北师版七年级数学下册同步讲义后半段

1、巳且 ZBPC =130*,第一节 三角形的内角与外角【知识要点】1 .三角形的概念及其基本要素三角形：由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.如图示：记作“ AABC”，读作：“三角形ABC.三角形的基本要素：三条边、三个内角、三个顶点.2 .三角形的内角(1)三角形的内角和等于 180*.(2)直角三角形两锐角互余.3 .三角形的外角(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；问：三角形的外角和是多少度 ？(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【典型例题】例1.如图，求/ 1+/2+/3+/4的度数.例2 .如图所示， MBC中，/ B, /

2、C的平分线交于点求/BAC的度数.1例3.如图,BDCA=32°B=45°C=38°ABCEAGHDCBE(4)F=15B=351 =2=3=AADEI45FCBB那么/ AIC=那么/ A=如图2所示，已知/ 1=804：3：2,那么/ A=2.如图BAC和/ BCA 如果/ B=40ADC=86 ,那么/ B=4.如图2、31. (1)在 ABC中，AD是/ BAC的平分线，如果/ C=65°5.如图如图1所示，在 ABC中，AI和CIF G E11少 .1在 ABC中，/ A, / B, /C的外角的度数的比是F D,求/ A的度数./ BGC=1

3、10A已知B既/ABD勺平分线，CF是/ACD勺平分线，BE! CF交于G, / BDC=140 ,C31AE 平分/ BAC / B=42° , / C=70° ,求/ AEC / DAE的度数.2.三角形的第一个角是第二个角的3 .直角 ABC中，/ C=90°则/ A,/B的角平分线相交所成的角为 4 .在 ABC中，/ A=1Z B=1 / C,则/ A= ，/ B= ，/ C=23.解答题1.如图，已知 ABC中，AD_LBC的度数.3 .如图所示，已知 ABC中，AC=AD BC=BE / ACB=100 ,求/ ECD的度数.54 .求如图所示中的

4、/1+/2+/3 + +/9的度数.H【大展身手】1 .如图1所示，在 MBC中，/ACB=90白，CD是AB边上的高，求与/A互余的角有（）A、0个R 1个C、2个0 3个2 .如图2所示，在锐角三角形 ABC中，CD BE分另1J是AR AC边上的高，且 CD BE交于一点P,若NA =50 7则/BPC的度数是（）A、1500R 130°C、120°口 100力3 .如图3所示，AB/ CD AC _LBC,图中与NCAB互余的角有（）A、1个B 2个C、3个0 4个4 .如图 4 所示，则/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F=5 .如图5所示，4ABC的两

5、个外角的角平分线都交于D,若/ B=50° ,则/ D等于（）A . 60 B .80° C . 65°D , 40°6 .如图 6 所示，ADL DC / BAD=30 , / BCD=18 , / B=7 .如图7所示，有一底角为 35。的等腰三角形纸片.现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 .8 .如图8所示，在直角三角形 ABD中，/D =90，C为AD上一点，则x可能是（）A 、 10° B 20° C、 30s D、 40°9 .“转化”是数学中的一种重

6、要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题(1)请你根据已经学过的知识求出右边星形(图 1)中/ A+/ B+/C+/ D+Z E的度数.(2)若对图1中星形截去一个角，如图 2,请你求出/ A+/B+/C+/D+/E+/F的度数.(3)若再对图2中的角进一步截去，你能由题 2中所得的方法或规律，猜想出图 3中的 / A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+Z G+/ H+Z M+Z N的度数吗？(只要写出结论， 不需要写出解 题过程.)第二节三角形的三边关系【知识要点】1 .三角形的三边关系是指：三角形任意两边之和大于第三边;三角形

7、任意两边之差小于第三边.2 .三角形的分类：按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分为：等腰三角形和不等边三角形；等边三角形是等腰三角形中的特殊三角形.【典型例题】例1.已知等腰三角形一边长为12cm腰长是底边长的3,求这个三角形的周长.4例 2.若 a、b、c 为 ABC 的三边之长，化简：a-b-c+|b-c-a +|c-a-b.例3.一个三角形有两边相等，周长为18cm,其中不相等的边长为 4cm,求其它两边的长；若把“不相等的边长为4cm”改为“其中一边长为4cm',其它条件不变，求其它两边的长例4. (1)小明从家C点去学校B点，有两条路可走， C-C B; C-

