第2讲-分数的拆分问题

1、第2讲-分数的拆分问题第二讲分数的拆分问题一分数拆分的初步知识我们已经学过分数的加法运算，反过来你能把 一个分数拆成几个分数的和的形式吗？我们先 看下面的例题。11111 31 210152 53 52 5 33 5 25 12 3 56如果把上题改为填空：6亡 亡，你会填吗？ 有了上面的结果，就可以填出彳孟命。把一个 分数拆成两个或两个以上的分数的和的形式，叫 做分数的拆分。62 323 5 232=23523523丄丄30301510111(15) (10) °32 3 5(约分)1- 6()()15怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式 呢？我们仍然以1 二为例，(拆开)因为1

2、所以6拆分主要有以下几个步6 通过以上可以看出，骤：(1) 把2的分母写成质因数乘积的形式。即1 ；2 3 ?(2) 把土的分子和分母同时乘以 5，成为23上冒的形式，这叫做扩分；2 32 3 57注意为什么要乘以5?因为5正好是分母6的 两个质因数2与3的和。(3) 把分子拆成分母的两个质因子的和，再2 323；2 3 52 3 5 2 3 5 ?拆成两个分数的和。即：52 3 5(4) 把拆开后的两个分数约分，化为最简分 数。例1 填空：右十，并写出过程。解：丄L92匚°142 72 7 92 7 92 7 9二丄丄=丄+丄，7 92 963 18事实上，我们把分母分解质因数后，

3、可以得到 这个分母的不同的约数，只要把分子和分母都乘 以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个 分数拆成两个分数的和。例2 填空：丄丄丄。18 ()()1、 2、 3、解：18分解质因数后有六个约数： 6、9、18,取不同的两个约数的和，可以得到不同的结果。丄1(12)12111818(12)54545427 ?丄1(23)22111818(23)90904530 ?丄1(36)36111818(36)1621625427 ?1 1(69)691 _1 ；1818 (6 9)2702704530 11 (9 18)91811 ；1818 (9 18)4864865427 ?2911；1981

4、989922 可以看出，由于每次所选的两个约数不同，所 得的解也就不相同。但是当选用的四个约数成比 例时，它们的解就相同。如选1和2、3和6、9 和18时，或选2和3、6和9时，解就相同。二把一个分数拆成几个分数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆 成三个或三个以上分数的和。例3填空:解：18分解质因数后有六个约数:1、2、3、6、9、18,可以任意取不同的三个约数的和，得到不同的结果。1(12+3)18(12+3)1(23+6)18(23+6)1(1 +3 6)18 (1+3 6)123111 .+ + -；1081081081085436 236111 .+ + -;19819819

5、8996633 ?136111+1801801801806030 三把一个分数拆成两个分数的差能不能把一个分数拆成两个分数的差的形式 呢？观察下面的分数运算，看看左右两边有什么 关系。丄=1和1 12 36231 丄二丄和丄丄；6 3 4123412 ?由上面的例子可知：当一个分数为(nn (n 1)为自然数）时，可以拆分成 1丄的形式。即n n 111丄。（公式1）n （n 1） n n 1例4 填空：1丄；£丄丄：观察下面几个分数的运算， 系？左右两边有什么关11 16侖和11116 115；16176176 1 1156()()。解：'11=1 1一7623 23 ?丄

6、111 ；123434 ?丄1_ 11567878 ?旦=§ = 3和12 8 16 8 29 72 6363 Z=2 和 1 17 9 6379以上每个分数的分子都是分母中两个因数的差。当n、n+d都是自然数时，（d可以转化（n d）为两个分数相减的形式。即：一1丄（公式2）n （n d） n n d当d=1时，公式（2）转化为公式（1）。禾ij用 公式（2）,可以把一些分数拆成两个分数差的形 式。例5 把下列各数写出两个分数差的形式: 24 ； (2) 28 ； (3) 63 ； (4) 。3 311二，284 747 7(3)2 _ 211637 979 77 _18 _72

