(完整版)中职数学平面向量教案

1、复习引入：新授：1.向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量.记为向量 a,b,c,等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如,：£等.如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量.， ， 口 人，B，-、 ，3 P P P向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模.记为|a|,|b|,|c|,或|a |,|b|,|c|,.特别地，若一个向量的模为单位1,则叫做单位向量，单60,则叫做零向量，零向量总是记作 0.零向量的长度为 0,且 定的.为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向

2、，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小).有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2),此时可以以 AB,CD：B1C；等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB |,|CD |,|B1C1 |.由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表 示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的.为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量.例1设矩形ABCD的边长为2和3,其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的 模是多少？e.若一个向量的模为零向量a/0的方向是可以任意确b图 7-2(1)课内练习11. 一个正六边形的所有

3、边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为 1,求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量?2.向量的比较(1)向量相等任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等 (a = b)或不相等(a#)两种，只要根据两个 数的大小就可以下结论. 因为向量不但有大小， 而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否， 不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向.当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b;否则a , b就不相等(a#b).在例1中的相等向量有且仅有AB = DC , BA = CD , BC = AD , OB'

4、= DA ,更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小.当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较 大小的.即使两个向量 a,b有相同的方向，且|a|>|b|,我们仍然只能说向量 a的模大于向量b的 模，而不能说向量 a大于向量b .若a = b,则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短 线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量 或同一向量.例2物体从点A出发位移，第一次沿水

5、平线位移到B,位移量为3;然后继续沿铅直方向向下位移到C ,位移量为4.(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；(2)在A的铅直下方4处标注点D,能否说第二次位移的位移向量是AD ?为什么？(2)相反向量对数量，若两个数 a,b的绝对值相等但符号相反，则把 a,b叫做一对相反数.对向量，若 两 个向量a , b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b.对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即 AB =-BA .例如在例1所有的向量中，共有如 下六对相反向量：AB =- BA , BC =-CB , DC =-CD , DA =- AD

6、 , AC =-, CA , BD =-DB .例3对仞2的问题，若记第一次位移向量为 a,第二次位移向量为 b,现继续作第三、四 次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D,第四此则从 D返回A.试以a, b表示第三、四次位移.（3）平行向量若两个向量a , b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量 a平行 于向量b或向量b平行于向量a .规定零向量平行于任意向量.根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上（即a的始终点都在l上），则只要平移a的平行向量b, b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做 共线向量.例4找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关

7、系.课内练习21 .课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量?2 .作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？ F FFi3 .以F,Fi都表 示方向向上、大小为 10N的力，考察把F作用在 物体W的左上角和Fi作用在物体 W的右上角两种情况（如附图），物 体受力后的移动情况肯定不同，这与F = Fi的结论矛盾吗？试作出合理第3题图的解释.复习引入:新授:(1)向量的加法运算向量加法运算的法则.的始点移到a的终点向量a加向量b的结果a+b是按照下列法则生成的一个向量c：把后、从a的始点连到b的终点.记作c=a+b.bcc9-9(1)baa图9-9图 9-

8、9(2)bca9-10(1)9-10(2)9-10(3)c9-10(2)ac=a + b9-dcb逐次应用向量加法的法则fad移加向量的始点到被加向量的终点c(见图 9-10(3)行四边形，对角线向量即为和向量(1)按平行四边形法则，把的始法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连.第三边向量(三角形法则，见图9-9(2).对于三角形始点连向b的终点的向量即为和向量(2)若a , b平行的和向量c其指向与a , b同侧(平行四边形法则4用两种方法作出图 9-10(1)中向量a,bc a12,求 f=a +b+c+d6 已知向量a , b, c, d如图5 若 b=-a ,求 c=a + ba , b为

9、邻边组成的平行四边形的对角线向量a , b不平行的，f#况下，c是重合a, bab c叫做和向量.c与数量相加一样，把 a叫做被加向量，b叫做加向量,图 9-12被加向量的始点连向加向量的终点，得到和向量f如图9-12所示，其中虚线表示的向量，从左向右依次是a+b, a+b+c.课内练习31 .请举一个向量相加的实际问题.2 .向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？3 . a+(-a)=0,因此|a |+|-a|=0,这个结论正确吗？ 一般地，c = a+b ,因此|c|=|a|+|b|,这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？BA4 .矩形ABCD如