8、A-B,可小明每回上 学都走C-Cf B,因为他认为该路比另一条要近，小明的想法对吗？为什么？A例5.如图所示，已知 P是 ABC内任意一点,A（2）若还有一条路 Cf A B,走哪一条路更近？为什么?求证：1 (ab BC CA):二 PA PB PC :二 AB BC CA2B例6.已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：它的最小边在它的周长的1与1之间.64【初试锋芒】一.选择题1 .以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A、1cm, 2cm, 4cm B、8cm, 6cm, 4cm C、12cm, 5cm, 6cm D、2cm, 3cm, 6cm2 .有长度分别为10cm, 7cm

9、, 5cm和3cm的四根铁丝，选其中三根组成三角形则（）A、共有4种选法日只有3种选法 C 、只有2种选法 D、只有1种选法3 .已知三角形三条边的长分别是5, 6和a,则a的取值范围是（）A、1<a<11B 、2<a<6C 、a > 2 D 1<a<54 .在一个三角形中，两条边长分别为2和7,另一条边的长是奇数，符合这样条件的三角形（）A、不存在B 、只有一个C 、只有两个 D 、有三个5 . MBC 的三边 a,b,c,且（a+bcNac）=0,那么 AABC 中（）A、aAbc B 、a+b=c C 、a = c D 、不能确定其边的关系6 .

10、某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为（）A . 9cmB. 12cmC. 15cmD. 12 cm 或 15 cm#7 .三角形的两边长分别为 2和5,则三角形的周长t的取值范围是（）A、3 ct <7B、9 ct <12 G 10 <t <14D 无法确定二.解答题1 .三角形的两条边长分别为 3cm和4cm.求第三边c的取值范围.当周长为偶数时, 求第三边的长.2 .已知 ABC的周长为 18cm,且 a+b=2c, b=2a,求 a、b、c【大展身手】1.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A、3,3,6B 3,7,11C、2.5,4.5

11、,2c 1 1 1D> , ,2 3 42.等腰三角形的一边长为2cm,另,边长为6cm,则其第三边长（)A 、2 cmB 5cmC、7 cm口 6cm133 .已知三角形的两边长为 2和7,第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是 （）A . 14 B.15 C .16 D .174 .已知三角形三条边的长分别是2, 3和a,则a的取值范围是（）A、2<a<3B、0<a<5C、a >2 D 、1<a<55 .一棵9m高的大树从离地面 4m高的地方折断，则树顶与地面的接触点距离树根可能是（）A. 1mB.3m C .9m D . 13m6 .已

12、知三角形的三边长分别是3, 8, x,若x的值为偶数，则x的值为（）A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个.解答题1 .设 a、b、c是ABC的三边，化简 |a+b+c|+|ab c|2 .已知等腰三角形的周长为20. （1）当一边长为6时，另两边的长是多少？ （ 2）当边长为4时，另两边的长是多少?第三节 三角形中的重要线段【知识要点】1 .三角形的角平分线： 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（三角形三条角平分线交于三角形内一点）2 .三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.（三角形的三条中线交

13、于三角形内一点）3 .三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.（三角形的三条高交于一点）【典型例题】例 1.在 &ABC 中，NA =601/B =70：/ACB 的平分线交 AB于 D, DEE/ BC交 AC于 E,求ZBDC和/EDC的度数.B例2 .如图，在AABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且BC=12, AC=8, AD=6）求BE的长?例3.如图，在 ABC中,AD是BC边上的中线,ADC勺周长比 ABD的周长多5cm,AB与AC的和为11cm,求AC的长.例4.阅读下面问题及解答如图 1.2-3

