北师大版必修四第一章第四节第四课(4.4.1)《单位圆的对称性与诱导公式》

1、北师大版必修四第一章第四节第四课（4.4.1）单位圆的对称性与诱导公式单位圆的对称性与诱导公式 （第一课时）一、教材依据本节课选自普通高中课程标准实验教科书必修4» （北京师范大学出版社）第一章第四节第四课（4.4.1 ）单位圆的对称性与诱导公式。二、设计思路1 .正、余弦函数是在学习了指数函数、对数函数、幕函数等基本初等函数后的又一个 基本初等函数，同时也是高中阶段学习各类函数中首先遇到的周期性函数，又是推导诱导公 式的基础，在本章及全章中起着承上启下的作用。本节主要内容是三角函数的诱导公式推导 及应用。因为单位圆具有直观性，借助单位圆有助于理解正、余弦函数的诱导公式，探究角 的终

2、边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合”的数学 思想；诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，体现 “转化”的数学思想。诱导公式推导还反映了从特殊到一般的归纳数学思维方法，对培养学 生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用。同时本节学习的诱导公式为即将学习 的求值化简，以及正、余弦函数图像的学习打下基础 .2 .结合我校组织的市级课题农村中学课堂教学有效性研究和县级数学课堂教学提问技巧的研究的研究，在教学中我努力实践高效课堂模式，突出以下两点：在课堂活动中通过同伴合作、自主探究的学习方式，培养学生积极主动、勇于探索的 学习方式。

3、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反 思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法与技巧。（3）通过课堂教学活动向学生渗透重要的数学思想方法，让学生在公式推导中体会数学的 乐趣。3 .根据我所任教的学生的实际情况，学生知识水平处于中等偏下，学生刚开始接触任意 角三角函数，基础相对薄弱但对新知识比较渴望 ，学生在已经掌握单位圆对称性、任意角三 角函数定义的前提下，所以采用引导，合作探究的教学方法能轻松的完成本节课的教学内容 所以，我将单位圆的对称性与诱导公式这一节划分为两节课（第一课时教学内容为推导 公式1.9、1.11、1.12及

4、应用；第二课时的教学内容为推导公式 1.13、1.14及应用），这是 第一节课。正、余弦函数的诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°90"角的三角函数值问题，诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化 的思想方法，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大 的意义。三、教学目标1 .知识与能力（1）建构合理的问题情境，让学生体验公式的推导过程并能够理解借助三角函数的定义 推导三角函数的诱导公式；(2)在理解记忆的基础上，能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转 化为锐角三角函数的化简、求值问题。2 .方法

5、与途径(1)经历由观察图形、直观感知探讨数量关系式的过程，培养学生的数学发现能力和概 括能力；(2)通过对诱导公式的发现和探究、运用过程，培养学生的化归能力，提高分析问题和 解决问题的能力。3 .情感与评价(1)通过对诱导公式的探究，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度；(2)在诱导公式的探究过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神4 .现代教学手段利用小组讨论交流，导学稿与多媒体相结合的课改模式四、教学重点会推导正弦函数、余弦函数诱导公式，并利用公式进行化简与求值五、教学难点正、余弦函数诱导公式的推导过程及诱导公式符号的判断六、教学准备预习单位圆的对称性与诱导公式第一课时的导

6、学稿，并完成自主预习部分；回顾 任意角三角函数的定义；查阅关于 x轴、y轴、原点对称的点坐标之间的关系的相关内 容七、教学过程：【自主预习】(3分钟)问题1、什么是单位圆？任意角 a的正弦、余弦函数的定义？【学情预设】学生口述单位圆的定义，学生可能说的不到位，本组 1号补充。任意角 a 的正弦 sin = =v, 任意角 a 的 余弦 cos = =u.【设计意图】采用小组抢答的方式进行，目的是调动课堂学习的氛围，三角函数的定义是 学习诱导公式的基础。问题2、已知任意角a的终边与单位圆相交于点 P(x,y),请同学们思考回答点P关于x 轴、y轴、原点对称的三个点的坐标是什么？【学情预设】第六、

7、五、四组4号口头展示可能出错，每组1号补充，点P关于x轴对称点P(x,-y)、关于y轴对称点P2(-x,y卜关于原点对称点P3(-x,-y)【设计意图】在单位圆中，点的对称性是诱导公式推导过程的关键问题3、终边相同的角的同名正弦、余弦函数值相同，除此之外还有一些角，已知角 口正(余)弦函数值，那么，能否用它表示相关角(如 -a , n a )的正(余)弦函数值呢？【学情预设】学生回答过程中可能会忘记正弦、余弦函数的周期，忽略k的取值范围。终边相同的角的同名正弦、余弦函数值相同sin :工，2k 二 -sin :工k Zcosi "，2k 二-cos：工 k Z【设计意图】设置问题情境

8、，产生知识共鸣，引发思考，既调动学生学习积极性，激发探 究欲望，让学生动脑动手，又顺利导入新课。【合作探究】（18分钟）请同学们认真阅读课本第17页，完成正弦函数、余弦函数诱导公式推导过程。探究诱导公式（一）：（图4-5-2）在直角坐标系中，角a与u的终边有什么样的位置关系？角c（与a的终边与单位圆的交点分别为 P和P',若点P的 坐标为（x, y）,则P'的坐标呢？角a与-a的正弦函数、余弦函数 有什么关系？得出公式（一）：。【学情预设】 学生通过观察图形，结合教师提出的问题可能发 现：在角口的终边与角”的终边关于左轴对称.P和P'关于x_轴对称，P'坐标为（