10、图，试求AB+bC,BC + AB,BA +BC ,BA +CB*DI C得到的和向量之间有哪些关系？第4题图5 .矩形ABCD如第4题，求(AB + BC )+CD , AB +( BC +CD ), AB + BC + DC ,BA +BC +DA .得到的和向量之间有哪些关系？数量加法运算?足交换律(a + b = b+a)、结合律(a + b + c=(a+b)+c=a+(b+c),向量的加法运算同样满足交换律和结合律a + b=b+a , a +b + c=(a +b)+c=a +(b+c),(2)向量的减法运算a与加数b的相反数-b相加一样，所谓向量a , b相减a-b,如同数量a

11、,b相减a-b ,是被加数 实际上是向量a与向量b的相反向量法运算的法则.图 9-13(1)中是已知向量 a,b;图9-13(2)显示了 a+(-b);图 9-13(2)显示了a-b的直接运算法则，法则的文字表述是：a-b的结果是一个向量 c,把a,b的始点移到同一点，从b的终点连向a的终点的向量就是 c(三角形法则)对于三角形法 则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减.记作 c=a-b. a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量.例7在MBC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量.为了使CA,是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？例8 在MBC中，若

12、边向量为 AB ,AC ,BC ,求(1)a=AB+BC. + AC; (2)求 buAB-BC-Ac”.课内练习41 .在MBC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量.为了使AB一是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？2 .在矩形ABCD中的边向量为 AB ,BC ,CD ,求(1)a=AB-BC ; (2)b= BC-AB ; (3)c=CD-BC ; (4)d = AB - bC - CD .因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这 样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如a - b=-b + a)

13、 a - b-c = a- c-b = a- (b+c).(3)向量的数乘运算在数量运算中，若 a=2, b是a的两倍，则b=2a.在例8向量运算中，我们两次都遇到a = AC+AC,b = CB + CB这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2 AC ,b=2 CB”呢？这完全取决与如何规定2AC，2CB.的含义，若规定它们的含义确实与 AC +AC ,CB，+CB ,相同，那么这种简写就完全合法且合理了.为此我们作如下的定义：一个实数口乘以向量a的结果是一个平行于 a的向量b, b的模是a的模|a|倍，即|b|二l冈忸 I；b的方向当a>。时与a的方向相同，当a<0时

14、与a的方向相反.记作b = aa 或 b = S ,把向量的这种运算叫做向量的数乘运算.根据向量数乘运算的这种规定，立即可知-a =-1 a ? a +a =2 a , -a -a =-2a .把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配 律：(o(+P)a =aa + 值，a (a+b)=aa +ab,其中u串是任意实数，a , b是任意向量.根据向量的数乘运算，我们有：如果有一个实数u,使b=cta (aw。)，则a与b是平行向量； 反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数使b=ota (aw。).例 8 设 c=-2a , d =-3a, f=-2

15、b, g=a -2b,求 h =2a +3f- 3d +4g+2b-2c.解 h =2a+3f-3d +4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a )=2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a =(2+9+4+4) a-( 6+8-2)b=19a -12b.例9 MBC的AC边长为a,现把AB ,BC边各延长原来的 0.8倍成为 MiBCi,求边AiCi 的长(见图9-15).课内练习51 .已知向量a ,作出向量-2a, 3a.2 .已知向量a的模为s ,求向量b=0.1 a , c=-3a , d =2.5a的模.3 .设 c=-a , d

16、=-3b, f =2b, g =-2a -b,求 h =2a- 3c + 3f- 3d - 3g -2b .4 .甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行.当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km,问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少?复习引入:图 9-18新授：1.平面向量的直角坐标(1)坐标基底向量设在平面上已经建立了一个直角坐标系xOy .方向为x轴正向的单位向量i、方向为y轴正向的单位向量j叫做该坐标系的坐标基底向量(见图9-16).(2)平面向量的直角坐标在坐标平面上Z定了向量a,平移其始点到原点后(见图7-17),设xO i图 7-16其终点A