14、6 (1), ABC中，/ ABC / ACB的平分线交于点 O,则/ BOC=90 +1 ZA= 21X180。+ 工/A;如图 1.2-36 (2), 4ABC 中，/ABC / ACB 的三等分线交于 01、02 222 112点，则/ B01C =2180&+1 ZA, BO2c =1M1800+W/A.根据以上信息：3 333(1)你能猜想出它的规律吗？n等分时(内部有n1个点)，/B01C=, /B0n,C= (用含n的代数式表示)(2)根据你的猜想，当 n=4时，说明/B03c的度数成立的理由图 L2-36例5.在 ABC中，Z A=75° , AC AB边上的

15、高 BE CF所在直线交于 H,(1)若 ABC是锐角三角形，求/ BHC(2)若 ABC是直角三角形，求此两条高的夹角；(3)若 ABC是钝角三角形，求此两条高所在直线的夹角【初试锋芒】一.选择题1 .三角形的三条高所在直线的交点有（A.1个 B .2个 C .3个 D.以上都不对/ 2 .三角形的三条中线的交点在三角形的（）A .内部 B .外部 C . 一边上 D .以上情况者必定二3 .三角形的角平分线是（）A.直线B .射线 C .线段 D .射线或线段第9题图 04 .三条高所在的直线的交点在三角形的外部，此三角形是（）A .锐角三角形B .钝角三角形C.直角三角形D .不能确定5

16、 .如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B .钝角三角形C.直角三角形D .不能确定6 .下图为四位同学所画的 ABC的高AD,错误的有（）个7 .下面说法错误的是（）A .三角形的三条角平分线交于一点C .三角形的三条高交于一点D8 .三角形的三条中线交于一点.三角形的三条高所在的直线交于一点8 .能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A .中线 B .角平分线 C .高线 D .三角形的角平分线9 .如图，在 A ABC中，/ A=520, / ABC与/ ACB的角平分 线交于点 D, / ABD与/ ACD的角平分线交于点

17、 D,依次 类推，/ ABD与/ ACD的角平分线交于点 D,则/BDC的度数是：（）A 600 B 56 0 C 94OD 680.解答题10.如图，已知AR AE分另1J是AABC的中线、高线，且AB=5cm AC=3cm求AABD与AAD的周长之差为多少？说明 AABD与AACD的面积关系.11.如图,4ABC中,/ B=34° , / ACB=104 ,AD是BC边上的高，AE是/ BAC的平分线,求/ DAE的度数.12.如图，AD是4ABC的角平分线，DE/ AR DF/ AC, EF交AD于点 Q 试问：DO是不是13.如图所示，在 ABC中，DAFB1 入E分别是AB

18、边和AC边的中点。求证：S&DE = S&BC4AD E DEF的角平分线？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由14C【大展身手】1 .如图1, ABC中，AD)± BC, E、F是BC上的点，则以 AD为高的三角形有 个.2 .如图2,在RtABC中，/ BAC=90 ,AD是高，DE是ABD的高，则与/ B互余的角有 ;与/ C相等的角有 .3 .如图3, AB=7, AC=5 AD是中线，那么 AB/口 ADC勺周长差是;4.如图，在锐角三角线图3ABC中，CD BE分另1J是 AB AC边上的高，且 CD BE交于一点P,若/A = 50中，则/ BPC的

19、度数是多少?175. AABC中，NB =68：/C =32) AD和AE分别是AABC的角平分线和高，求NDAE的度数.第四节多边形的边角关系【知识要点】1 .多边形的内角和(n2)180°2 .多边形的外角和 360°3 .多边形的对角线条数：一个多边形，从一个顶点出发有(n -3)条对角线，多边形的对角线条数 (M2【典型例题】例1.填空(1) 一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是 (2)已知一个正多边形每个外角都等于15° ,那么它的边数为 (3) n边形的外角和与内角和的度数之比是2: 7,则边数为 (4)如果一个多边形的最小的一个

20、内角为120。，比它稍大的一个内角是 125。，以后依次每个内角比前一个内角多 5° ,且所有内角和与最大内角的度数之比为63: 8,则这个多边形的边数为例2.已知一个多边形的内角和是14400 ,求这个多边形的对角线的条数.例3.如图，一个六边形的六个内角都是120° ,连续四边AR BG CD DE的长依次为1、3、3、2,求该六边形的周长.例4. 一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最大的是140° ,最小的是100° ,求这个多边形的边数.例5 .过m边形的一个顶点有 7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角

