分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学目标教学目标 （1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点：教学重点：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题问题问题1:. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?（一）新课引入：（一）新课引入：问题问题1:. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工

2、具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 （一）新课引入：（一）新课引入：问题问题2: 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 问题问题2: 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 分析分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一

3、步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法。分类记数原理分类记数原理: 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n类办法类办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在在第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件种不同的方法。那么完成这件事共有事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。种不同的方法。分步记数原理：分步记数原理：做一件事情，完成它需要分做一件事情，完成它需要分成成n个步骤，做第一步有个

4、步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第二步有二步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法。（二）新课：（二）新课：.,;,:.,件事件事步骤都完成才算做完这步骤都完成才算做完这只有各个只有各个依存依存各个步骤中的方法互相各个步骤中的方法互相题题问问分步分步的是的是分步乘法计数原理针对分步乘法计数原理针对事事可以做完这件可以做完这件用其中任何一种方法都用其中任何一种方法都立立其中各种方法相互独其中各种方法相互独问题问题分类分类针对是针对是原理原理计数计数分类加

5、法分类加法区别在于区别在于种数问题种数问题法的法的有关做一件事的不同方有关做一件事的不同方回答的都是回答的都是步乘法计数原理步乘法计数原理分类加法计数原理和分分类加法计数原理和分（三）例题：（三）例题： ?,13 , 2 , 12?,11.23,32,411同取法同取法有多少种不有多少种不本书本书层各取层各取从书架的第从书架的第有多少种不同取法有多少种不同取法本书本书从书架中任取从书架中任取不同的体育书不同的体育书本本层放有层放有第第本不同的文艺书本不同的文艺书层放有层放有第第本不同的计算机书本不同的计算机书层放有层放有书架的第书架的第例例 ?,13 , 2 , 12?,11.23,32,41

6、1同取法同取法有多少种不有多少种不本书本书层各取层各取从书架的第从书架的第有多少种不同取法有多少种不同取法本书本书从书架中任取从书架中任取不同的体育书不同的体育书本本层放有层放有第第本不同的文艺书本不同的文艺书层放有层放有第第本不同的计算机书本不同的计算机书层放有层放有书架的第书架的第例例 ;4,111:3,1种方法有本计算机书层取类方法是从第第类方法有从书架上任取一本书解;3,122种方法有本文艺书层取类方法是从第第.2,133种方法有本体育书层取类方法是从第第.9234mmmN,321不同取法的种数是根据分类加法计数原理 :3,13 , 2 , 1个步骤完成可以分成本书层各取从书架的第2

7、2;4,111种方法有本计算机书层取步从第第;3,122种方法有本文艺书层取步从第第.2,133种方法有本体育书层取步从第第.24234mmmN,321不同取法的种数是根据分步乘法计数原理?,232有有多多少少种种不不同同的的挂挂法法问问共共墙墙的的指指定定位位置置幅幅分分别别挂挂在在左左、右右两两边边幅幅不不同同的的画画中中选选出出从从甲甲、乙乙、丙丙要要例例:,23可以分两步完成边墙上幅分别挂在左、右两幅画中选取从解;3,13,1方法种有幅挂在左边墙上幅画中选从步第.2,12,2种方法有上幅画挂在右边墙幅画中选从剩下的步第.623N,不同挂法种数是根据分步乘法计数原理:6种挂法可以表示如下

8、种挂法可以表示如下左边左边右边右边得到的挂法得到的挂法左甲右乙左甲右乙甲甲乙乙丙丙左左甲甲右右丙丙甲甲乙乙丙丙左左乙乙右右甲甲左左乙乙右右丙丙甲甲乙乙丙丙左左丙丙右右甲甲左丙右乙左丙右乙例例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？ 分析分析: 按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三 位,第四位、需分为 四步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10，第 四步 ， m4 = 10. 根据分步记

9、数原理分步记数原理, 共可以设置N = 101010 10 = 104种四位数的号码。 答答:首位数字不为0的号码数是N =91010 10 = 9103 种, 首位数字是0的号码数是 N = 11010 10 = 103 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号 码数之和等于号码总数。例例 3. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？问问: 若设置四个、五个、六个、号码盘,号码数分别有多少种？答答:它们的号码种数依次是 104

10、, 105, 106, 种。 点评点评: 分类记数原理分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集。 分步记数原理分步记数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间 断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。 在运用“分类记数原理分类记数原理、分步记数原理分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”

