数字逻辑第2章-逻辑代数基础

1、1第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2大纲 2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念 2.2 逻辑代数的公理、定理及规则逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换逻辑函数表达式的形式与转换 2.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简32.1 逻辑代数的基本概念 2.1.1 逻辑变量 2.1.2 逻辑运算 2.1.3 逻辑函数42.1.1 逻辑变量 逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记为L= K ,+ , ,- ,0 ,1 。 逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化的量，即变量。 在普通代

2、数中，变量的取值可以是任意实数，而逻辑代数是 一 种二值代数系统，任何逻辑变量的取值只有两种可能性取值0或取值1。52.1.2 逻辑运算 “与与”运算运算 “或或”运算运算 “非非” 运算运算6“与”运算定义 对于逻辑问题对于逻辑问题,如果决定某一事件的多个条如果决定某一事件的多个条件必须同时具备件必须同时具备,事件才会发生事件才会发生,则这种因果则这种因果关系关系,称之为称之为“与与”逻辑逻辑。7“与”运算表达式及运算表 F=A B或 A、B中只要有一个为0，则F为0；仅当A、B均为1时，F才为1。1 11 11 10 01 01 00 00 10 10 00 00 0F FA BA BAB

3、F8“与”运算规则 0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1与门与门& &A AB BF F9“或”运算定义 如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。 10“或”运算表达式及运算表 或(两变量) A、B中只要有一个为1，则F为 1；仅当A、B均为0时，F才为0。A B FA B F0 0 0 0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 0 11 1 11 1 1 ABF11“或”运算规则 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 11ABF或门或门12

4、“非”运算定义 如果某一事件的发生取决于条件的否定，如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为则这种因果关系称为“非非”逻辑逻辑。13“非”运算表达式及运算表 F= 或者F = AA “非非”运算表运算表 AF0101A 开关与灯并联电路 F14“非”运算规则01,101AF非门非门152.1.3 逻辑函数 逻辑函数的定义逻辑函数的定义 逻辑函数的特点逻辑函数的特点 逻辑函数的相等逻辑函数的相等16逻辑函数的定义逻辑函数的定义 在数字系统逻辑电路中在数字系统逻辑电路中,如果某一输出变量与一组如果某一输出变量与一

5、组输入变量存在一定对应关系输入变量存在一定对应关系,即输入变量取任意一即输入变量取任意一组确定的值组确定的值,输出变量的值也就唯一地被确定输出变量的值也就唯一地被确定,则称则称这种关系为逻辑函数关系。这种关系为逻辑函数关系。 设输入变量为设输入变量为A1、A2An,输出变量为输出变量为F,则描述输则描述输出变量与输入变量的逻辑函数可表示为出变量与输入变量的逻辑函数可表示为:).,(21nAAAfF17逻辑函数的特点逻辑函数的特点 逻辑函数自身和逻辑变量的取值只有逻辑函数自身和逻辑变量的取值只有0和和1两种可能。两种可能。 逻辑函数与变量之间的关系完全由与、或、逻辑函数与变量之间的关系完全由与、

6、或、非三种基本运算确定。非三种基本运算确定。18逻辑函数相等的定义逻辑函数相等的定义 Y=Y（A1，A2 ，A3 ，An） G=G（A1，A2 ，A3 ，An） 如果对应于变量A1 ，A2 ，A3 ，An 的任意一组取值，Y 与G 的值都相等，则称Y 和G 是等值的，或者说Y 和G 是相等的，记作Y = G 。19逻辑函数相等的判断逻辑函数相等的判断 列出输入变量所有可能的取值组合，并按列出输入变量所有可能的取值组合，并按逻辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑函数的相应值，然后进行比较。逻辑函数的相应值，然后进行比较。 用逻辑代数的公理、定律和规则进行证明

7、。用逻辑代数的公理、定律和规则进行证明。20大纲 2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念 2.2 逻辑代数的公理、定理及规则逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换逻辑函数表达式的形式与转换 2.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简212.2 逻辑代数的公理、定理及规则 2.2.1 逻辑代数的公理和基本定理 2.2.2 逻辑代数的重要规则222.2.1 逻辑代数的公理和基本定理结合律：)()()()(CBACBACBACBA公理公理1公理公理2 公理公理3公理公理4公理公理523逻辑代数的公理图示BCBCFF24定理 125定理 2AAAAAA26定理 3ABAAABA