17、的坐标为(x,y).把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 uuua = OA =(x,y).若向量a的坐标为(x,y),则其模可以用坐标表示为1a |= ,x2 - y2(7-2-1)坐标基底向量也有其坐标，分别是 i=(1,0), j=(0,1).以原点O为始点、点A在x,y轴上的投影为终点，是两个分别平行于i, j的向量，根据向量加法定义，有y | a/1ZJyja =xi+yj,(7-2-2)即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合.xiO i xi x因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a ,直接在a图 7-17上作分解(见图7-17).例如从图7-18,我们就可以直

18、接看出AB =i-2j =(1,-2).课内练习11.写出图9-18中向量OP ,EF ,CD的坐标，并求它们 的模.2.向量关系的坐标表不向量之间有相等、相反、平行 (共线)等关系.当知道了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单.(1)相等：若 a =(ai,bi),b=(a2,b2),则a = b = ai=a2, bi=b2.即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等(2)相反：若 a =(ai,bi),b=(a2,b2),则图 7-i9a =-b :二 ai=-a2, bi=-b2.即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反.(3)平行(共线)：向量a=(

19、ai,bi),b=(a2,b2)平行 u 移a ,b的始点到原点后，它们的终点 A,B与原点共线 u AOAiAsAoBiB(见图7-i9)一 a ibi-a? b2所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例例i 已知向量a=(2,-i),当x为多少时，向量 b=(x,2)与a平行?解 a/bu 2 =二！£ x=-4.所以当 x=-4 时 a/b .x 2课内练习21 .根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线：a=(2,-i), b=(-2, i), c=(-6, 3), d =(42,-2i), e=(2,-i), f=(8,-4), g =(-2,-

20、i).2 .已知向量a =(9,-4),当y为多少时，向量 b=(-i2,y)与a平行？3 .平面向量运算的直角坐标表不(7-2-2),即可得向量运算的(7-2-3)把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式 坐标表木.(i)数乘:设 a =(x,y),即 a=xi+yj, b=Xa ,则b= =:xi+y j)=，取i+少 j=(；二，Ay),即Ka = h(x,y )=( Ax,九y).即向量a数乘，后所得向量的坐标，是 a的纵、横坐标的K倍.(2)加减法：设 a =(ai,bi), b=(a2,b2),则a = aii+bij, b=a2i + b2j, a + b=(ai

21、i+bij)+(a2i+b2j)=(ai+a2)i +(bi + b2)j,即a + b=(a 1+ a2, bi+b2).同理也有 a-b=(ai-a2, bi-b2).所以向量a, b的和、差向量的坐标，等于a, b的坐标对应的和、差 (3)给定始终点的向量的坐标向量a = AB”.若已知点 A,B在坐标 A(xi,yi),B(x2,y2)(见图7-20),则 0A =(Xi, yi),OB =(X2, y2),AB = OB -OA =(x2-x1,y2-y 1).(7-2-6)所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐例 2 已知 a=(1, -2), b=(2, 3

22、),求 a +b,a -b, 2a 7b.例 3 已知 A(1,2), B(-2, 1),求 AB-,BA .解应用公式(10-2-6),AB =(-2-1,1-2)=(-3,-1) ; BA =(1-(-2),2-1)=(3,1).例4 已知平行四边形 ABCD的顶点坐标A(1,1), B(2,3),C(-1,4)(见图7-21),求顶点D点坐标.(7-2-4)(7-2-5)例5 已知A(2,3), B(-2,5)，且AB =2 AC ,求C点的坐标.例6某人第一天按图9-23所示方向、以速度 5km/h步行3小时到达A处；第二天又按图 9-23所示方向、以速度 15km/h骑了3小时自行车

23、到达 B处.问B离此人出发点的直线距离是多少？ 课内练习21 .已知 a=(T, 2), b = (2, 2),求 a+ b, a -b, a+2b .2 .已知 a =(-2+x, 4), b = (-3,-1-y),且 a =b,求 x, y . uuiruuu3 .根据下列条件求 AB与BA的坐标：(1)A(1,0), B(2,)；(2)A(q,1), B(3,1); (3)A(2,1), B(0,2); (4)A(N,4), B(4,8).4 .已知平行四边形 ABCD的A(1,0), B(2, 5), C(1, 1)，求D点坐标.uuuuuir5 .已知 A(6, 4), B(3,

