高中数学-利用导数研究函数的单调性练习

1、高中数学-利用导数研究函数的单调性练习|JA组加础达标绯 r (州分仲。份一、选择题(每小题5分，共25分)1 .函数f(x)=x 2-2ln x的单调减区间是()A.(0,1)B.(1,+ 8)C.(- 8,1)D.(-1,1)2 2(x+ 1) (x - 1)【解析】选A.因为f ' (x)=2x- =X(x>0).所以当xC(0,1)时,f ' (x)<0,f(x)单调递减；当 x C (1,+ oo)时,f '(x)>0,f(x)单调递增.2 .函数 f(x)=1+x-sin x在(0,2 兀)上是 ()A.单调递增B.单调递减C.在(0,兀)

2、上增，在(兀，2兀)上减D.在(0,兀)上减,在(兀,2兀)上增【解析】选A.f' (x)=1 -cos x>0恒成立，所以f(x)在R上递增，在(0,2兀)上单调递增3 .已知函数f(x)=2x 3-6ax+1,a W0,则函数f(x)的单调递减区间为()A.(- oo,+ oo)B.( Q,+ oo)C.(- °°, - Q) u ( Q,+ 8)-10 -【解析】 选 D.f ' (x)=6x 2-6a=6(x 2-a), 当 a<0 时，对 xC R,有 f' (x)>0;当 a>0 时，由 f ' (x)&l

3、t;0 解得-V Q<x<'Q所以当a>0时,f(x)的单调递减区间为4 .已知函数f(x)=x 2+2cos x,若f ' (x)是f(x)的导函数，则函数f ' (x)的图象大致是 ()【解析】选A.设g(x)=f ' (x)=2x -2sin x,g ' (x)=2 -2cos x > 0,所以函数f ' (x)在R上单调递增.【变式备选】(聊城模拟)已知函数y=xf ' (x)的图象如图所示(其中f ' (x)是函数f(x)的导函数).则下 面四个图象中，y=f(x)的图象大致是()I 工【解析】所

4、以f ' (x)<0,函数递减.当x>1时,xf ' (x)>0,A.k >-1C.k> 1B.k w-1D.k w 1所以f' (x)>0,函数递增，所以当x=1时，函数取得极小值.当x<-1时,xf ' (x)<0,所以f' (x)>0,函数递增， 当-1<x<0时,xf ' (x)>0,所以f' (x)<0,函数递减，所以当x=-1时，函数取得极大值.符合条件的只有 C项. 5.若函数f(x)=ke x+x在(0,+°°)上单调递减，则

5、k的范围为 ()【解析】选B.f ' (x)=ke x+1.由题意得kex+K 0在(0,+ 8)上恒成立,1X即 kw - e ,x e（o,+ 8）.a(x - 1)在1,+ 8)上是减函数，则实数a的取值范围为(【变式备选】已知函数f(x)="+1 -in xA.a<1B.a<2C.a< 2D.a<32a n . 2 【解析】选C.由题意得:f ' (x尸(式+ 1)-X,x>0,因为f(x)在1,+ 8)上是减函数，所以(x) W0在（x + 1）2 11# 11,+ 8）上恒成立.即2aw 元 =x+X+2在1,+ 8）上恒成立

6、，又x+#+2>2、+2=4（当且仅当x=1时取等号),所以aw 2.二、填空题(每小题5分，共15分)16.函数f(x)=ln x-2x2+x的单调增区间为 1【解析】因为f(x)=ln x-2x2+x,-X2 + x+ 1所以 f ' (x)= K-x+1 =,x>0,口7.设函数f(x)= 3x3-(i+a)x 2+4ax+24a,其中常数a>1,则f(x)的单调减区间为 .【解析】f ' (x)=x 2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由 a>1 知，当 x<2 时,f ' (x)>0,故f(x)在区间(-oo,

7、2)上单调递增；当 2<x<2a 时,f ' (x)<0,故f(x)在区间(2,2a)上单调递减；当 x>2a 时,f ' (x)>0,故f(x)在区间(2a,+ 8)上单调递增.综上，当a>1时，f(x)在区间(-oo,2)和(2a,+ 8)上单调递增，在区间(2,2a)上单调递减.答案：(2,2a)132,如何解？【一题多变】右将本题改为已知函数f(x)= x -(1+a)x +4ax+24a(a C R),求f(x)的单倜区间【解析】xC R,f ' (x)=x 2-2(1+a)x+4a=(x-2a)(x-2),令 f '

8、; (x)=0,得 xi=2a,x2=2,当 2a>2,即 a>1 时，由 f ' (x)>0 得 x>2a 或 x<2;由 f ' (x)<0 得 2Vx<2a.当2a=2,即a=1时,f ' (x) >0恒成立；当 2a<2,即 a<1 时，由 f ' (x)>0 得 x>2 或 x<2a;由 f ' (x)<0 得 2a<x<2.综上所述，当a>1时，增区间为(2a,+ 8),(- oo,2)；减区间为(2,2a).当a=1时，增区间为(-oo,+

9、 oo),无减区间.当a<1时，增区间为(-8,2a),(2,+叼,减区间为(2a,2).8.( 秦皇岛模拟)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,a 丰 0.若函数 h(x)=f(x)-g(x)在1,4上单调递减，则a的取值范围为【解析】h(x)=ln x-2ax2-2x,x C (0,+ 8),所以h' (x)= X-ax-2.因为h(x)在1,4上单调递减，1所以当 x 1,4时,h ' (x)= X-ax-2 w 0 恒成立，1 2即a >戈'恒成立,12 一令 G(x)= X - X,则 a > G(x) max,卜1)2而 G

