二次根式知识点总结及常见题型

1、二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如八(a 20)的式子叫做二次根式.其中“ V 一 ”叫做二次根号，/叫做被开方 数.(1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围；(2)判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断：是否含有二次根号“ y/ 一 ” ；被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.(3)形如小4的式子也是二次根式，其中“，叫做二次根式的系数,它表示的是:(4)根据二次根式有意义的条件,若二次根式乒方与相彳都有意义,则有A = B.二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：(1)双重非负

2、性：石20, “ 20；(主要用于字母的求值)(2)回归性：(八丫=。(“2();(主要用于二次根式的计算)(3)转化性：，产=同="("：° .(主要用于二次根式的化简)a(a < 0)重要结论:(I)若几个非负数的和为。，则每个非负数分别等于0.若圄+炉 +痣=0,则 A = O,3 = O,C = O.应用与书写规范：V A + B2+4c=0t|川。0,片0, Vc >0，A = O,B = O,C = O.该性质常与配方法结合求字母的值.(2)向F引i弋二Z累；主要用于二次根式的化简l |a/A2 B(A>0)(3) A>lB=,

3、_I-Ja2 B(A<0)该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简：可以考虑把二次根号外面的系数根据符 号以平方的形式移到根号内，以达到化简的目的.(4)(A7万=4.3,其中 5 20.该结论主要用于二次根式的计算.例】.式子看在实数范围内有意义，则X的取值范围是分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数，注意分母不能为0.解油二次根式有意义的条件可知例2.若孤），为实数，且y =+ 1化简:匕分析:本题考查二次根式有意义的条件，且有重要结论:若二次根式斥石与历了都有意义，则有A = 3.且=山=一1 y - 1 y -1习题1.如果历不有意义,则实数a的取值范围是习题 2

4、.若），=4!=W +二7 + 2,贝IJ"=习题3.要使代数式旧与有意义，则x的最大值是习题4.若函数y=W，则自变量x的取值范围是 x例3.若+ /4 + 4 = 0,贝lj的值等于(A) -2(B) 0(C) 1(D) 2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为。，则每个非负数分别等于 0.解:=F + /Z -4 + 4 = 0 VT +(-2f =0V V70,(/?-2)20/.。- 1 = 0力2 = 0I：. ci = L/? = 2"=1x2 = 2.选择【D 】.例4.无论A取任何实数,代数式6x + m都有意义，则的取值范围是.分析:

5、无论八取任何实数，代数式42-6%+ ,都有意义，即被开方数Y-6x + ?20恒成 立，所以有如下两种解法：解法一:由题意可知：/ -6x +机20*.* x2 6x + m = (x 3)' + m-9 20:.(工-329-加"-206 29.解法二:设 y = a 2 - 6x + m:无论X取任何实数,代数式&-6X + 7都有意义:.y = x' -6x4- m 20 恒成立即抛物线V = - - 6x + m与x轴最多有一个交点:.A = (- 6)' 4m = 36 - 4m 近0)解之得:m 29.例5.已知4也c是 ABC的三边长，

6、并且满足，7元+ |8 - H + T+100 = 20°,试判断ABC的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值.解:，/-6 + |8-| + 02 +100 = 20c/. V6/-6+|/?-8| + c2 -20c + 100 = 0 ，/-6 + »-8| + (10)2 =0y/a-6 20,-8| 20,(c -1020二。一6 = 0力-8 = 0,10 = 0:.a = 6,Z? = 8,c = 10V a2 +b2 =62 +8? =100./ =1()2 =100/. a2 +b2 =c2ABC为直角三角形.习题6.已知实数满足卜-4|