24、55),且 AB= -2 AC ,求 C 点的坐标.复习引入：新授：1 .向量的数量积图 7-25(1) 平面向量所成的角给定两个非零平面向量a,b,移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a, b所成的角，记作(ab)(见图7-25);为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0MaAb)Wr.零向量0与任何向量所成的角认为可以任意.为了方便有时也把(a Ab)叫做向量之间的夹角.从向量所成角定义，立即可知(a Ab)=0仁a b (即a, b共线)；(a Ab)=冗仁a =- b (即a,b互为相反向量).特别地，当(aAb)= £ ,则我们说a与b垂直，记

25、作a_Lb.(2) 向量的数量积已知向量a , b, a , b的数量积是一个以下式定义的数量：ab=|a| b|cos( a Ab)其中(aAb)表示向量a, b之间所成的角.向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别.这种区别在运算方面的体现，是向 量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算.这是因为 向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积.例1求下列向量的数量积：(1)| a |=5,| b|=4, ( aAb)=2n,求 ab;(2) a=(3,4),|b|= - , ( aAb)=2I,求 ab;322(3) a =(3,4),

26、 b =(-3,-4)，求 a b;(4) a =(1,3)，求 a a; (5) a=0, b=(x,y)，求 a b.课内练习11.求下列向量的数量积：(1)| a |=2,| b|=8, ( a Ab)= 2 ,求 a b ; (2) a =(1,3),| b |= - , ( bAa )=,求 a b ;432(3) a=(-3,-2),b=(3,2)，求 a b; (4) a =(5,3)，求 a a; (5) a=(10,y) , b=0,求 a b.(3)向量数量积的基本运算法则根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则:交换律：a b = b a ;(1)平面向量数量积的坐

27、标表示数乘分配率：(九a)b=a (，_b)=Ma b),(任意 炉R);分配率：(a+b) c=a c+b c.例 2 设适=(3,-1), | CD'|=2, 0=( AB-aCDt)=2I ,求3(1)(2 AB) (3CD)； (2)( AB +2CD) aB ； (3)(-4 AB) ( Ab +2CD).课内练习21 .已知 |a |=4, |b|=3, a 与 b 的夹角为 5L ,求(2a W (a+2b).2 .已知 A(-1,2),B(1,4), |CD|=4, 6=( AB-aCD)=-,求 3(1) AB- (3CD); (2)(2 AB-+CD) AB'

28、; ; (3) Ab' (- Ab' +2 CD).(4)向量数量积的基本结论从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的. a _lb u a b=0;当ab且同向时，ab = |a|b|;当ab且方向相反时，a b=-|a|b|;a a =|a|2,所以 |a|= Ja a ; cos(aAb尸 a b .(7-3-2)|a| |b|最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用.例3已知|a|=4, |b|=5,分别在下列条件下求a b:(1)a/b ; (2)a_Lb.例 4 已知 |a |=2, |b|=4, a b=-6,求(aAb)的

29、余弦值.课内练习31 .已知 a/b, |a|=1, |b|=2,求 a b.2 .下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：(1)0a =0; (2)|a |=a a; (3)a b=|a|b|; (4)a b = |a b|; (5)|a b|=|a |b11cos(a>b)|;(6)(a b)(a b)=(a a)(b b)=|a|2|b|2； (7)a/b u 存在实数儿,使 a b=k|a|2;(8)(a + b) (a-b)=|a |2-|b|2； (9)(a + b) (a-b)=a2-b2.3 .已知 |a |=1, |b|=4, a b=2 V3 ,求(a

30、Ab).2.平面向量数量积的坐标表示向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化 (即求 出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积.首先考察坐标基底向量i, j的数量积，有1 i=1; i j=j i=0 ; j j=1 .(4)现设向量 a , b的坐标为a=(xi,yi), b=(x2,y2),即a =xii +y ij, b=X2i +y2j,则 a b=(xii +yij)( x2i +y2j)=xix2i i + yiy2j j + xiy2i j + yix2j i,即 a b=xix2+yiy2.(7-3-3)这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和.以坐标表示向量数量积的基本公式，能得到我们熟知的一些公式：设 a =(x, y),贝U a a=|a|2=x2+y2,即向量模公式|a|=x2 +y2 ;特别地当a = AB ,且起终点坐标 A(x1,yi),B(x2,y2)为已知时，由 AB =(x2-xi,y2-yi),即得 |a|=|AB |=：'(x2 -xi)2 +(y2 yi)2 ,此即为两点间的距离.例5求