第一讲：代数式与恒等变形

1、第一讲：代数式与恒等变形第1章 代数式与恒等变形1.1四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代 数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数 的属性，可以进行运算。在多项式乘法运算中， 我们学习了乘法公式，如：平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 ；完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2，并且 知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式 的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广 泛的应用。而在高中阶段的学习中，将会遇到更 复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘 法公式的内容。知识延展1多项式的平方公式：(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac2 立

2、方和公式：(a b)(a2 ab b2) a3 b33 立方差公式：(a b)(a2 ab b2) a3 b34 完全立方公式：(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3注意：(1)公式中的字母可以是数，也可以是 单项式或多项式；(2) 要充分认识公式自身的价值，在多项式 乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减 少运算中的失误；(3) 对公式的认识应当从发现，总结出公式 的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法;(4) 由于公式的范围在不断扩大，本章及初 中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公 式。一计算和化简例 1 计算：(a b)2(a b)(a2 ab b2)变式训练：化简(x

3、 y)(x y)(x2 y2 xy)(x2 y2 xy) y6二利用乘法公式求值；例2已知x2 3x 1 0，求x3 &的值。x变式训练：已知a b c 3且ab be ac 2，求a2 b2 c2的 值。三利用乘法公式证明例 3 已知 a b c 0,a3b3 c3 0求证:a2009b2009严 0变式训练：已知14(a2 b2 c2) (a 2b 3c)2 ,求证：a:b :c 1:2:3习题精练1 化简：(a b)(a2 ab b2) (a b)32 化简(a 1)(a2 a 1)(a 1)(a2 a 1)(a6 1)(a12 1)y2的值;3已知x y 10且x3 y3 10

4、0，求代数式x24已知a弄20,b2ox 19'c2021求代数式a2 b2 c2 ab be ac 的值;5 已知(x y z)2 3(x2 y2 z2)，求证:X y z6已知a4 b4 e4 d4 4abed且a,b,e,d均为正数，求证:以a,b,e,d为边的四边形为菱形1.2因式分解知识延展亠运用公式法立方和（差）公式:a3 b3 (a b)(a2 ab b2);a3 b3 (a b)(a2 ab b2):分组分解法1分组后能直接提公因式如: a2 ab ac bc (a2 ab) (ac bc) a(a b) c(a b) (a b)(a c)2分组后直接应用公式如:4x2

5、 4xy y2 a2(4x2 4xy y2) a2(2x y)2 a2(2x y a)(2x y a)三十字相乘法2 ax2 bx c (a1x c1)(a2x1 x2 (a b)x ab (x a)(x b)女口： x2 5x 6 (x 6)(x 1)C2)其中 aa2 a,CC2 c,aC2 a2 C1b如:6x2 7x 5 (2x 1)(3x 5)注意：十字相乘法的要领是：“头尾分解，交 叉相乘，求和凑中，观察实验”四其它方法简介1添项拆项法4x4 1 4x4 4x21 4x2(2x21)2 4x2(2x2 2x 1)(2x2 2x 1)3x3 4x 1 3x2 3x x 1 3x(x2

6、1) (x 1) 3x(x 1)(x 1) (x 1) (x 1)(3x2 3x 1)2配方法女口： x2 6x 15 x2 6x 9 9 15 (x 3)2 24 (x 3 2j©)(x 3 2网3运用求根公式法2ax bx c a(x x1)(x x2)(a0,0)题型归类一分解因式例1把下列各式分解因式：(1) 5x2 6xy 8y2(2) a4 a2 2ab b2 1(3) x2 2xy y2 x y 6(4) 9x4 3x3 7x2 3x 2二利用分解因式解方程 例2解方程：4x2 5x 1° x 24变式训练若关于x的方程(x a)(x b) (x b)(x c

7、) (x c)(x a) 0 (其中 a,b,c均为正数) 有两个相等实根，证明以a,b,c为长的线段能组成一个三角形，并指出该三角形的特征。三利用分解因式化简分式2 2 2例3已知(a二(6xy :、i,x 0求上的值;(a 3x) (ay 3xy)x变式训练：当x等于x的倒数时，求分式 的值x 3 x x 6四利用分解因式化简根式例4化简：.a 21、a4a 2 2（a 2 a a 4a 4）°,.a）（a 4）变式计算:1 1 25 2 67 4.3、6 42习题精练1分解因式(1) X2 9y2 2x 6y(2) (x y)2 4(x y) 123)(x 4) 24(3) x3 x 2(4) (x 1)(x 2)(x2已知x2 y2 6x 8y 25 0，求分式-的值x y3 已知