7、+石二 =。，则以KN的值为两边长的等腰三角形的周长为(A) 20 或 16(B) 20(C) 16(D)以上答案均不对习题7.当x =时,y/9x + i + 1取得最小值,这个最小值为.J X2 4 + a/4 X1习题&已知y =" ，则X的值为.A-2习题9.已知非零实数ab满足b8d + 16 +|/;-3| +5XH) + 4 = q,求的值.提示：由(“ - 5)(/ + 1) 20,且/+ 1 >0可得：。-5 20, :. a 25.例6.计算:(1)(V6)2;(2) (Vl+3)2;(3)分析:本题考查二次根式的性摩：（、石（，20）.该性质主要用

8、于二次根式的计算.解：卜后丫 =6；(2) (VzTf3)2=2x + 3;=（一3）葭阊=9亭6注意：（Av）2 = A? I,其中3 20.该结论主要用于二次根式的计算.例7.化简:(1) V257;(2)；(3) Vx2-6x + 9 (x<3).分析:本题考查二次根式的性质："=同=J"“ ,.该性质主要用于二次根式的化简.解：(D V25? = |25| = 25；(3) >lx2 -6a+9 =7(x-3)2 =|x-3|V a <3原式= 3 - x.注意：结论：= 一:该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例&当有意义时，化简：k

9、+ 5| + J(x 2( +J(1.1解二二次根式4二万有意义Aa-30:.X 23A |x + 5| + J(1 -1,= |x + 5| + |x-2| + |l-x|=x+5+x-2+x-l= 3x + 2例9.化简：(石二杰f.分析：而守=卜-2|,继续化简需要x的取值范围，而取值范围的获得需要挖掘题目本身 的隐含条件：V7-3的被开方数工-3为非负数.解:由二次根式有意义的条件可知:20=x - 3 + |x - 2| =x-3+x-2= 2x-5例10.已知。<Q<1,化简/ +，+ 2 -)“ +，-2 二 解:a + + 2 + -2J(-时J-l-ds忑 1 后

10、一 - 一+jlgjl&jlg后 + + + 一。后 L52V, 一一 = =2XIHJ/1忑图例11.已知直线y = (j-3)x +一2 (八是常数),如图(1)，化简|l|-4 + 4-.解:由函数y = (m - 3).r + ?- 2的图象可知：加一3>0,一 2<0:.m>3,n<2/. m - | - yin2 -4/7 + 4 -m -1| =- /z| - J( - 2)，- m -1| =m - 7z| - n -2|-17? - 1| =m - 一(2 - )一 (m - 1) =m-n-2 + n-m + 1=-l例12.已知。力,c在数

11、轴上的位置如图(2)所示，化简:同一Jg + c)2-后.图(2)解:由数轴可知:C < 4 V 0 V Z?:.a + c<0；同+ C)- + J(c _4 )- - yfb=-a - a + c| + 卜-6/1 - |Z?|=-a + a + c + a - c -h=a - b习题10.要使J(x-2 =(VT及/的取值范围是 习题11.若W7 + a =。则的取值范围是 习题12.计算：(收)=12习题13.计算：一:&=.习题14.若Ja 3)2 =工一3成立测X的取值范围是一习题15.下列等式正确的是(A)=3(B) 7(-3)2 =-3(C)疔=3(D)(

12、一=_3习题16.下列各式成立的是(A)<"2;(B)(乃3)2 =3 %(D) 6 +4、=7习题17.计算：(一2"丫 = 习题i&化简：(C?+VF= 习题 19.若府二石，f + +2A + l=O,贝IJM+J网=习题20.已知一 1V4V0,化简+r4)+ 4得.习题2L实数在数轴上对应的点如图(3)所示,化简代数式:yla2 - 2a+ + b-c| - ia2 - 2ab+b2 的结果为(A) 2b c l(D) b-c + (C) 2n-c-l图(3)习题22.化简:-4x +1 -.例13.把上中根号外的因式移到根号内，结果是(A) J-a

13、(B) - yci(C) yci(D) 7 - a分析:本题实为二次根式的化简：某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内，可以 达到化简的目的，但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论： J/V 3(A>0)a4b= _L，其中3川.-yJA2 B(A<0)解:由二次根式有意义的条件可知：-10 a：.a<0:."J = -J"? .选择【D 】.习题23.化简(2 - n)J二得. a-2三、二次根式的乘法一般地，有:ya . yb = Jcib （a 20,。20）(1)以上便是二次根式的乘法公式，注意公式成立的条件：“20, b 20.即参与乘

