第三讲空间向量与立体几何

1、第三讲空间向量与立体几何、规律与方法总结1. 两条异面直线所成角的求法r ragb设直线a,b的方向向量为a, b，其夹角为，则cos cos 厂諾（其中 为异面直线a,b所囘iq成的角）。2. 直线和平面所成角的求法的法向量为n,直线I与平面 所成的角为，两向如图所示，设直线I的方向向量为e ,平面3. 二面角的求法 利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，（m,n ）即为所求二面角的平面角。 对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求。如图所示，二面角 I，平面的法向量为ni,平面向量的法向量为n2,<n i ,n2>

2、= 则二面直角 I的大小为或类型一利用空间向量证明空间位置关系例1 如图所示，已知向量直三棱ABC-AiBiCi中，VABC为等腰三角形，/ BAC=90 0，且AB=AA i, D、E、分别为 BiA、CiC、BC 的中点。(1 ) DE/ 平面 ABC ;(2 ) BiF 丄 AEF。证明：如图建立空间直角坐标系A-xyz，令 AB=AA i=4，贝U A(0，0, 0)，E (0 , 4, 2), F (2,2 , 0), B (4 , 0 , 0), B i (4 , 0 , 4 )(1 )取 AB 中点为 N,则 N (2 , 0 , 0), C ( 0 , 4 , 0) , D (

3、2 , 0 , 2),uuuruuur DE (2,4,0), NC (2,4,0), DE / NC, NC 平面 ABC, DE 平面 ABC。uuur(2) BiF ( 2,2 4),uuuuuurULUU UUUEF (2,2, 2), AF(2,2,0). RFgEF(2)2(2)(4) (2)0ujuuuuuuuuu ujurB1FEF,即 B1FEF.Q B1FgAF (2) 222 (4) 0 0.ujuuUHTB1FAF,即 B1FAF,又Q AF I FEF,B1F平面 AEF。变式拓展1.在直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，/ ABC=90 0 , BC=2 , CC

4、i=4 ,点 E 在线段BB1 上,且 EB1=1 , D、E、G 分别为 CC1、C1B1、C1A1 的中点。求证：(1) B1D丄平面ABD ;(2)平面 EGF/平面 ABD。证明：(1)如图所示,以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，贝UB ( 0 , 0 , 0 ,), D (0 , 2 , 2), B1 ( 0 ,uuruuu0, 4)设 BA=a，则 A (a,0,0 )，所以 BA (a,0,0), BD (0,2,2),ujiruuun uxuuun uurB1D(0,2, 2)B1DgBA0,B1DgBD0 4 4 0,即BA,

5、B1DBD,因此B1D平(|,1,1)，Efuuur uur(0,1,1)QDgEG 0 2 2 0,面 ABD。(2 )E( 0,0,3 ),G( a,1,4 ),F( 0,1 ,4)，则 EG2即因此 B1D丄EGF。结合(1 )可知平面 EGF/平面 ABD。类型二 利用空间向量求线线角、线面角 例2 如图，已知四棱椎 P-ABCD的底面为等腰梯开， AB/CD , AC丄BD ,垂足为H , PH是四 棱锥的高，E为AD中点。(1 )证明：PE丄BC;(2 )若ZAPB= ZADB=60 0,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。解：以H为原点，HA, HB, HP分别为x,y,z轴，

6、线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，贝U A (1 , 0, 0) B (0 , 1 , 0)。uur 1 m uuu(1 )证明：设 C (m,0,0 ) ,P(0,0,n)(m v 0,n > 0),可得 PE(一，, n), BC (m, 1,0)。2 2(2)由已知条件可得m -2,n 1,故C(2_33,0,0), D(0,虫3P(0,0,1).uuir设n=(x,y,z)为平面PEH的法向量，贝U0,01x 2y 0.2 0,6 因此可uuu以取 n=(1,3,0).由 PA (1,0, 1),可得uuucos PA, n.24变式拓展丄 BC, AB 丄 AD ,

7、2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA丄面 ABCD , AB且 PA=AB=BC= 1 AD 1.2(1 )求PB与AD所成的角。(2 )求直线PD与面PAC所成的角的余弦值。1(1)Q PA AB BC -AD 1，2P(0,0,1), B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0).uuuuurPB (1,0, 1),CD( 1,1,0).uur uur cos (PB,CD)uur umr(PB,CD)o120，PB与CD所成的角为60°。uur(2)PD(0,2,uuuuuur1), AP (0,0,1)，AC (1,1,0)，设 m=(x,y,z)是平面PAC的

8、一个法向量实用文案uur则 mgAC 0 即 Z ； 0，即 x=-y,z=0.x=1,则 m=(1,-1,0),设直线PD与面PAC所成的角为即直线PD与PAC所成角的余弦值为类型三 利用空间向量求二面角 例3如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为 Ac 的中 点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面 AEC外一点F满足 FB=FD= ，5a,FE . 6a.(1 )证明：EB丄FD;(2 )已知点Q , R分别为线段FE , FB上的点，使得22FQ= FE,FR -FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。33(1 )证明：Q E为Ac中点，AB=BC , AC为直径，

