高中数学-锐角三角函数练习

1、高中数学-锐角三角函数练习一、选择题（每小题3分，共30分）1. sin60的值等于（）A.2 b£ 中 D.2.在 RtAABC 中，/ C=90°,BC=4, sinA=1,则 AB 的长为（）3A.8 B. 6 C. 12 D. 8315 / 123.已知“为锐角，且cos（90 -1a）= 2,则COSa的值为（）3 一4.如图1,点A（t,3）在第一象限OA与x轴所夹的锐角为 a, tan a= 3,则t的值是（）图1A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 35.如图2, / AOB在正方形网格中，则 cos/ AOB的值为（）图21233A.2 Bq C.&qu

2、ot;2- D.6.如图3,将 ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A, B, C均在格点上，则tanA的值是（）图35. 101A.- B. C. 2 D.27 .如图 4,在 RtAABC 中，Z ACB = 90°, CDXAB,垂足为 D.若 AC=V5, BC = 2, 则sin/ACD的值为（）图4a.£ b.普2D.38 .如图5,某酒店大门的旋转门内部由三块宽为 2米，高为3米的玻璃隔板组成，三 块玻璃摆放时夹角相同. 若入口处两根立柱之间的距离为 2米，则两立柱底端中点到中央转 轴底端的距离为()图5A.a米 B. 2米 C. 2啦米 D. 3米

3、9 .如图6,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在南偏西22。方向上.航行2小时后到达N处，观测灯塔P在南偏西44。方向上，若该船继续向 南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68 & 0.9272 , sin46 0.7193, sin22 5 0.3746, sin44 5 0.6947)()图6A. 22.48 海里 B. 41.68 海里C. 43.16 海里 D. 55.63 海里10.如图7,四边形BDCE内接于以/BCE = 30°,则线段 DE的长是()，“-一3BC 为直径的O A, 已知 BC=1

4、0, cos/BS),图7A.梅 B. 7 V3 C.4+3 m D. 3+4 33 请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分|答案第n卷(非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11 .如图 8,在 ABC 中，/ B=45°, cosC=3, AC=5a,则 ABC 的面积用含 a 的 5式子表示是图812 .为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟彳车位，如图 9,每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45。角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位.(参考数据： *=1.4)图913 .如图10,在等腰三角形 ABC中，A

5、B = AC, BC = 4, D为BC的中点，点 E, F在 线段AD上，tan/ABC = 3,则阴影部分的面积是 .B n C图101 .14,已知 ABC ,若sinA2与(tanB 43)2互为相反数，则/ C的度数是15. 如图11,已知四边形 ABCD是正方形，以 CD为一边向CD两旁分别作等边三角 形PCD和等边三角形 QCD ,那么tan / PQB的值为.图1116. 如图12,已知点 A(543, 0),直线y = x+b(b>0)与y轴交于点B,连接AB.若/ a = 75。，贝 U b=.图12三、解答题（共52分）17. （5 分）计算：cos30 °

6、;tan60 °cos45 °sin45 °sin26018. （5 分）如图 13,在 ABC 中，AB =4, AC = 6, / ABC = 45°,求 BC 的长及 tanC的值.图1319. （5分）如图14,在半径为1的。中，Z AOB = 45°,求sinC的值.图1420. （5分）如图15, AB是长为10 m,倾斜角为37°的自动扶梯，平台 BD与大楼CE垂 直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部 C的仰角为65。，求大楼CE的高度（结 果保留整数）.（参考数据：sin37°|, tan37

7、76;3, sin65°：9：, tan65° =曷 54107图1521. (7分)如图16,菱形ABCD的对角线 AC与BD相交于点 O, / ABC : / BAD =1 : 2, BE / AC , CE / BD.求tan / DBC的值；(2)求证：四边形 OBEC是矩形.图1622. （7分）如图17,市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方 案是：水坝加高1米（EF=1米），背水坡 AF的坡度i=1 ： 1,已知AB = 3米，/ ABE =120° , 求水坝原来的高度.图1723. （9分）阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题

8、： 如图18，在四边形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O, AC = 4, BD = 6, Z AOB =30°,求四边形 ABCD的面积.小凯发现，分别过点 A, C作直 线BD的垂线，垂足分别为 E, F,设AO为m,通过计算 ABD与 BCD的面积和可以使 问题得到解决（如图）.请回答：（.ABD的面积为（用含m的式子表示）；（2）求四边形ABCD的面积.参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC, BD相交于点 O, AC = a, BD = b, Z AOB ="（0之a< 90° ）则四边形 ABCD的面积为

9、（用含a, b, “的式子表示）.图1824. （9分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题.贝U sinB = AD,在锐角三角形 ABC中，/ A, /B, /C的对边分别是 a, b, c,过点A作AD，BC于 点D（如图19）,sinC = AD,即 AD = csinB , AD = bsinC,b '''于是 csinB = bsinC,b csinB- sinC同理有c asinC sinA'a ba b c=T.所以=-=-sinA sinBsinA sinB sinC即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中，若已知

10、三个 元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题：（1）如图，4ABC 中，/B=45°,/C=75°,BC=60,则/ A = °,AC =（2）如图，在某次巡逻中，渔政船在C处测得海岛A在其北偏西30。的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东 30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得海岛 A在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛 A的距离AB.（结果精确到0.01海里，、/6 = 2.449）详解详析1. C2 BC .2. B 解析由题意可得sinA=a=湛.因为BC

11、= 4,所以AB=6.3 AB,.1、入，.一，.一，3. D 解析因为COS（90 a） = 2, a为锐角，所以90 a= 60 ,所以a= 30 ,所以3cos a= _2 . .一 . 一. . 3.4. C 解析二,点A（t, 3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为a, tana=5，tan”32't= 2.5. B 解析如图，连接AC.由网格图的特点，易得ACO是等腰直角三角形，所以/AOB = 45°,所以cos/ AOB的值为_22 .6. D 解析如图，连接BD.由网格图的特点可知 ADXBD,由AD = 2 42,BD=42,一一 1可得tanA的值为2.

