(完整版)向量知识点总结

1、向量知识点总结一、教学要求：1 .理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共 线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共 线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义， 了解用 向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法 向量、向量在平面内的射影等概念。2 .理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运 算及两点间的距离公式。3 .掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、知识用讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算1 .有关概念（1）向量既有大小又有方向的量叫做向

2、量。常用有向线段表示向量向量二要素方向长度10（2）向量的模一有向线段的长度| AB|, | a |长度等于1的向量叫做单位向量,ao零向量0 （ 0的方向不定），| 0| 0（3）共线向量（平行向量）一一方向相同或相反的向量叫做平行向量或共 线向量。（4）相等的向量长度相等方向相同a b规定：00向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。规定：零向量与任一向量平行。2 .向量有三种形式（或三种表示）几何表示几何运算代数表示代数运算坐标表小坐标运算向量的加法、减法与数乘(1)向量的加法一一三角形法则或平行四边形法则 如图：向量加法的多边形法则如图，求a b c(2)向量的减法:即向量a加上b的相

3、反向量。b的箭头指向被减向量)(3)实数与向量的乘积长度|a| | |a|方向:0时与a同向0时与a反向a II a0时,b / a （ a 0 ） 存在唯一实数，使b4 .向量的运算法则（加、减、数乘）设向量a , b , c及实数,，则： a b b a（a b） c a （ b c）（）aaa（a b ）ab I a | | | | a |I a | | b | | a b | | a | | b |（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。）5 .平面向量基本定理（向量的分解定理）e1 , e2是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量a ,存

4、在唯一实数对1, 2,使得a 1 e2e2 。（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯 对向量的和。1 e2 e2叫做向量e1 , e2的线性组合，e1 , e2叫做表这一平面内所有向量的一组基底。基底不唯一，关键是不共线基底给定，分解形式唯一应用：设OA, OB不共线，点P在直线AB上（即A、B、P三点共线）OP OA OB 且 1(,R)（二）向量的坐标运算底，则该平面内向量a ,有且只有一对实数 x,称（x, y）叫做问量a的（直角）坐标，记作 a 示。（如图，当把向量 a的起点移至原点时，（x,坐标，即Ax, y , x, y是向量a在x, y轴上的射影, 也相同

5、。）T /H !0 T L-2,向量的坐标运算已知 a （x1，y1）， b （x2, 丫2）,R则：（1） a b （xi i yi j ） （x2 i y2 j ）xi x2 iyi y2 jxi x2，yi y20（2） a bxi x2, yi y2 ,设Ax1，y1，BA a bx1 x2, y1 y2/22|AB| x xi x2yi yy,使得 a x i y j ,（x, y）,即为向量的坐标表y）是向量a OA终点A的与 a相等的向量的坐标B 义2，丫21.在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴同方向的两个单位向量i , j作为基(3)axi, yiXi, yi(三)平面向量的

6、数量积1 .数量积的概念设向量OA a , OB b , Z AOB 叫做向量 a与b的夹角。记作a , b ,0 a , b 180(1)数量| a | | b |cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a即 a , b | a | . | b |cos(2)数量积的几何意义:ab (X2，y2),则X2, y2 X1X2 yya , e ，贝1J e a b 0 X1 x2 y1 y2, b |a|b| 或 a.ba - e | a | - cos01aI . lbla b等于a的模| a |与b在a的方向上的射影| b |cos的乘积。2 .数量积的运算法则(1) a - b b -

7、a , a - 0 0 a(2) ( a) - b ( a b ) a - ( b)(3) (a b) - c a - c b - c 注意：数量积不满足结合律！(ab)c a(bc)(4) a (x1，y1)，a - b x1, y1 3 .重要性质(1)设e是单位向量，(2) a X ba(3) a / bab ( b 0)( 唯一确定)Xi,yix2， y2xi y2x2y12(4) ax2 ,xy2，(5) cosI a I I b I（四）定比分点与平移i.线段的定比分点设Pi x1，y1，P2 %2,、2P x,，设R , P2是l上两点，P点在l上目不同于P1、p2,若存在一实数