21、线,求（m - k）n的值.例6.一个多边形除了一个内角等于“，其余角的和等于2750。，求这个多边形的边数及a.例7. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形，它的内角和是 2520。，求原多边 形的边数.例8.若两个多边形的边数之比是1:2，内角和度数之比为 1:3,求这两个多边形的边数【初试锋芒】1 .若一个多边形的边数增加一条，则内角和增加（）A . 360°B.90°C.180°D.2702 .从n边形的一个顶点出发把n边形分成三角形的个数是（）A . n 个 B . (n-1)个 C . (n - 2)个 D . (n - 3)个3 . 一个多边形的

22、内角和不会是（A. 180°B . 1080°4 .已知一个正多边形每个外角都等于A. 5 B . 6C . 8100 ° D . 801060° ,那么它的边数是()C . 4 D.75 .任何一个凸多边形的内角中最多有几个锐角(A.1个 B .2个 C .3个 D .4个6 . 一个凸多边形的最小角为95° ,其他的内角依次增加 10° ,求n的值7 .已知如图，在四边形 ABCM, / A=Z D, Z B=Z C,求证：AD/ BC8 .一个多边形，除一个内角外，其余的各内角的和等于1000。，求这个内角及多边形的边数【大展身

23、手】1 . n边形的内角和=度，外角和=度.2 .正多边形的一个外角都是36° ,则正多边形的内角和为 3 .从n边形(n>3)的一个顶点出发，可以画 条对角线，这些对角线把n边形分成 个三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和.4 .若两个多边形的边数之比为1:2,两个多边形的内角和之和为1440 求这两个多边形的边数.5 . 一个n边形，有且只有三个内角是钝角，求 n的最大值.6 .已知一个多边形的内角和与外角和共21600 ,求这个多边形的对角线的条数.7 .已知六边形 ABCDEF如图它的每个内角者B相等，且AB=1, BC=CD=DE=9求这个六边形的周长.第五节

24、全等三角形的判定（SSS和SAS）【知识要点】1 .定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2 .性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等；对应线段（对应中线、对应角平分线、 对应高）相等.3 .判定：（1）边边边公理（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SS6 .（2）边角边公理（SAS）:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等【典型例题】例 1.如图，在 4ABC 中，/C=90° , D E 分别为 AC AB 上的点，且 AD=BD AE=BC DE=DC求证：DE! AB例2.已知如图，AE=CF AD/ BC, AD=CB问 ADFA CBE

25、全等吗？并说明理由例 3.如图，已知 AB± AC, AD±AE, AB=AC AD=AE求证：(1) BE=DC (2) BE! DCB27例 4.如图，AD)/ BG 且 AD=BC A已AD, AB±AF,且 AF=AB AE=AD求证：AC=EF例 5.已知：正方形 ABCD 中，NEAF=45：, AH _L EF .求证：AD = AH .【初试锋芒】1、已知 ABC DEF ABC的周长是 30cm, AB=8cm BC=12cm 贝U DF=, EF=2、三角形具有 性，即三角形三边长度确定，则这个三角形的 、 就完全确定了 .3、如图 1, R

26、C、0 E在一条直线上，且 BC=DE AC=FD AE=FB 则4AC段,理由是, / ACE=,理由是.4、如图2,若/ 1= Z2,加上条件 ,得出 AB% BAED其依据是“ SA6 5、如图3,已知 AD/ BC,欲证 ABD CDB根据“ SAS知，须补充条件 6、如图 4,已知 AE=AF, AB=AC, / A=60 ° , / B=24 ° ,则/ BOE 的度数为图11 = /2, BD=CE求证： ADE7、已知：如图， AD/ BC, AE=CF AD=BC E、F在直线 AC上.求证：DE/ BF8 .如图所示，AB=AD AC=AE / BAD=

27、/ CAE.试证明:9 .如图，AD=AE BD=EC 求证：/B =/C .10 .如图，已知 ABC是等边三角形，D为AC边上一点，且/是等边三角形.BE = DC ,求证：MBE 与 AACD11 .如图，BE CF分另1J是 ABC的高，在 BE上截取BP=AC在射线 CF上截取 CQ=AB求证：(1) AP=AQ (2) APIAQ【大展身手】1 .已知，点 D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点 O AD = AE , BD = EC ,2 .如图，AB CD相交于点 O, AC/ DB, AF=BE OC=OD AC=DB 求证：DF=EC1 DF/ EC3 .如图， AB