14、法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数；(2)二次根式的乘法公式用于二次根式的计算；(3)两个带系数的二次根式的乘法为：，6-布=小'而( 20,0 20)；(4)二次根式的乘法公式可逆用，即有：yfab = Ja - 4b (a 20,。20)公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例 14.若 4 - -7a-6 = ylx(x-6)成立，则(A) x26(B) 0WxW6(C)(D) x为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件：口巫=、江(“ 20,。20)解:由题意可得:卜八x-6>0解之得:工26.选择【A】例15.若vF-i = V7TT

15、 GT成立厕%的取值范围是分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件：府=口现（，20/20）解:由题意可得/x+l>0x-l>0例16.计算:(。20).解：五?.2a=-a20).2fl-a (2习题24.计算出x后二（ 7TX_习题25.已知m=一二 x（2历）,则有(A) 5<m<6(C) -5<n/<-4(B) 4<?<5(D) 一6<7<5习题26.化简V12的结果是.四、二次根式的除法一般地，有:Ca 20,>0)（1）以上便是二次根式的除法公式，要特别注意公式成立的条件;二次根式的除法公式用于二次根式的计算;(

16、3)二次根式的除法公式可写为：八一孤二工工 （20力0）；(4)二次根式的除法公式可逆用,即有:公式的逆用主要用于二次根式的化简，注意公式逆用的条件不变.五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式:（1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式;（2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程，叫做分母有理化.如对进行分母有理化，过程为:141 行浒 1进行分母有理化，过程为 1 一 3-、£3-、笈为：及;=（3 +后）（3_后丁-注意:随着学习的深入，在熟练时某些计算或化简的环节可以省略，以简化计算.例及

17、式子言二昌成立的条件是分析:本题求解的是X的取值范围，考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:（</ 20步0）.a- + 1 > 0解:由题意可得:，八 x - 2 > 0解之得:x>2.例20.计算：,1、0 万 八、V2O-1 小病-、&痴- 1 痴 1 c 石FTFLk'解法】：与色警冬后" = "2 = 2.解法2:例21.计算：(1)7H国-2同;解：(1)原式=同乂：5 2=r("iH30xl=x J16x24="-x4x V24 = -372(2)原式=、保乂 18=存习题27.下列计算正确的是(A)

18、 V12 =273(C) J- / =xd- x习题2&计算:后x&J=_习题29.计算:4向(2)瓦一回x岛.图2X 一5= 272.<B>整孚(D) E =x二次根式的乘除混合运算习题30.直线），=怎-1与x轴的交点坐标是.习题31.如果川0,。+力<0,那么下面各式:其中正确的是 （填序号）.习题32.若H?<0,则化简麻的结果是，习题33.计算：例2Z先化简,再求值:巾三产,其中、=五一21 X2 +4x + 4解:7+1 +； x + 3(冗+1心-1) x +1=-.A +1 x+1(x+ 2)2_(x + 2)(x-2)x+1-x+1 (

19、x + 2>x-2"-7+2当工=四一2时原式=_v12-2-2=_-4=2%/2-2 + 2 V2习题34.先化简，再求值:告-忐丁若，其中"尤+ L习题35.先化简，再求值:一1卜：7淇中户J=阮习题36.下列根式中是最简二次根式的是(B)也(C)加(D) yjn例23.观察下列各式：1 _1-6_ 6 八TT72(1 + V2)(1-V2)""，'1_丘-6_ B.V27V3 也+6口-，I_ /7历京万一郎+石曲-何一'(1)请利用上面的规律直接写出1V99+V100的结果;(2)请用含(为正整数)的代数式表示上述规律，并证明;计算:(占+春+号M+而卜("丽)