8、A)(27定理 4BABAA)(BABAA28定理 529定理 6BABABABA30定理 7ABABA)()(31定理 8)()()(CABACBCABA32定理1证明：与或运算 在公理4中，A表示集合K中的任意元素，因而可以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到：33定理1证明：非运算 如果以1和0代替公理5中的A，则可得到：34定理2 证明：A + A = A1)(AAAA)()(AAAA)(AAA0 AA公理公理4公理公理5公理公理3公理公理5公理公理435定理2 证明：A A = A0)(AAAAAAAA)(AAA1 AA公理公理4公理公理5公理公理3公理公理5公理公理436定

9、理3证明： A + A B = ABAABAA1)1 (BA) 1(BA1 AA公理公理4公理公理3公理公理1公理公理4公理公理437定理3证明： A ( A + B ) = A)()0()(BAABAABA00 AA公理公理4公理公理3公理公理4公理公理438定理4证明：BABAA)()(BAAABAA)(1BABA公理公理3公理公理5公理公理439定理4证明：BABAA)(BAAABAA)(BA 0BA 公理公理3公理公理5公理公理440定理5证明：AXAXA证明：令0:AAAX因而的唯一性，得到因此，根据公理 51AAAXAXA41定理6证明：BABABABABABA）（）（）由于（证明

10、 :BAB）（）（BBA1 A1BBAABABABA）（）而且（00 0:5的唯一性可得到所以，根据公理BABA42定理6证明：BABABABBAABABA ）由于（证明:)()()(BBABBAAA）（ABBA1BABBAABABA）而且（00 0:5的唯一性可得到所以，根据公理BABA另法另法43定理7证明：)(BBABABA1 AA公理公理3公理公理5公理公理444定理7证明：ABABA)()(A)(BBAA)()()()(BABBAABABABBABBAAABABAA公理公理3公理公理5和定理和定理2公理公理5公理公理3公理公理31AA定理定理2另法另法45AABBABABA0)()(

11、)(定理7证明：ABABA)()(46定理8证明：公理公理5公理公理3公理公理1公理公理3公理公理4另法另法47定理8证明：)()()(CABACBCABA)()(CBCABA)(CBCBABCAAABCAACBCABABCACBABCAABC)(BAACBC)()(ABACAB)(BACAAABAACBC公理公理3公理公理3和和5公理公理1和和3公理公理5和定理和定理2公理公理5公理公理1和和3公理公理1和和348)()0)(0()()(0)(0()()()()(CABABCACBAACBACBCABAAACBCABACBCABA定理8证明：)()()(CABACBCABA492.2.2 逻

12、辑代数的重要规则 代入规则代入规则 反演规则反演规则 对偶规则对偶规则50代入规则代入规则 任何一个含有变量任何一个含有变量A的等式，如果将所有出的等式，如果将所有出现现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。式仍然成立。51代入规则示例代入规则示例 已知等式已知等式 ，用函数，用函数Y=AC代代替等式中的替等式中的A，根据代入规则，等式，根据代入规则，等式仍然成立，即有：仍然成立，即有：CBABACBAC)(BAAB52反演规则反演规则 对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式，如果将表达式中的所有中的所有“”换成换成“”，“”换

13、成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，那么所得，那么所得到的表达式就是函数到的表达式就是函数Y的反函数的反函数Y（或称补（或称补函数）。这个规则称为反演规则。函数）。这个规则称为反演规则。53反演规则示例反演规则示例 求反函数时求反函数时,运算顺序与原函数相同。运算顺序与原函数相同。EDCBAYEDCBAYEDCBAYCBAYCBAY)( 54对偶规则对偶规则 对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达，如果将表达式中的所有式中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，而，而，则可得到的一个新的函数，则可得到的一个新

14、的函数表达式表达式Y，Y称为函称为函Y的对偶函数。的对偶函数。55对偶规则示例对偶规则示例 求对偶函数时求对偶函数时,运算顺序与原函数相同。运算顺序与原函数相同。EDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAYCBAYCBAY)( 56对偶规则应用对偶规则应用 如果两个函数相等，则它们的对偶函数也如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。相等。ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()(57习题习题CAABBCDCA(1)ABCABCBCA(2)ABDBADCDABB(3)A D0)BAB)(A)(BB)(A(4)(A58（1）的证明CAABBCDCA(1)ABCAAB