9、x,-y）.在单位圆中，用a表示点P与点P的坐标。写出点P与点P'的坐标之间的关系r =1 , sin a = y, cosa = x , P(cos«,sina ), P'(cos(-« ),sin(7 )由 P(x,y)与 P'(x,-y) 知 sin(-ot )=sina , cos 7 ) = cosa由此可知，正弦函数是函数，余弦函数y = cos«是_偶_函数【设计意图】采用教师引导，多媒体展示图形，小组交流讨论完成公式一的推导过程。首先用到单位圆，并以点对称为载体，把单位圆的性质与正、余弦三角函数联系起来，数形结合，问题的设计

10、层层递进，使学生容易理解，实现教学过程的平淡过渡 ，为下面两个公式的推导做好铺垫。从线对称到点对称到三角函数值之间的关系，逐步上升，顺利推导诱导公式一，并能够发现正余弦函数的奇偶性，同时也为学生将要自主发现、探索公式二和三 起到示范作用。探究诱导公式（二）：（图4-5-2）在直角坐标系中，角0（与0（+冗的终边有什么样的位置 关系？角ct与口 +兀的终边与单位圆的交点分别为 P和P',若点P的坐标为（x, y），则P'的坐标呢？角c（与口 +冗的正弦函数、余弦函数有什么关系 ？得出公式（二）：。同理可得：sin（口一五）=; cos（sn）=【学情预设】给学生 3分钟左右的时间

11、独立思考，教师请第 三组1号学生到黑板上展示其推导过程，其他同学在练习本上 完成推导，补充展示同学的不足之处。【设计意图】以类似问题的提出，大胆的放手让学生先对 学，在组内讨论，最后组间交换意见，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻理解记 忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，培养学生合作意识、归纳总结能力、语言表达 能力及独立解决问题能力。探究诱导公式（三）：（课本图1-25）试用同样的方法推导公式（三）：sin（n -a） = ; cos（n -a） =.归纳总结：诱导公式的特点：函数名 ,符号看 。【学情预设】学生可能没有推导的思路而走弯路，教师引导学生利用已经推导出来的公式一 和公

12、式二尝试一下。【设计意图】让学生体会数学推导过程的乐趣，要学以致用，用推导出来的公式解决自己不 知道的公式，加深印象。2、运用诱导公式进行化简与求值：课本第 17页例3【学情预设】让每组的4号同学上黑板板书，进行比赛，发现问题，解决问题【设计意图】目的让学生初步利用推导出来的诱导公式来解决问题，检测学生在解决问题的过程中对诱导公式的理解记忆，激发学生的求知欲望。【巩固提升】（10分钟）例1、求下列各角的三角函数值：（1） sin960；（2） cos（&）;（3） cos（土）；64【学情预设】让每组的2号学生上黑板板书，每组1号学生进行评价，打出分数，教师巡视 并指导学生完成。【设计

13、意图】这道题是诱导公式的综合应用，学生通过观察、欣赏黑板上的解答，形成规范 解题格式，培养敢于质疑的品质，培养学生用综合解决知识的能力。【检测训练】（10分钟）1、课本第18页，练习1、2题【学情预设】让每组的2号学生上黑板板书，分组竞赛，并让每组 1号学生进行评价，打出 分数，教师巡视并指导学生完成。【设计意图】这道题是二项式定理的具体应用，目的为了让学生区分二项展开式中该项二项 式系数与该项系数区别。【链接高考】化简 sin （ 3 s + a ） cos （a - 4 汽）cos （a5n）,sin （一n一a）【设计意图】把课堂知识延伸到高考中，提高学生注意力，激发学生学习情感，把握重

14、点知 识运用，提升各自的知识运用。【课堂小结】1 .归纳任意角的正（余）弦函数化为锐角的正（余）弦函数的一般步骤：任意负角的三角函数一任意正角的三角函数一0-方的三角函数一锐角的三角函数。2 .让学生从知识和课堂两方面谈谈本节课学习的感受与收获？教师汇总各组分数，进行 表彰奖励。【设计意图】让学生回顾知识形成过程，梳理思路，自我归纳总结，形成良好的自主反思 习惯，教师鼓励学生，激发学生对学科产生好感，更好地去学习。【板书设计】课题：单位圆的对称性与诱导公式公式一：公式二：公式三：W 1W 2练习【作业布置】课本第23页习题1-4 1,2,3八、教学反思1 .本节课改变了以往常见的教学模式，让学

15、生从不同的角度去思考，对诱导公式进行 一个全方位的推导，不仅仅是通过类比总结得到其他诱导公式，更重要的是让学生体会到诱 导公式的数学思想方法，以便能将其迁移到其他公式的推导中去，教师可以真正做到“授之 以渔”而非“授之以鱼”。在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽 可能渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综 合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦。2 .教学中借助导学稿和多媒体高效课堂教学模式，可以弥补传统教学中不足，可以很 容易的抓住教学重点、突破教学难点、提高课堂效率。教学中充分体现“以学生为主，教师 为辅”的教学理念，教师通过设置若干问题，来激发学生求知的愿望，并且学生在展现自我 的同时，教师进行语言的鼓励与错误纠正，培养了学生语言的表达能力和自