28、e DBE AD/ BC, / ABC=70 ,求/ CBE的度数B4 .两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形，如图所示，在筝形ABC砰，AB=ADBC=DCAC, BD相交于点O.A（1）试说明：1） ABCC ADC、柒)OB=OD AC± BD;（2）如果AC=6, BD=4,求筝形 ABC曲面积.5 .（2008河南）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图（1）已知 ABC中，AB=AC P是 ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至 AQ使/ QAPW BAC 连结 BQ CP 贝U BQ=CP.小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图（ 1）的分析，证明了

29、/ AB*AACP从而证 明BQ=CP之后他将点P移到等腰三角形 ABC之外，原题中其他条件不变，发现“ BQ=CP 仍然成立，请你就图（2）给出证明.第六节 全等三角形的综合（二）【知识要点】1 .角边角公理：有两对角和一条夹边对应相等的两个三角形全等，简称“ ASA2 .角角边公理：有两对角和一条边对应相等的两个三角形全等，简称“ AAS”【典型例题】例1.已知：如图,AB=AC, BE =CD , /1 =/2 ,求证：AABD 主 AACE例2,已知，如图AD=AE / ACDW ABE 求证：BD=CE例3.如图，已知/1 = /2=/3, AB=AD 求证：BC=DE例4.如图，已

30、知在 RtABC中，/ BAC=90 , ADL BC于D, CE为/ ACB的平分线交 AD于E, AF为/ BAD的平分线，交BC于 F.求证： AC总 FCE例 5.如图，BD± DE CE1 DE D E 为垂足，点 A 在 DE上，且 AB=AC / BAC=90求证：DE=BD- CE例6.如图所示，已知/ AOB OC平分/ AOB(1)在OCk任取一点 P,作PML OA PNIL 0既足分别为 M N,则PM PN有什么关系?请说明理由；(2)再在OC±选取一点，重复(1)中的作法，结果怎样？你能得到什么样的规律？【初试锋芒】1、如图1, AB与CD相交于

31、点 O, ZA=Z B, AO=BQ又因为/ AOC= BOD所以 AO挈 BOD其理由是2、如图 2,已知/ BADW CAE, / ABDh ACE, AB=AC 则图中 叁、,其理由是：3、如图 3, B A、E在同一条直线上， AB=AC / B= / C, / 1= 7 2=30° ,那么 BALA，/ E= , / 3=度4、如图4,已知/ A=Z D, Z1 = Z2,那么要得到 AB黄 DER还应给出的条件是 (A . / E=/ B B . ED=BC C . AB=EF D . AF=CD 5、在 ABCDB' C 中，已知/A=44 15' ,

32、/ B=67 12' , Z C =68° 33',/A' =44.25° ,且 AC= A' C ,那公匕 ABCA.K B' C'()A . 一定不全等B . 一定全等 C .不一定全等D .全等还差一个条件6.如图， ABC中，AD±BC, CE!AB,垂足分别为 D, E, AD, CE交于点H,已知EH=EB=3AE=4,求CH的长7.如图,在 MBC中，高线 AD和高线BE交于点H , AD = BD ,求证:：BDH 三 ADC8.已知:/ACB =90? AD _L AB 于 A, AD=AB求证：C

33、F平分/ACB .9 .如图，已知 AB/ CD O是BD的中点，过点 O的直线分别交 CD AB于E、F,求证：(1) OE=OF (2)若E、F分别是 DC AB的中点，则/ A=Z C.10 .已知：如图所示，OD平分/ AOB在OA OB边上取 OA=OB点P在OD上，且PML BD, PN AD.求证：PM=PN.11 .到三角形三边所在直线距离相等的点有 个.【大展身手】/ACDh B.试说明： ABC CDE.AC/DE, AC=CE1 . （08陕西）已知：如图所示，B, C, E三点在同一条直线上,2 .如图，已知 CDL AB于点D, BEX AC于点E, BE CD交于点