11、外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。?,100.,.,4.,.4分分子子少少种种不不同同的的那那么么能能有有多多个个碱碱基基组组成成分分子子由由有有一一类类假假设设位位置置上上的的碱碱基基无无关关个个位位置置上上的的碱碱基基与与其其他他所所以以在在任任意意一一序序出出现现各各种种碱碱基基能能够够以以任任意意次次中中分分子子在在一一个个表表示示分分别别用用同同的的碱碱基基种种不不总总共共有有分分所所占占据据一一种种称称为为碱碱基基的的化化学学成成由由长长链链中中每每一一个个位位置置上上都都至至数数千千个个位位置

12、置的的长长链链甚甚分分子子是是一一个个有有着着数数百百个个一一个个的的化化学学成成分分现现分分子子是是在在生生物物细细胞胞中中发发核核糖糖核核酸酸例例RNARNARNAUGCARNARNA.U,G,C,A,100,100任选一个来占据任选一个来占据中中每个位置都可以从每个位置都可以从个位置个位置这时我们有这时我们有个碱基组成的长链个碱基组成的长链用下面的图来表示由用下面的图来表示由分析分析位位第第1位位第第2位位第第3位位第第100种种4种种4种种4种种4 .4,U,G,C,A,.,100100充方法种填每个位置有中任选一个填入从置中从左到右依次在每个位如上图所示个位置个碱基组成的长链共有解长

13、度为根据分步乘法计数原理,分子数目有的所有可能的不同RNA100 .4444100个 4100个.NAR.,106.1460100资资料料的的有有关关阅阅一一下下以以自自己己查查的的同同学学可可有有兴兴趣趣数数非非常常大大的的这这是是一一个个?.3 ,3,33,.,5少辆汽车上牌照少辆汽车上牌照那么这种办法共能给多那么这种办法共能给多必须合成一组出现必须合成一组出现个数字也个数字也现现个字母必须合成一组出个字母必须合成一组出并且并且字字个不重复的阿拉伯数个不重复的阿拉伯数复的英文字母和复的英文字母和个不重个不重有有每一个汽车牌照都必须每一个汽车牌照都必须成办法成办法种汽车牌照组种汽车牌照组交通

14、管理部门出台了一交通管理部门出台了一扩容扩容汽车牌照号码需要汽车牌照号码需要庭汽车拥有量迅速增长庭汽车拥有量迅速增长某城市家某城市家高高着人们生活水平的提着人们生活水平的提随随例例.6.,2,个个步步骤骤的的字字母母和和数数字字可可以以分分确确定定一一个个牌牌照照在在右右母母组组合合在在左左和和字字母母组组合合即即字字类类牌牌照照可可以以分分为为按按照照新新规规定定分分析析.,2类的字母组合在右另一一类字母组合在左类将汽车牌照分为解:6,字母和数字照的个步骤确定一个汽车牌分字母组合在左时;26,126,1种选法有放在首位个个字母中选从步第;25,2,125,2种选法有位放在第个个字母中选从剩下

15、的步第;24,3,124,3种选法有位放在第个个字母中选从剩下的步第;10,4,110,4种选法有位放在第个个数字中选从步第;9,5,19,5种选法有位放在第个个数字中选从剩下的步第.8,6,18,6种选法有位放在第个个数字中选从剩下的步第.000232118910242526,个有字母组合在左的牌照共根据分步乘法计数原理.00023211,个有字母组合在右的牌照也同理.224640001123200011232000,辆汽车上牌照共能给所以?题题的的方方法法吗吗法法计计数数原原理理解解决决计计数数问问法法计计数数原原理理、分分步步乘乘你你能能归归纳纳一一下下用用分分类类加加思思考考?,关关系

16、系吗吗似似的的法法计计数数原原理理也也有有这这种种类类乘乘法法计计数数原原理理和和分分类类加加分分步步加加法法运运算算的的简简化化乘乘法法运运算算是是特特定定条条件件下下思思考考.不不重重不不漏漏分分类类要要做做到到分分类类后后再再分分别别.,得得到到总总数数数数原原理理求求和和最最后后用用分分类类加加法法计计对对每每一一类类进进行行计计数数完完成成了了所所有有.步步骤骤完完整整分分步步要要做做到到.,.,得得到到总总数数每每一一步步方方法法数数相相乘乘把把完完成成原原理理最最后后根根据据分分步步乘乘法法计计数数数数方方法法分分步步后后再再计计算算每每一一步步的的立立相相互互独独当当然然步步与