15、BCCAABD)BC(1CAABBCDBCCAABBCDCAAB定理定理8定理定理8公理公理3公理公理4另法另法59（2）的证明CABCBCA(2)AB公理公理3CABC)1(ABCCAB)BC(BCABCBBCCABCBCAABAAAA定理定理8公理公理3公理公理4公理公理5另法另法60（3）的证明DBAC)D(1DBADCDDBADC)AD(ADBADCDAADDBADCDABBABBBBDDBADCDABB(3)A D另法另法61（4）的证明0)BAB)(A)(BB)(A(A)ABBAAAB)(B(AA)BAA)(BA(A0)BAB)(A)(BB)(A(4)(A另法另法62（4）的证明0

16、AA)BBA)(BB(A)BAB)(A)(BB)(A(A0)BAB)(A)(BB)(A(4)(A63大纲 2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念 2.2 逻辑代数的公理、定理及规则逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换逻辑函数表达式的形式与转换 2.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简642.3 逻辑函数表达式的形式与转换 2.3.1 逻辑函数的表示法 2.3.2 逻辑函数表达式的基本形式 2.3.3 逻辑函数表达式的标准形式 2.3.4 逻辑函数表达式的转换652.3.1 逻辑函数的表示法 逻辑表达式逻辑表达式 真值表真值表 卡诺图卡诺图 逻辑图逻辑图 时序图时序图

17、66逻辑表达式定义逻辑表达式定义 由逻辑变量和与、或、非由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构种运算符连接起来所构成的式子。成的式子。67逻辑表达式示例逻辑表达式示例68逻辑表达式简写规则逻辑表达式简写规则 “非”运算符下可不加括号，如: “与”运算符一般可省略，如AB可写成AB 在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号，如:(AB)+(CD)可写为AB+CD。 注意：(A+B)(C+D)不能省略括号，即不能写成A+BC+D！ (A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或者A(BC)可用ABC代替。 运算优先法则

18、：BABA( )高高低低 +69真值表真值表 依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相应函数值的表格。 由于一个逻辑变量有0和1两种可能的取值，n个逻辑变量共有2n种可能的取值组合。因此，一个n个变量的逻辑函数，其真值表有2n行。 70真值表示例 左边一栏列出变量的所有取值组合，右边一栏为逻辑函数值。 函数 的真值表 CABAF1 0 1 1 0 1 1 1 A B C F 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 71卡诺图卡诺图 卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构成的平面图。 用图形描述逻辑函数的方法。72逻辑图的定

19、义 用逻辑符号表示的元件构成的电路图。73逻辑图的示例 FF&1&ABBC74时序图的定义 由输入变量的所有可能取值组合的高、低由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。所构成的图形。75时序图的示例F 762.3.2 逻辑函数表达式的基本形式 “与或与或”形式：分析时易于快速得到正确的形式：分析时易于快速得到正确的真值表；真值表； “或与或与”形式：由于常用逻辑门是与非门形式：由于常用逻辑门是与非门和或非门和或非门, 与或和或与形式易于转换成与非、与或和或与形式易于转换成与非、 或非形式；或非形式

20、； 一般形式一般形式77“与或”形式示例BCCAABFA B C F0 0 000 0 110 1 000 1 111 0 000 1 01 1 011 1 1178“或与”形式示例)()(CBCABAFA B C F0 0 000 0 100 1 010 1 111 0 000 1 11 1 001 1 1179一般形式示例)(1CABCAFCABCAF2DCABAF3802.3.3 逻辑函数表达式的标准形式 最小项表达式(标准“与或”表达式) 最大项表达式(标准“或与”表达式)81最小项表达式(标准“与或”表达式) 逻辑函数的最小项逻辑函数的最小项 最小项的表示方法最小项的表示方法 最小项

21、的性质最小项的性质 最小项表达式最小项表达式 最小项表达式的性质最小项表达式的性质82逻辑函数的最小项逻辑函数的最小项 如果一个函数的某个乘积项包含了函数的如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为称为最小项最小项。 3个变量个变量A、B、C可组成可组成8个最小项：个最小项：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、83最小项的表示方法最小项的表示方法 通常用符号通常用符号m