34、O且人0¥分/ BAC求证：OB=OC.C293 .如图，已知： AB± BC于 B , EFLAC于 G , DF，BC于 D , BC=DF.求证：AC=EFGAB=DC BE=CF求证：AB/ CD例 3.如图，AB =AE , BC =ED , /B =/E ,AF _L CD , F是垂足，试判断CF第七节直角三角形全等的判定【知识要点】1 .斜边、直角边（HL）内容：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等作用：判定两个直角三角形全等.2 .判定两个直角三角形全等的方法，共有五种：SSS、SAS、ASA、AAS、HL .判定两个三角形全等，必须有一组边对应相

35、等3 .判定两个直角三角形全等时应先考虑利用斜边、直角边条件（即HL）来证，如不行再考虑用其他四种方法（其中 SSS没有必要）.【典型例题】例1.我们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等，请仿照方案（1）,写出方案（2）, （3）, （4）,你能行吗?方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等方案（2）:方案（3）:方案（4）:AF _L BC 于 F, DE _L BC 于 E,例2,已知：如图所示，B、E、F、C在同一直线上,C与DF有什么特殊的数量关系？并说明理由.FD且点B、C 在AE的异侧,BD _L

36、 AE 于 D , CE _L AE 于 E ,试说明：例4.如图所示，RtABC中，/ ACB=90 , D是AB上一点，且 BD=BC D吐AB交AC于E.求证:CDLBE.例5.如图， ABC中，AB=AC D E分别是 AG AB上的点,若 AML CE AN BD AM=AN求证：EM=DN例6.如图a所示，AABC中，NBAC=901 AB = AC , AE是过A的一条直线,33(1) BD =DE +CE.(2)若直线AE绕A点旋转到如图b的位置时(BD< CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何？说明理由(3)若直线AE绕A点旋转到如图c的位置时(BD>

37、 CE),其余条件不变,则BD与DE、CE的关系又怎样?【初试锋芒】1 .下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（一锐角对应相等B、两锐角对应相等一条边对应相等H两条直角边对应相等2 .如图1, P到AB、AC的距离PF = PE ,则A PAE三APAF的理由是HLB 、 AASC 、 SSS D 、 ASA3.如图2 中，/C =90 AC =BC,AD平分 NCAB 交 BC于 D, DE _L AB 于 E,若AB= 6cm,则WEB的周长（A、图1C、7 cmD、8 cm图2A B C和 ADEF 中，AB=DE,/A = /D=90 ,只要再补充条就能说明. ABC = ；：DE

38、F .5 .如图，RtABC中，/ ACB=9 0 , CA=CB D是AC上的一点，E在BC的延长线上,且AE=BD BD的延长线与AE交于点F.求证：BF，AE6 .如图，在四边形 ABCD43, BC>BA AD=DC B叶分/ ABC.求证：/ BAD叱 C=180°7.已知:如图所示，.DCE二90 ,CD= CE, AD _L AC 于 A, BE_LAC于B,求证:AB+AD=AC8.如图,在AABC中，高ADBE交于点H, M N分别是BH AC的中点，/ABC =45.求证:DM=D N【大展身手D1.如图, ABC中，/ C=90°,AB=2AC,

39、M是AB的中点，点N在BC上，MNLAB.求证:AN平分/ BAC2.如图,已知： BE! CD BE=DE BC=DA 求证：DFL BC3.如图，已知 AC=BD AD± AC, BC± BD.求证：AD=BC.第八节 全等三角形中的等腰三角形【知识要点】等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形 等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高互相重合，简称： 三线合一.等边三角形的概念：三角形的三边都相等.等边三角形的性质：各个内角都相等，每个内角都等于60 °等腰三角形的识别：两边相等的三角形是等腰三角形若一个三角形有两个角

