二项式定理的高考常见题型及解题对策

1、题型一：求二项展开式1. “(a b)n 型的展开式例1.求(3%及 二)4的展开式；x解：原式4,3x 1.4 (3x 1)104132234=()=12=yC4(3x) C4(3x) C4(3x)C4(3x) C414322121=(81x4 84x3 54x2 12x 1) =81 x2 84x 54 xx x小结：这类题目一般为容易题目,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简在展开的思想在高考题目中会有表达的.2. “(a b)n型的展开式 例2.求(3或 ：)4的展开式;.x分析：解决此题,只需要把(3<x -)4改写成3Vx ( )4的形式然后根据二.xx项展开式

2、的格式展开即可.此题主要考察了学生的“问题转化水平.3. 二项式展开式的“逆用例3.计算 1 3Cn 9C2 27Cn . ( 1)n3n c：；解：原式=仪 Cn(3)1C2(3)2 C：( 3)3. C：( 3)n (1 3)n ( 2)n小结：公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质.题型二：求二项展开式的特定项1 .求指定幕的系数或二项式系数(1)求单一二项式指定塞的系数1 C例4. (03全国)(x2 )9展开式中x9的系数是 2xTc(x2 9 r 10 r-C18 2r 1 r J r-cr 1 r18 3xx212lr 1 C9(x ) ( 2x) =C9

3、x ( 2) (J =C9( 2)931令18 3x 9,那么r 3,从而可以得到x的系数为：C9( )例5. (02全国)(x1 胃)的展开式的中间项; 1)( x 2)7的展开式中,X X项的系数是 ;.3解：在展开式中,X的来源有：266 第一个因式中取出X2,那么第二个因式必出 X,其系数为 C7( 2)6;3.一 , .44 第一个因式中取出1,那么第二个因式中必出 x ,其系数为 C7( 2)36_ 6X3的系数应为： C7( 2)6 C7( 2)4 1008,填 1008.(3)求可化为二项式的三项展开式中指定哥的系数13 .例6. (04安徽改编)(x 2)的展开式中,常数项是

4、；X1 c3 r(X 1)2 3 (X 1)6解：(x - 2)-3 一XXX333X3( 1)3 r上述式子展开后常数项只有一项C6 :,即 203X本小题主要考查把“三项式的问题通过转化变型后,用二项式定理的知识解 决,考查了变型与转化的数学思想.2.求中间项例7.(00京改编)求(Jx解:Tr 1CM'X)101 )r3.x),展开式的中间项为C；°(防5(右)5即:5252x6.n为奇数时,(ab)n的展开式的中间项是Cn 1 n 1 n 1 不 aTb nn n 2n 1 n 1 n 1和 Cn2 a 2 b 2 ；n为偶数时,(ab)n的展开式的中间项是 C初2b

5、2 °3.求有理项例8.(00京改编)求110 一一一 ,(Vx 犷)的展开式中有理项共有. X项;解:4r3r1r10T1.(5)(汲)rC10( 1)rx当r 0,3,6,9时,所对应的项是有理项.故展开式中有理项有4项. 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式.4.求系数最大或最小项(1) 特殊的系数最大或最小问题例9. (00上海)在二项式(x 1)11的展开式中,系数最小的项的系数是5,从解：1 C；X11r( 1)r要使项的系数最小,那么 r必为奇数,且使 C；1

6、为最大,由此得r而可知最小项的系数为 c：( 1)5462(2) 一般的系数最大或最小问题例10 .求“X1 )8 24x)展开式中系数最大的项;解：记第r项系数为Tr ,设第k项系数最大,那么有1 k,2 k又TrC.2 r 1,那么有kC8 C8k 1.2k 2C8 ,2C8,28!8!(k 1)!.(9 K)! (K 2)!.(10 K)!8!8!2 (K 1)!.(9 K)!K!(8 K)!12K 1 K 22J9 KK7x2 和第 4 项T4 7x2.解得3 k 4,系数最大的项为第 3项t3a2a4aa3型来处理,二项式1, 1,0 特例11.在(x y)7的展开式中,系数绝对值最

7、大项是 解：求系数绝对最大问题都可以将" (a b)n"型转化为"(a b) 故此答案为第4项c；x3y4,和第5项 c7x2y5.题型三：利用“赋值法及二项式性质 3求局部项系数, 系数和例 12. 99 全国假设2x <34a0 a1x a2x2a3x3 a4x4,22 ,那么a. a2a4a1a3的值为 ；解： 2x34a0a1x a2x2a3x3a4x4令 x 1,有2 %/3a. a1 a2 a3 a4,4令 x 1,有2 43 a. a2 a4a1 a3故原式=a. a1 a2 a3 a4.a.=2 、34. 2,344=11坛/ c / c 4

8、 -、/七、-. c 20042ccc 32004例 13. 04天津右1 2xa0 a1x a2x . 2004x,那么a0a1 a0a2. a0a2004 ；解： 1 2x2004 a0 a1x a2x2 . 2004x2004, 2004令 x1,有12a°a1a2. a20041令 x0,有10 2004a01故原式= a0 a1 a2 . a 2004 2003a0=1 2003 2004在用“赋值法求值时,要找准待求代数式与条件的联系,一般而言:殊值在解题过程中考虑的比拟多.例 14.设(2x 1)6 a6x6 a5x5 . ax a0,贝U a0aia2 . aQ ;分

9、析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋 值法求的化简后的代数式的值.解：TriC；(2x)6 r(1)ra.aia2.a6%aa2a3a4a5a6= (a0 a2 a4 a6 ) (aia3a5)=0题型四：利用二项式定理求近似值例15.求0.9986的近似值,使误差小于 0.001 ;分析：由于0.9986 = (1 0.002)6,故可以用二项式定理展开计算.解：0.9986 =(1 0.002)6 = 1 6.( 0.002)1 15.( 0.002)2 . ( 0.002)6 222T3 C6.( 0.002)15 ( 0.002)0.00006 0.

10、001,且第3项以后的绝对值都小于 0.001 ,从第3项起,以后的项都可以忽略不计.0.9986=(1 0.002)61 6 ( 0.002) =1 0.012 0.988-12 cn小结：由(1 x) 1 Cn x Cn x. Cn x ,当x的绝对值与1相比很小且n很大时,x2,x3,.xn等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此可以用近似计算公式：(1 x)n 1 nx,在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,假设精确度要求较高,那么可以使用更精确的公n . n(n 1) 2式：(1 x) 1 nx 一Lx.利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目,但是根据新课标要求,对高中学生的计算水平是有一定的要求,其中比拟重要的一个水平就是估算水平.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值.题型五：利用二项式定理证实整除问题求证：5151 1能被7整除.证实： 5151 1=(49 2)51 10 一 511- 50 _2_ 49 _ 250 _ _5051 _ 51= C,9C51-4950.2 C51.4949.22 . C51.49.250 051.251 151=49P+21 ( P N )八513、1717又 21 (2 )1= (7+1)1_