22、i来表示最小项。下标来表示最小项。下标i的确定：的确定：把最小项中的原变量记为把最小项中的原变量记为1，反变量记为，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标十进制数，就是这个最小项的下标i。 例如：例如：A000001010011BA010011CBA010843个变量个变量A、B、C的最小项表示的最小项表示 最小项的值为最小项的值为1的二进制取值组合的二进制取值组合,即为其右即为其右下标。下标。m m7 7m m6 6m m5 5m m4 4m

23、m3 3m m2 2m m1 1m m0 0ABCABCC CABABC CB BA AC CB BA ABCBCA AC CB BA AC CB BA AC CB BA A11111111011010110110010001101101001000100100000085最小项的性质最小项的性质 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。 任意两个不同的最小项的乘积必为任意两个不同的最小项的乘积必为0。 全部最小项的和必为全部最小项的和必为1。 n个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有n个相邻项。个相邻项。1120niim86最小项表达式最小项表达

24、式 由若干最小项相或构成的逻辑表达式称为由若干最小项相或构成的逻辑表达式称为标准的标准的“与与或或”表达式，也称为表达式，也称为最小项最小项表达式表达式。ABCCBACBACBACBAF),()7 , 4 , 2 , 1 (),(7421mmmmmCBAF87最小项表达式的性质最小项表达式的性质最小项表达式最小项表达式逻辑函数关系逻辑函数关系唯一唯一88最小项表达式的性质最小项表达式的性质最小项表达式最小项表达式逻辑函数关系逻辑函数关系唯一唯一89最小项表达式具有唯一性最小项表达式具有唯一性 对应关系最小项表达式最小项表达式逻辑函数关系逻辑函数关系一一对应一一对应最小项表达式最小项表达式逻辑函

25、数关系逻辑函数关系唯一唯一最小项表达式最小项表达式逻辑函数关系逻辑函数关系唯一唯一90F=m0+m3+m5+m6A B C F0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 10 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0)6 , 5 , 3 , 0(mF91最大项表达式(标准“或与”表达式) 逻辑函数最大项及其性质逻辑函数最大项及其性质 最大项的表示方法最大项的表示方法 最大项的性质最大项的性质 最大项和最小项之间的关系最大项和最小项之间的关系 最大项表达式（标准的最大项表达式（标准的“或或与与”表达式）表达式） 最大项表达式的性质最大项表达式的性质92逻辑函数最大项及其性质逻辑

26、函数最大项及其性质 3个变量个变量A、B、C可组成可组成8个最大项：个最大项：CBAM2CBAM6CBAM3CBAM7CBAM0CBAM4CBAM1CBAM593最大项的表示方法最大项的表示方法 通常用符号通常用符号Mi来表示最大项。下标来表示最大项。下标i的确定：的确定：把最大项中的原变量记为把最大项中的原变量记为0，反变量记为，反变量记为1，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最大项的下标十进制数，就是这个最大项的下标i。 3个变量个变量A、B、C的的8个最大项可以

27、分别表个最大项可以分别表示为：示为：CBAM2CBAM6CBAM3CBAM7CBAM0CBAM4CBAM1CBAM594最大项的性质最大项的性质 任意一个最大项，只有一组变量取值使其值任意一个最大项，只有一组变量取值使其值为为0。 任意两个不同的最大项的之和必为任意两个不同的最大项的之和必为1。 全部最大项的乘积必为全部最大项的乘积必为0。 n个变量构成的最大项有个变量构成的最大项有n个相邻最大项。个相邻最大项。0120niiM95最大项和最小项之间的关系最大项和最小项之间的关系 同一个问题中下标相同的最小项和最大项同一个问题中下标相同的最小项和最大项互为反函数。互为反函数。000M=C+B+

28、A=CBA=mCBA=m例：例：iimMiiMm96最大项表达式（标准的最大项表达式（标准的“或或与与”表达式）表达式） 由若干最大项相由若干最大项相“与与”构成的逻辑表达式构成的逻辑表达式称为标准的称为标准的“或或与与”表达式。表达式。)()(),(CBACBACBACBAF)7 , 5 , 0(),(750MMMMCBAF97最大项表达式的性质最大项表达式的性质 逻辑函数的最大项表达式中有某一最大项逻辑函数的最大项表达式中有某一最大项,则在该最大项对应的变量的取值组合下则在该最大项对应的变量的取值组合下,逻逻辑函数的值为辑函数的值为0；其他情况下逻辑函数的值；其他情况下逻辑函数的值为为1.

