BA=BC,然后根据等腰三角形的判定方法由工必上。平分N旦得到卫生.现 所以留三分试题解析：（1）如图，斤。为所作JBC F(2) ABAD=BC.证明如下：'