12、7. A 解析在 RtAABC 中，根据勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=（、/5）2+22=9,AB = 3/.Z B + Z BCD= 90°, / ACD + / BCD = 90 °,，B=/ACD, . sin / ACD = sinBAC_l5AB- 3 .故选A.8. A 解析如图，设中央转轴底端为 A,两立柱底端的点为 B, C, BC的中点为D,则有AB=AC=2米，所以ADXBC,且CD=1米，所以AD = J3米.9. B 解析如图，过点P作PALMN于点A, MN =30X2= 60（海里）. . / PMN =22°, / PNA =

13、 44°, ./ MPN = Z PNA-Z PMN = 22 , ./ PMN = Z MPN, MN= PN=60 海里. / PNA=44°, 在 RtANAP 中，PA= PN sin PNA = 60 X 0.6947 41.68（海里）. 故选B.10. D 解析如图，过点 B作BFDE于点F.在 RtACBD 中， BC=10, cosZ BCD = 3, 5DC = 6,BD = 8.在 RtBCE 中，BC=10, /BCE=30°,BE=5.在 RtBDF 中，Z BDF=Z BCE = 30°, BD = 8,DF = BD - c

14、os30= 4 >/3.在 RtABEF 中，/ BEF = Z BCD,即 cos/BEF = cos/ BCD = 3, 5.EF=BE cos BEF = 3,DE = EF + DF=3+4 市.11. 14a2 12.1713. 6 解析由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于ABC的面积的一1 一一.半.因为 BD=2BC=2, ADXBC, tanZABC=3,所以 AD = 6,所以 ABC 的面积为 12,所以阴影部分的面积为6.114. 90 解析由题意得 sinA = 2 tanB = #,所以/ A=30 , / B= 60 ,所以/ C 的度数是90

15、6; .15. 243 解析延长QP交AB于点F.四边形ABCD是正方形， PCD和4QCD是以CD为边的等边三角形，四边形PCQD是菱形.设正方形ABCD的边长为a,则可得PE=QE = *3a, DE = EC=ga, FB = ga,1FB2a .tan/ PQB=FB=- = 2-J3FQ 31a + -a16. 5 解析设直线y=x+ b(b>0)与x轴交于点C,易得C(-b, 0), B(0, b), 所以OC = OB, 所以/ BCO=45° .又因为a= 75°,所以/ BAO =30° .因为OA=53,所以OB = 5,所以b=5.1

16、17418.解：如图，过点 A作ADLBC于点D.在 RtAABD 中，/ B = 45°,AD- SinB= z-, AB'AD = AB - siB=4Xsin45 = 4><乎=2 ®BD = AD = 2 小.在 RtAADC 中，AC =6,由勾股定理，得 DC=#ACBD = OB OD = 1 华2，. AB=4AD2+ BD2 =yl (冬2+ (1乎)2=2-V2.AC是。O的直径，/ABC=90°, AC=2,AD2 =62- (2 72) 2 =2 币, . BC= BD + DC = 2 卡+2 ",入 AD

17、2_k2, 141 anC=DC=2 币=7 .19 .解：如图，过点 A作AD, OB于点D.在 RtAAOD 中，/ AOB=45°, “r 22.OD= AD =OA - cos45=玄，.市=瞿=与豆AC 2-20 .解：如图，过点 B作BFLAE于点F, 贝U BF= DE.在 RtABF 中，sinZ BAF= , AB一3则 BF= AB - sin BAF10X-=6(m).5在 RtACDB 中，tan/CBD = CD，则 CD = BD tan6* 10X = 21(m).贝U CE = DE + CD = BF + CD = 6+ 21 = 27(m).答：大

18、楼CE的高度约是27 m.21 .解：(1)二.四边形ABCD是菱形，AD / BC, ./ABC+/ BAD = 180° .又 / ABC : / BAD = 1 : 2, ，/ABC=60° . 四边形ABCD是菱形，1 ./ DBC = 2/ABC=30 , .tan/ DBC = tan30 =坐(2)证明：:四边形 ABCD是菱形， ./ BOC = 90° . BE/AC, CE/BD,/ OBE = / BOC = / OCE = 90°, 四边形OBEC是矩形.22 .解：如图所示，过点 E作ECLBD于点C, 设BC= x米.尸 G .r - . Z ABE=120°, ./ CBE=60° . 在 RtABCE 中，. / CBE=60°,一 CE 一， tan60 = B5=V3,即 CE=3x 米.CF 背水坡AF的坡度i = 1 ： 1,，CF AC . AC=(3 + x)米，CF=(1 + Wx)米， -13|x = 1,解得 x= 73+1, EC= J3x= (3 + 次)米.答：水坝原来的高度为(3+43)米.23.解：(1)AO=m, 2AOB = 30°,1.