29、 某一变量的取值组合下逻辑函数的值为某一变量的取值组合下逻辑函数的值为0。则逻辑函数的最大项表达式中有该变量取则逻辑函数的最大项表达式中有该变量取值组合对应的最大项。值组合对应的最大项。98对应关系 最大项表达式具有唯一性最大项表达式具有唯一性最大项表达式最大项表达式逻辑函数关系逻辑函数关系唯一唯一最大项表达式最大项表达式逻辑函数关系逻辑函数关系唯一唯一最大项表达式最大项表达式逻辑函数关系逻辑函数关系一一对应一一对应992.3.4 逻辑函数表达式的转换100代数转换法代数转换法 所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公式、定律和规则，将逻辑函数表达式从一式、定律

30、和规则，将逻辑函数表达式从一种形式变换为另一种形式。种形式变换为另一种形式。101最小项之和转换步骤最小项之和转换步骤 将函数表达式变换成一般的将函数表达式变换成一般的“与与或或”表表达式；达式； 将非最小项的将非最小项的“与项与项”扩展成最小项；扩展成最小项；102逻辑函数Y转换成最小项标准式示例)(),(CBACBAABCBAY)(),(CBACBAABCBAYBAAB)()(),(CCBACCABCBAYCBABCACABABC2367mmmm)7 , 6 , 3 , 2(m第一步第一步第二步第二步103最大项之积转换步骤最大项之积转换步骤 将函数表达式变换成一般的将函数表达式变换成一般

31、的“或或与与”表达表达式；式； 将非最大项的变换成将非最大项的变换成“最大项之积最大项之积”；104逻辑函数Y转换成最大项标准式示例第一步第一步)(),(CBACBAABCBAY)(CBAABCBAAB)(CBCB)(),(CBCBCBAY)(CBAACBAA)()()(CBACBACBACBA0415MMMM)5 , 4 , 1 , 0(M第二步第二步分配律分配律A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)105真值表转换法示例A B CY最小项0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7m1

32、ABCm5ABCm3ABCm2ABC106真值表对应的最小项表达式 将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。 将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。ABCCABCBACBAmmmmmY)7 , 6 , 4 , 0(76401CBACBACBACBAmmmmmY)5 , 4 , 2 , 1 (5421107真值表求最大项表达式真值表求最大项表达式 如果列出了函数的真值表，则只要将函数如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为值为0的那些最大项相乘，便是函数的最大的那些最大项相乘，便是函数的最大项表达式。项表达式。)7 , 6 , 5 , 2 , 0(),

33、(MCBACACBAFA AB BC CF F0 00 00 00 00 00 01 11 10 01 10 00 00 01 11 11 11 10 00 01 11 10 01 10 01 11 10 00 01 11 11 10 0108大纲 2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念 2.2 逻辑代数的公理、定理及规则逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换逻辑函数表达式的形式与转换 2.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简1092.4 逻辑函数的化简 2.4.1 代数化简法 2.4.2 卡诺图化简法 2.4.3 逻辑函数化简中有关问题的考虑110逻辑函数化简的意义

34、逻辑函数化简的意义 逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。电路工作越稳定可靠。1112.4.1 代数化简法最简与或表达式的要求最简与或表达式的要求: 乘积项最少乘积项最少 在满足乘积项最少的前提下使每个乘积项在满足乘积项最少的前提下使每个乘积项中的变量个数也最少的与或表达式。中的变量个数也最少的与或表达式。112最简与或表达式化简示例 Y的最简与或表达式的最简与或表达式CABACBCABADCBCBECACABAEBAY113逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来运用逻辑代数的基本公式、定理和规则

