浙江省2020年高考摸底考试理科数学试题及答案

1、浙江省2020年高考摸底考试理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。）1.如果复数 上q（a w R , i为虚数单位）的实部与虚部相等，则 a的值为2 iA.1B.-1C. 3D.-32 .若 A =0,1,2 , B=x|x = 2a,aw A,则 AljB =A. 0,1,2B. 0,1,2,3C. 0,1,2,4D. 1,2,43 .在等比数列an 中，若 a5+a7 =4（a1+a3 ）,则 a6=（）a?A. 1B. 1C. 2D.4424 .公元263年左右，我

2、国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了 “割圆术”， 利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图， 则输出 n 的值为（）（参考数据：sin15 ° =0.2588, sin7.5 ° =0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 965 .若直线y =mx+1与圆C :x2+y2+2x+2y = 0相交于A, B两点，且AC，BC ,则m =A.B. -1C.D.t牙+ 2y玉16 .若x、y满足约束条件 Ux+y>

3、-1 ,则z=3x-2y的最小值为I x-y< 011D. 5A.B.C.337 .已知(1 +，x)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且(1 +£x)n =a0 +ax + a2x2 + anXn,若 a +a? + an =242 ,则(x +土)4展开式中常数项 xA. 32B. 24C. 4D. 8168 .如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为9.A. 40B.D.若 p :三xw R,sin x = a -2 ,1 Q 。q:函数f(x)= x x +ax在R上是增函数，则3803p是q的A.充

4、分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2210.已知椭圆 +4=1(a Ab >0)的两个焦点为F1,F2, P为椭圆上一点，NF1PF2=90 口。若 a b. 一 2PF1F2的内切圆面积为一c ,则椭圆的离心率为4A. 12B.6C.2D .贝23311.已知函数一_ 二、一1f(x) =sin(2x3)，右方程f(x) = 3在(0,冗)的解为玉？2(玉< x?),则sin(x1 - x2)=A.2,3B.C.D.x,x < 012.已知a,bw R ,函数f(x)=i 1.，若函数y = f (x) axb恰有三个-x3 (a+1)x2

5、 +ax,x>0,32零点，则A. a < -l , b<0B. a< -1,b>0 C. a> -1,b<0D. a>-l , b>0二、填空题(本题共 4小题，每小题5分，共20分。)13 .已知角口的顶点与直角坐标系的原点重合， 始边与x轴的非负半轴重合， 终边经过点P(-1,2),则 cos2:=14 .在矩形ABCD中，AB=2, BC=J2-F在边CD上若AB AF = 3，则cos.ADB=AD2 22 一5、型的值是 2 AD 2215.已知函数 f (x )= Asin侬x+邛 X A>0,© >0j

6、* <nJI)的图象过点P.,0 ，且图象上与点P12最近的一个最高点是Q.J,2 I,把函数f (x )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3 cp倍,纵坐标不变，得到函数 g(x )的图象，则函数 g(x )的单调递增区间是13 12116 .已知f (x)是函数f(x)= ax十一bx +cx的导函数，且 f'(1)=a, 3a>2c>2b,则下列 322说法正确的是 f'(0) A0;b 曲线y = f(x)在x =-2处的切线斜率最小;2a函数f(x)在(3,依)存在极大值和极小值;f 1(x)在区间(0,2)上至少有一个零点1721题为必考题，每个三

7、、解答题(共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第试题考生都必须作答.第 22、23为选考题，考生根据要求作答。)（一）必考题（共 60分）17 .（本小题满分12分）已知数列%满足：an #1,an.=2 1（nW N" ），数列0中，r =L ,且“，b2, b4成 anan -1等比数列.（1）求证：数列bn是等差数列；（2）若Sn是数列%n 的前n项和，求数列11的前n项和Tn.Sn18 .（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，31PC _L 平面 ABC, PC =3, /ACB=一, D,E 分别 2为线段 AB,BC 上的点，且 CD=DE=J2，

8、CE=2EB=2.（1）证明：ED _L平面PCD ;（2）求二面角 A-PD -C的余弦值.19 .（本小题满分12分）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种,从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：工种类别ABC赔付频率110521051 104已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在

9、开展此业务的过程中固定支出每年10万元.（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1:企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%,职工个人负责30%,出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.20 .(本小题满分12分)已知椭圆C：0+%=1侬Ab>o)经过点e(J3,i),离心率为96,。为坐标原点a b3(1)求椭圆C的方程.(2)若点P为椭圆C上一

10、动点，点 A(3,0)与点P的垂直平分线l交y轴于点B ,求OB的最小值.21 .(本小题满分12分)已知函数f (x) =aln x+(1a)x2 bx+1在点(1, f(1)处的切线与 y轴垂直.(1)若a= 1,求f(x)的单调区间；(2)若0 <x <e , f (x) < 0成立，求a的取值范围.(二)选考题(共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。)22 .选彳44:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线CyX2y2-x= 0, Q二/十/一？y = O.(1

11、)以过原点的直线的倾斜角 日为参数，写出曲线 G的参数方程；(2)直线过原点，且与曲线 力，0分别交于4, R两点(力，日不是原点)。求的最大值.23 .选彳4-5:不等式选讲(10分)已知函数(1)当白=0时，解不等式人乃皂口；(2)若二次函数尸三/十以14的图象在函数y =的图象下方，求白的取值范围选择题1.D2.C 3.A 4.B5.D 6.C 7.B13.17.填空题5解答题14.1 15.解：(1)bn 1 电=1,数列也是公差为(2)由题意可得b;Snn n 1Tn =2111 -18. (1)参考答案8.D 9.A 10.C 11.A 12.C2r2k二 g k Z16.anan