40、相等，则这两个角所对的边相等.三个角都是6041的三角形是等边三角形.顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形【典型例题】例1.如图， ABG BDF为等腰直角三角形，求证： (1) CF=AD (2) CH AD例2.已知：如图 1-1、图1-2、AE图1-1CBD图1-3中， ABC BDE为等边三角形.求证：AD=CEC图 1-2 D图 1-3A37例3.如图， ABC中，AB=AC D, E, F分别为 AB, BC, CA上的点，且 BD=CE/ DEF=/ B.求证： DEF是等腰三角形例4.已知:求证: ABC BDE为等边三角形，C、B、D三点共线(1) AD=EC (2) BP

41、=BQ (3) BPQ等边三角形D例5.已知： ABC BDE为等边三角形， A、D> E共线.求证：AE= BE+ EC(1)求证： ACDACBE小有无变化？请证明你的结论例6.如图，在等边三角形 ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过T分钟后，它们分别爬行到了 D E处，设DC与BE的交点为F.(2)问蜗牛在爬行过程中 DC与BE所成的/ BFC的大例7.已知：AABC是边长为1的等边三角形，/BDC =120彳BD =DC,/MDN =60，求证：AAMN的周长为2.【初试锋芒】1 .在 AABC 中，AB=AC /A=/B,

42、则/B=2 .等腰三角形的周长是 20 cm,有一边长是 8 cm,则其他两边长为 3 .等腰三角形的一个角是 32°,则底角为 ;等腰三角形的一个角是100°,则顶 角为4 .如图 1, AABC 中，AB=AC /A=36 BD 平分工ABC ,DE _L AB 于 E,则/C =, /BDE =，若 ABC 周长为 24,CD=4 则 BC=, MBD的周长为5 .如图2所示，在等边 ABC的AC BC边上各取一点 P, Q,使AP=CQ AQ BP相交于 点O,则/ BOQ的度数为6 .如图3是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ,7

43、.有一个等腰三角形，三边分别是3x-2,4x-3,6-2x,则等腰三角形的周长为 8 .在AABC中，AB=AC B叶分/ABC ,若/BDC =751则/A的度数为（）A、30°B、40*9 .等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为A、锐角三角形C、等边三角形C、45D、6045°,则这个三角形是（）B、钝角三角形H等腰直角三角形3610 .在 AAC 中，AB=ACD是 BC上一点，/ BAD = 40 © ,E是 AC上一点，AE=AD求/皿#11 .已知： BDE为等边三角形，/ 1 = /2, AD=CE求证： ABC为等边三角形12 .如图，已知 ABC

44、AAD比等边三角形，点 E恰好在CB的延长线上，求证：/ ABDW AED.A、B、E三点共线.M,N为CE、AD的中点ED13 .已知： ABC BDE为等边三角形, 求证： BMN等边三角形【大展身手】1 .若三角形的三边 a,b,c满足(a-b ) (b-c) (c-a ) =0,那么4ABC的形状是(A.等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .锐角三角形2 . 一个等腰三角形的底边长5cm, 一腰上的中线把这个三角形分成两个三角形，它们的周长之差为3cm,则这个等腰三角形的腰长为()A. 2cm B . 8cm C . 2cm或8cm D .以上答案都不对3 .下列命题是假命题

45、的是()A .底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等B .底边相等的两个等腰直角三角形全等C . 一边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等D .顶角相等，并且有一边相等的两个等腰三角形全等4 .在 ABC中，如果只给出条件/ A=60° ,那么还不能判定 ABC是等边三角形，给出下 面四种说法：(1)如果再加上条件" AB=AC,那么 ABC是等边三角形；(2)如果再加上条件"/ B=Z C"，那么 ABC是等边三角形；(3)如果再加上条件“ D是BC的中点，且 AB±BC',则 ABC是等边三角形；(4)如果再加上条件“ AR AC边上

46、的高相等"，那么 ABC是等边三角形；其中正确的说法有 (把你认为正确的序号全部填上)5 .(吉林中考)如图， ACB ECDtB是等腰直角三角形，且点 C在AD上，AE的延长 线与BD交于F,请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程 第八节 辅助线的作法(一)【知识要点】1 .遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法(1)截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；(2)补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段2 .角平分线问题的作法角平分线具有两条性质：(1) .对称性，作法是在一侧的长