9、EB AD.Q EF26a2(，5a)2 a2 2 22 BF2 BE2EBFB.又Q BFI BDB, EB平面 DF。Q FD平面DF, EBFD.RQ FDFB,BCCD, FC BDFC2 a.22FQ-FE,FR-FB,33线，建立空间直角坐标系，由此得uur 52RD (0, a, a).33sin (mg)平面D与平面RQD所成二面角的正弦值为2,2929实用文案uuuuuu解：如图，以为原点，BE为x轴正方向，BD为y轴正方向，过作平面BEC的垂(,),C(O,a,O), E(a,O,O)。12uuur2 uuu2R(0, a, a), RQ BE ( a,0,0)。3333设

10、平面RQD的法向量为m (x, y, z)unrumr则 mgRD O,n.|gRQ On (0,2,5).5 29292 . 2929 .E,F分别是BC,C。上的点，变式拓展如图，在长方体ABCD ABQD,中CF AB 2CE, AB: AD : AA 1:2:4.（）求异面直线EF与AD所成角的余弦值；（）证明AF 平面AED ；（）求二面角A ED F的正弦值。实用文案解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。设 AB 1，依题意得 D(0,2,0),F(1,2,1),3A1(0,0,4),E(1, ,0).2uuir()易得 EF (0,uuur uuuu 于是 cos E

11、F, AD1 uuuu -,1),A1D2uuu uuuu EFgAD uuu | uuuu EF AD(0,2, 4)。所以异面直线EF与AiD所成角的余弦值为证明：易知uuuAFuuir(1,2,1), EA11,3o5|'4)，£ CuuuED11,2,0)，uuur mirAFgEAuuur所以AF平面AED.()设平面EFD的法向量u (x, y,z),则unrugEF 0,皿，即ugED 0,即12yz I1x y2由()可知,uuurAF为平面uuur0, AF gED 0因此 AF0不妨令X ，可得uAED的一个法向量。EA, AF ED.又 EA1 I ED

12、 E,(1,2, 1).uuu于是 cos u, AFujur ugAF AFuuur从而 sin u, AF所以二面角aEDF的正弦值为ABBiA的一个法向实用文案题型热点交汇例如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。()求直线BE和平面ABBiA所成的角的正弦值；()在棱Ci Di上是否存在一点 F，使BiF /平面ABE ?证明你的结 论。ULlir ULLT ULLT解：设正方体的棱长为。如图所示，以 AB, AD,AA为单位正交基底建立空间直角坐标系。ULUi UULT()依题意，得 B(i,0,0) , E(0,i,), A(0,0,0) ,D(0,i,

13、0)，所以 BE ( i,i-), AD (0,i,0)。22uur在正方体 ABCD AiBiCi Di中，因为AD 平面ABBiA，所以AD是平面量。设直线BE和平面ABBiAi所成的角为，则sinUJU UUU BEgAD UJU BE1322即直线BE和平面ABBA所成的角的正弦值为 一3 iuiruuu)依题意，得 A(0,0,i)BA( i,0,i)，BE1(i,i,;).2mruuu(x, y,z)是平面ABE的一个法向量，则由 ngBA 0,ngBE0,x z 01x y z2所以x0.乙 y z,取 z 2，得 n (2,i,2).设 F 是棱 CD2上的点，则F(t,i,i

14、)(OUUUJt i).又 Bi(i,0,i)，所以 BiF(t i,i,0)。而 BiF 平面 ABE,于是BiF / 平面 AiBEUUJLBiFgn 0 (t i , i ,0)g2, i ,2)02(t i ) i 0 t 2 为CiDi的中点，这说明在棱CiDi上存在点F(CiDi的中点)，使BiF/平面ABE.变式拓展如图所示，直三棱柱ABC A Bi Ci中，AB AC, D、E分别为实用文案AA, BiC的中点，DE 平面BCCi()设二面角 A BD C为，求B1C与BCD所成角的大小。()证明：以 为坐标原点，射线 AB为x轴的正半轴，建立坐标系 a xyz (见题图)设 B(1,0,0)、C( 0,b,0)1 buuuD(0,0,c )则 Bi(1,0,2c)、E (?，匕)，BC ( 1,b,0)由DE 平面BCC1，知DE BCuuur uuuDE gBC 0 求得 b 1 o所以AB ACLULT()解：设平面BCD的法向量ANUULT UUUUULT UULT(x、y、z)则 AN gBC 0.AN gBD 01 uuur则 y 1,z-.ANcUULTUUU0又 BC ( 1,1,0), BD ( 1,0,