10、(x)= 1-1.0我”因为xe1,4,所以XeL9，所以 G(x) ma=- 16(此时 x=4),所以 a>-16答案I三、解答题(每小题10分，共20分)Inx + k处的切线与x轴平9.已知函数f(x)= G (k为常数，e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)行.求k的值.(2)求f(x)的单调区间1- -Inx - k x【解析】(1)由题意得f' (x)=/-勺又 f ' (1)=0,故 k=1.1p - Inx - 1xx(2)由知,f ' (x)=C.设 h(x)=I 斗ln x-1(x>0),则h'(x)=-+8)

11、上是减函数由 h(1)=0 知，当 0<x<1 时,h(x)>0,从而 f ' (x)>0;当 x>1 时,h(x)<0,从而 f ' (x)<0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+ 8).10.设函数 f(x)= 3mxi+(4+m)x2,g(x)=aln (x-1), 其中 aw0.a,求m的值.(1)若函数y=g(x)的图象恒过定点 P,且点P关于直线x=2对称的点在y=f(x)的图象上(2)当 a=8 时，设 F(x)=f ' (x)+g(x+1),讨论 F(x)的单调性.【解析】(1)

12、令In (x-1)=0, 则x=2,即函数y=g(x)的图象恒过定点 P(2,0),3所以点p关于直线x=2对称的点为(1,0),又点(1,0)在y=f(x)的图象上，1所以,m+4+m=0所以m=-3.(2)因为 F(x)=mx2+2(4+m)x+8In x, 且定义域为(0,+ °°).8所以 F' (x)=2mx+(8+2m)+ r2mx2 + (8 + 2m) % + 8(2mx + 8) (x + 1)=丫.因为x>0,所以x+1>0.当m> 0时,F' (x)>0,此时F(x)在(0,+ 8)上为增函数14当 m<0

13、时，由 F' (x)>0 得 0<x<-m,4由 f'(x)<o 得 x>-m,(0,一)所以F(x)在啊上单调递增,在 m/上单调递减.综上，当m> 0时,F(x)在(0,+ 8)上为增函数；/41/4(0, ( ，+ 8当m<0时,F(x)在'mJ上单调递增，在1 7n/上单调递减.Ub组一雎提升糠<(2论仲4(1分)11 .(5分)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f ' (x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e

14、)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)【解析】选 C.依题意得，当 xC (- oo,c)时,f '(x)>0;当 xC (c,e)时,f ' (x)<0;当 xC(e,+ 8)时,f '(x)>0. 因此，函数f(x)在(-8©上单调递增，在(c,e)上单调递减，在(e,+ 8)上单调递增，又因为a<b<c,所以 f(c)>f(b)>f(a).(,口【变式备选】已知函数f(x)满足f(x)=f(兀-x),且当xel 2 2/时,f(x)=e /所x,则 ()A.f(

15、1)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(3)<fC.f(3)<f(2)<f(1)D.f(3)<f(1)<f(2)【解析】选D.由f(x)=f(兀-x)得函数f(x)的图象关于x=2对称.由f(x)=x me+sin x得函数在卜 乙 乙，上单调递增，由f(x)=f(兀-x)得,f(2)=f(兀-2),舞)f(3)=f(兀-3),又1,兀-2,兀-3均属于 上上人所以f(兀-2)>f(1)>f( 兀-3), 所以 f(2)>f>f(3).2 .(5分)已知a>0,函数f(x)=(x 2-2ax)e x,若f(x)在-

16、1,1上单调递减，则a的取值范围是()【解析】 选 C.f' (x)=(2x -2a)e x+(x2-2ax)e x=x2+(2-2a)x-2aex,由题意知当 xC -1,1时,f ' (x) w 0 恒成立，即 x2+(2-2a)x-2a & 0 恒成立.令 g(x)=x 2+(2-2a)x-2a,3>4(g( - D <0. 则有I gw o,f( - 1)2 + (2 - 2ci) ( - 1) - 2a <0, 即1+2 2a - 2a < 0,解得 a3x3 .(5分)已知函数f(x)= Q-2x2+ln x(a>0).若函数f

17、(x)在1,2上为单调函数，则a的取值范围是 3 13131【解析】f ' (x)= Q-4x+ X,若函数 f(x)在1,2上为单调函数，则 f ' (x)= Q-4x+X >0或 f ' (x)= "-4x+K <0在1,2上恒成立上恒成立.，则h(x)在1,2上单调递增，令 h(x)=4x-2又 a>0,所以 0<aw 5或 a>l.k 2i)答案：l5Jui,+ 8)1 - ci)4 .(12分)(兰州模拟)已知函数f(x)=ln x-ax+ 汇 -1(a C R).当0<aN时，讨论f(x)的单调性.1一 a【解析

18、】因为f(x)=ln x-ax+ X -1,所以f ' (x)=a+,x e(o,+ 8),1令f'(x)=0,可得两根分别为1,Q-1,因为 0<a<2,所以 Q-1>1>0,当xC(0,1)时,f ' (x)<0,函数f(x)单调递减；f 11 , - - 1当xC I Q/时,f ' (x)>0,函数f(x)单调递增；2 . 1, + g)当xe/时,f '(x)<o,函数f(x)单调递减.5 .(13 分)已知函数 f(x)=ln x,g(x)= (1)若f(x)与g(x)在x=1处相切，求g(x)的表达式.m(x - 1)(2)若()(x)=* + 1-f(x)在1,+ 8)上是减函数，求实数m的取值范围I【解析】(1)由已知得f ' (x)= X,I所以