12、 1 7an -12 - _1 an 一1an -1an -1an1的等差数列;= bib4,即(b +1 2 =b1(b1 +3 ),所以 bi =1Snn1.-11I=2X 1+1)<1 2n证明：因为 PC，平面ABC, DEU平面ABC,所以PC - DE .由CE = 2,CD = DE =42得ACDE为等腰直角三角形,故 CD _LDE .B又 PC PCD =C ,且 PC u 面 PCD , CD u 面 PCD ,故DE _L平面PCD .(2)解：如图所示，过点D作DF垂直CE于F ,易知 DF =FC = FE =1,又 EB=1 ，故 FB=2., “n由 /A

13、CB =，得 DFAC, 2DF FBACBC,33故 AC = DF =_22以点C为坐标原点，分别以 CA, CB,CP的方向分别为X轴,y轴，z轴的正方向,建立如图空间直角坐标系 C -xyz ,-f3LfC(0,0,0) , P(0,0,3) , A(3,0,0) , E(0,2,0) , D(1,1,0),2TT1ED =(1,-1,0), DP =(-1,-1,3),DA =(,-1,0) 2设平面PAD的法向重为n1=(x1,y1,z1 ),则n，DP=0,-X1 - y ' 3Z1 0即12X1 _y1 =0令 x1 2 ,则 y1 1, z1 1,故可取 n1 =(2

14、,1,1).由(1)可知DE _L平面PCD ,故平面PCD的法向量n2可取为"ED，即 n2=(1,-1,0)则cos.2)=汁=又二面角A PDC为锐二面角,所以二面角 A-PD-C的余弦值为 .列为6X2525-100104P一101 105Y25_425-10010P2 105Z4040-50104P11 一 4101 10419. (I)设工种 A B C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z,则X、Y、Z的分布保险公司的期望收益为1E X =25 110522 )E(Y)= 25帚,42+ (25 100x104 产荷=5;1 EZ =40 1 而C 4“41_

15、+ (40-50x10 产存= 10；保险公司的利润的期望值为 12000xE(X ) + 6000M E(Y )十2000M E(Z )-100000=90000,保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元.(n)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：4142414412000 M100 父 104 M +6000 M100 M104 父+2000父 50 父104 父+12 父104 =46父104 ,105105104方案2:企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：(12000X25 + 6000V 25 + 2000乂 40 7 0.7 = 37.1 黑 10

16、4,46104 >37.1X104 ,故建议企业选择方案 2.20. (I)因为椭圆的离心率为所以1备2,故b2 *2,所以椭圆C的方程为为2y1 2-a3二1又点e(73,1又椭圆上,31 二 -1所以a21 21 ,a -a3解得a2 = 6 ,22所以椭圆C的方程为二十卫一=1.62(n)由题意直线l的斜率存在，设点 P(x0,y0 K y0 *0),41,+ (25 -100 m 10 F 赤=15;则线段AP的中点D的坐标为包上3,典,且直线AP的斜率kAPyoX。- 3因为直线l _L AP , 1故直线l的斜率为kAPy。3 - x。,且过点D ,所以直线l的方程为：y-比

17、23 - x。xo3I x -yo22令 x= f(1)=。，即f (x尸。恒成立.=°'得 y=T'22 ,2 人则B。,包上92Vo22由过 + 也=1 ,得 x2 =6 -3y2 , 62化简得B0,一 2_-2y。-32yo所以OB当且仅当所以OB21. (1)_ 2_一2 y。- 32y。y。=2 yo=yo，即y。的最小值为,6._3_2 y。=-6.2f (x) a- 2(1 a)x -bx,由题x |3 =娓.2y。- .2, .2时等号成立.f (1)=a 2(1 - a) -b=。解得 a + b = 2,由 a=i,得 b=i.一 . 一 1因为

18、f (x )的定义域为(。，F),所以f (x) =1 -1-(x -1)x x故当xW(Q1)时，f (x) A。，f(x)为增函数，当xW(1,收)时，f'(x)。，f(x)为减函数,(2)由(1)知 b=2-a,22(1 a)x (a 2)x a 2(1 -a)x -a (x -1)a所以 f (x) = - 2(1 - a)x -(2 - a)- x(i )若 a =1 ,则由(1)知 f (x lax2(1-a) lx.2(1-a)x-1) 口 a c/且<。,一 2(1 - a)(ii )若 a>1,贝 U,(2(1a)xa jx-1)f (x):xx当xW(Q

19、1)时，f (x) A。，f(x)为增函数；当xW(1, 十叼时，f'(x)。，f(x)为减函数,f (X max =f(1)=0,即 f(x 尸。恒成立.,、升2,(iii )右一<a<1,则(2(1-a)x-ax-1)3f (x)=-2(1 -a)|x2(1 a)(x-1) 口 a .且>1 ,2(1-a)x故当xW(0,1)时，f (x) >0 , f(x)为增函数，a当 xW(1,2(1 a)时'f (x)H0，f(x)为减函数,a当 xe(；，依)时，f (x) >0 , 2(1 -a)f (x)为增函数,由题只需f(e尸0即可，即a十(

20、1a)e2(2a)e+1 < 0 ,解得而由22e -2e 1 2 (e -2)12e -e -1一33e2 -3e-3>0,且2e -2e 12 -e-1 = 2e e1 e -e -1> e2 -2e 1 ae -e -12e 2e 1 /<0 ,得一2w a <1 e e 12(iv )右 a =一则3所以 x W(1,e),2(v)右 a <一，则32(x _1)2 一. 一f'(x)=2(x D ±0, f(x)为增函数，且 f(1)=0, 3xf(x) >f (1)=0,不合题意，舍去； a<1 , f (x)在 xW(1,e)上都为增函数，且 f(1) = 0,所以xW(1,e), f(x)f (