17、与步步之之间间要要恰恰好好完完成成任任务务步步骤骤.,需需要要分分步步是是要要分分类类还还需需细细分分析析行行仔仔前前要要进进之之计计算算开开始始在在重重要要的的是是最最数数问问题题时时原原理理解解决决计计用用两两个个计计数数 课堂练习课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据分步记数原理分步记数原理

18、, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。 课堂练习课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？问问: 若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？ 答答:它们的涂色方案种数分别是 0, 3211=6 4322 = 48, 5433 = 180种等。 练习练习3.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解解:从总体上看,由甲到丙有两类

19、不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。4.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条 第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条 所以, 根据分类记数原理分类记数原理, 从顶点A到

20、顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。 小结：小结：1. 本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？ 答答:分类记数原理分类记数原理和和分步记数原理分步记数原理。 2.分类记数原理分类记数原理和和分步记数原理分步记数原理的共同点是什么？的共同点是什么？ 不同点什么？不同点什么？ 答答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不 同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分类分类记记 数原理数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步记数原理分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依

21、,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。3. 何时用何时用分类记数原理分类记数原理、分步记数原理分步记数原理呢呢?答答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类记数原理分类记数原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步记数原理分步记数原理。 小结：小结： 结束语结束语 两大原理妙无穷两大原理妙无穷, 布置作业布置作业: 茫茫数理此中求茫茫数理此中求;万万千千说不尽万万千千说不尽,运用

22、解题任驰骋运用解题任驰骋。复习回顾复习回顾:两个计数原理的内容是什么两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧有哪些技巧?练习：练习：三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？）每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？少种不同的方法？729366 5 4120 362161、将数字、将数字1,2,3,4,填

23、入标号为填入标号为1,2,3,4的四个的四个方格里方格里,每格填一个数字每格填一个数字,则每个格子的标则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有号与所填的数字均不同的填法有_种种引申引申:号方格里可填，三个数字，有种填号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相法。号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。有种填法。 所以共有所以共有3*3*1=9种不同的方法。种不同的方法。二、映射个数问题二、映射个数问题:例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多共有多少

24、种不同的映射少种不同的映射?三、染色问题三、染色问题:1.1.如图如图, ,用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色, , 规定一个区域规定一个区域 只涂一种颜色只涂一种颜色, , 相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色, , 不同的涂色方案有不同的涂色方案有 种。种。ABCD分析：分析：如图，如图，A A、B B、C C三个区域两两相邻，三个区域两两相邻，A A与与D D不相邻，因此不相邻，因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两三个区域的颜色两两不同，不同，A A、D D两个区域可以同色，也可以不同色，两个区域可以同色，

25、也可以不同色，但但D D与与B B、C C不同色。由此可见我们需根据不同色。由此可见我们需根据A A与与D D同色与不同色分成两大类。同色与不同色分成两大类。解：解：先分成两类：第一类，先分成两类：第一类，D D与与A A不同色，可分成四步完成。不同色，可分成四步完成。第一步涂第一步涂A A有有5 5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法；第四步涂种方法；第四步涂D D有有2 2种方法。根据分步计数原理，种方法。根据分步计数原理，共有共有5 54 43 32 2120120种方法。种方法。根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共

26、有12120+600+60180180种方法。种方法。第二类，第二类，A A、D D同色，分三步完成，同色，分三步完成，第一步涂第一步涂A A和和D D有有5 5种种方法，第二步涂方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法。根据分种方法。根据分步计数原理，共有步计数原理，共有5 54 43 36060种方法。种方法。2、某城市在中心广场建造一个花圃，、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为花圃分为6个部分（如右图）现要栽个部分（如右图）现要栽种种4种不同颜色的花，每部分栽种一种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，种且相邻部分不能

27、栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有不同的栽种方法有_种种.（以（以数字作答）数字作答） ?6?5?4?3?2?1（1 1）与与同色，则同色，则也同色或也同色或也同色，所以共有也同色，所以共有N N1 1=4=43 32 22 21=481=48种；种；所以，共有所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）与与同色，则同色，则或或同色，所以共有同色，所以共有N N2 2=4=43 32 22 21=481=48种；种；（3）与与且且与与同色，则共同色，则共N N3 3=4=43 32 21=241=24种种 解法一：从题意来看解法一：从题意来看6 6部分种部分种4 4种颜色的花，又从图形看种颜色的花，又从图形看知必有知必有2 2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求4、将种作物种植在如图所示的块试验、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法