7、91219 由公式（2 ）11 （丄七）（公式3）n n d（11）丄 1（1 1）丄245382834763n (n d)可以导出n (n d) d如丄11,1 r1 ( ) 2 7 91821）。观察下面的等式，左右两边有什么关系？1与1 (丄丄)1621 22 36 ?丄与1 (丄丄)丄,242 2 3 3 4 24 7丄与1 (二 J丄,602 3 4 4 560 ?11 2 312 3 41通过上面的算式，可以得到这样的结论：11 -11（公式 4）（1 -）6 123 4 51 1n （n 1） （n 2）2 n （n 1） （n 1） （n 2）如1-亠-11）；丄-亠-161

8、2 3226，242 3 421 1 11160rrV2 （石 20）。由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或 若干个分数的和或两个分数的差的形式。四拆分方法在分数加减运算中的应用 例5 计算1 1丄丄丄丄。2612203042解：原式二丄丄丄丄丄丄11111111111=(11)(-1)(-)(-1)(11)(-)22334455667=1 61 一77例6 计算:2013 20142014 20152015 2016解：前三个分数相加可直接写成疵12016 °丄所2016 原式201320162016例7 计算：212013 °214 1616 182 118 20

9、20 °12 14解：由公式（2） 原式=（丄丄）（丄丄）（丄丄）（丄121414161618182020-1O12例&计算：1) 11 1 55 99 1313 1717 21 °解：由公式(3) 原式1 (1 1)451 1 =4 (1 21)例9 计算：1 (1丄)丄(丄丄)459491341 20_542121 °1 1 1_121 2 312 3 4解：由等差数列的求和公式1 2 311 2 3 L 50 ° L n得1 12 （-）,1 2 3 L nn（n1） nn1所以原式中每个分数可以拆分为1 2 (1 1) 1 2 33 4?

10、11 2 3 L 50 因此 原式=1 2 (1 12 (士 土)5051''2 (4 5)，1丄)2 (丄丄)2 (丄12334451 124912(丄丄)2149。2 515151例10 计算：1 2 2 士。6246040)2 ()2 () L解: 6=1 X 2X 3,根据公式（4）,111 1 1 （ ）621 22 3，24所以原式=-（丄2 1 2=丄（丄丄）222040例11 计算：-14解：根据公式（ 原式=22=1一 212.和。解：1 22 21 24424=2X 3X 4, 60=3X 4X 5,1 （丄丄）2 2 33 4 ?1 1 1 ）+ （一 2

11、 3221 1_ O415 6 71 160 21 1）+3 3 42（丄丄）（3 44 5）?一1 1 1 （ ）+ _3 44 540198 99 100 °5 64）,15 61）1+ 98 992474 599 10040 19800198009900 °求 （二L.4 55 61 1 （1 1+ 6 76 71丄+L7 8494洙)2" 2*3=3, 3* 一 4*/ 的先把同分母的分数相加。1 1 2 1123212 2?333323 432112 3 4 3 2 14 4444所以原式=2+3+4=9.例1121 2 2解：131 _ 1 2 、 2

12、016L L2 2016 2016 2016利用例12的结论进行计算。+2016=2016 2017 =2033136。2原式=1+2+3+计2016 2016 °练习题1 在下列各式中填上适当的整数：丄丄丄；丄丄丄；28()()15()() ?答案：丄丄丄；丄丄丄28(77)(44)15(40)(24)11114711.284 74 7 114 7 117744 ?解：丄丄 83 511。153 53 5 83 5 840242在下列各式中填上适当的整数:丄丄丄丄；2 32()()() ?丄丄24()1+()()?1 1 + (72)(48) 解:32的约数有1、2、4、&

13、16、 32,17124111 .3232 732 732 732 722411256 ?24的约数有1、2、3、4、6、 8、 12、16 1231112424 624 624 624 614472O483.在下列各式中填上适当的整数: 8 ( 1 ) ( 1 )；271()(1)丄丄24(144)答案：丄丄丄丄；32(224)(112)(56) ?24,答案：解：88丄27-8(4)(8)1-4224224119 327-(2 21 1 (一3 963 9631 1 . (18)(54) 1) 1 1 448，111)918 54丄；72 ?1 丄1丄97289 ?95-；5 95 959 ?4_145 = 59 55 91 1。8 94 把下列各数写成两个分数的差的形式:-；45 ?答案： 解：土45丄口728 95 先观察，找出规律。11441311111 .33 4121212