47、边上截取短边；(2) .角平分线上的点到角两边的距离相等，作法是从角平分线上的点向角两边作垂线段【典型例题】例 1、如图，AC平分/ BAD CEL AB,且/ B+Z D=180° ,求证：AE=AD+BE例2、已知：如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC /A=108°求证：BC=AB+DCB例 3.如图，AB>AC, /1 = /2,求证：AB- AC>BD- CDeCB,B叶分. ABC.ADCCA41BEC=DEACBEDEDAB例4. 4ABC中，AC=BC / ACB=90 , D是AC上一点，A已BD交BD的延长线于 E,_ 1 _ 且AE=BD

48、,求证：BD平分/ ABC2例5.已知： ABC为等边三角形， AE=BD求证:BCD【初试锋芒】1、如图，AB/ CD AE、 DE分另1J平分/ BAD和/ADE 求证：AD=AB+CDBDC432、已知：CE AD是 ABC的角平分线，/ B=60° ,求证：AC=AE+CDAE4.已知：如图，AB=2AC / 1 =A BZ 2, DA=DB 求证：DC AC.3.已知，如图，/ C=2/ A, AC=2BC求证： ABC是直角三角形5 .已知：如图在 ABC中，/ A=90° ,6 .已知：四边形 ABCD, AB=AD /BDAB=AC BD是/ ABC的平分线

49、，求证： BC=AB+ADAB CBAD=60 , / BCD=120 .求证：AC=BC- CD.A45C第九节辅助线的作法（二）1 .倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得 到全等三角形.【典型例题】例1.如图，AB=6, AC=& D为BC的中点，求 AD的取值范围.49BDC例 2.如图，AB=CD E 为 BC 的中点，/ BACW BCA 求证：AD=2AE.【初试锋芒】1,已知：如图 AD为4ABC的中线，求证： AB+ AC>2AD2 .已知：如图 ACEDF口 BCFGO是正方形， CM是4CEF的中线，求证： AB=

50、2CM3 .已知：如图 AD为4ABC的中线，AE=EF求证：BF=ACAE,交BC于D.4 .其它辅助线作法举例.例1.如图，在 ABC中，AB=AC点E是CA延长线上的一点，点 F在AB上,且/ AEF=Z AFE.求证：EF ± BC例2 （探究性问题）求证：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 已知：如图，在 ABC中,AB=AC,P为BC上一点，过P作PDL AB于D.作PE± AC于E.过C作CML AB于 M.求证：PD+PE=CM.例 3.在图，在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC M是 AC的中点，ADL BMT求证：/ AMB

51、h CMD.例4.如图，D为等边 ABC内一点,且 AD=BD BP=AB / DBP4 DBC求/ BPD的度数.例5.如图是由一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的图形（简称直角梯形），现在要 把它剪成四块全等的图形（并且形状与原图形相同）应如何剪法?第十节 三角形综合【知识要点】1 .三角形的概念及其基本要素.2 .三角形的内角3 .三角形的外角(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4 .三角形的三边关系是指：(1)三角形任意两边之和大于第三边;(2)三角形任意两边之差小于第三边.5 .三角形的三线：角平分线，中线，高线 .

52、6 .三角形全等/r找夹角sas已知两边J 找直角一HLI找另一边一SSSJ边为角的对边一找任一角一AAAS已知一边一角找夹角的另一边 一SAS边为角的邻边 Y找夹角的另一角 一ASAI找边的另角一AAS找夹边ASAI已知两角一，二L找任一边 一AAS【初试锋芒】选择1.下列长度的三条线段，能够组成三角形的是（A 4,2,2 B 32.在 ABC中，/ A=38,6, 6 C 2, 3, 6 D 7, 13, 6A 350B 45C 80D 100 °B=45°,则与/ C相邻的外角的度数是（553 .下列说法中错误的是（A、三角形的中线、角平分线、高线都是线段、任意三角形的三内角和都是180°C三角形按角分可分为锐角、直角和等边三角形、直角三角形的两锐角互余5.如图，已知：/C=ND,A、/CAB =/DBA ;B、CB =DA ;4 .如图,AC与BD相交于点 O,已知AB=CD,AD=BC,U图中全等的三角形有（AC=DB下列条件中不能使 A ABe A BAD的是（）、AO=DBC、AO =BO ；6