35、来化简逻辑函数。化简逻辑函数。化简方法化简方法: 并项法并项法 吸收法吸收法 消去冗余项法消去冗余项法 配项法配项法114并项法并项法 利用公式利用公式 ，将两项合并为一项，并消，将两项合并为一项，并消去一个变量。去一个变量。 运用分配律和德摩根定律运用分配律和德摩根定律BCCBCBBCCBBCAACBBCAABCY)()(1ABCBCABCAABCCBAABCCABAABCY)()(21 AA115吸收法吸收法 利用公式和摩根定律，消去多余项。利用公式和摩根定律，消去多余项。 利用公式利用公式 ，消去多余的变量。，消去多余的变量。BAFEBCDABAY)(1BABCDBADABADBCDAB

36、ADCDBAY)()(2CABCABABCBAABCBCAABY)(1DCBADBACBADBACBADBACCBADCBDCACBAY)()(2 BABAA116消去冗余项法消去冗余项法 利用冗余律利用冗余律 ，将冗余项消去。将冗余项消去。DCACBAADEDCACBADCADEACBAY)(1CBABFGDEACCBABY)(2 CAABBCCAAB另法另法117配项法配项法(1) 利用公式利用公式（）（），为某一项配，为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。简。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAAC

37、BBABACBCBBAY)()1 ()1 ()()(118配项法配项法(2) 利用公式利用公式 ，为某项配上其所，为某项配上其所能合并的项。能合并的项。BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY)()()( AAA119最简或与表达式及化简规则最简或与表达式及化简规则 括号最少、并且每个括号内相加的变量也括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。最少的或与表达式。化简规则化简规则: 求出反函数的最简与或表达式求出反函数的最简与或表达式; 利用反演规则写出函数的最简或与表达式利用反演规则写出函数的最简或与表达式120最简或与表达式化简实例最简或与表达式

38、化简实例CABAYACBACBACBACABACABAY)()(CABAY121课堂练习 用代数法化简成最简“与或”表达式:BCCAABF)1 (CBACBACBACBAF)2(CBCDABDF) 3(ECDAEBCABF)4(CDECBEDCBBAACF)6(CBBCBAABF)5(DCBBCDCBACBAF)()()7()()8(HGADEDBDBCBCACBABF122BCCAABF) 1 (BCBCCAABF1CAAB1123CBACBACBACBAF)2(BABAFB)()(CCBACCBAF124CBCDABDF)3(CBDF125ECDAEBCABF)4(CDAEBCABF126

39、CBBCBAABF)5(CBABCBCACBACBAABCBCAABCBBCACBAABCBBCAACCBAABF)()(127CDECBEDCBBAACF)6(CDECEDCBEDCBBAACFCECBEDCBBAACCEDCBBAACCEDCBCBBAACCEDBCBBAACCEDBBAAC128DCBBCDCBACBAF)()()7(DCBBCDCABACAABFDCBBCDBCACBABACAABCCABDCBBCDBCBACADCBBCDBCCBBACABCCBBACABCBACA129)()8(HGADEDBDBCBCACBABF)(HGADEDBDBCBCAACCBABF)(HG

40、ADEDBDBCBACBABDBDBCBCBACDBDCBDBDCBDCBCBADBDCCBA)1()()1(CDBBBDCDCBA)()(CCDBDBDDCBCBA1302.4.2 卡诺图化简法 卡诺图的构成 逻辑函数在卡诺图中的表示 卡诺图上最小项的合并规律 图形法化简的基本步骤131卡诺图的构成 n个变量的卡诺图由2n个方格构成,每一方格代表一个最小项。 卡诺图中处于几何相邻、相对相邻、相重相邻的方格代表相邻最小项 (相邻最小项相邻最小项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项) 。132卡诺图示例n=2n=3n=4133相邻最小项 相邻最小项是指两个最小项

41、只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项。DCBADCBADCBADCBADCBAm0m1m2m4m8134几何相邻、相对相邻和相重相邻DCBADCBAABCDDCBAABCDCDBADCBADCBADBCABCDADCBADCBADCBACDBADCABDCABDABC135几何相邻、相对相邻和相重相邻BADCDCCDBABAABDC136几何相邻、相对相邻和相重相邻CDAB0001101100011011137几何相邻、相对相邻和相重相邻ABCD0001111000011110m0m4m12m8m1m5m13m9m2m7m15m11m3m6m14m10138对折方法ABCD

42、0001111000011110m0m4m12m8m1m5m13m9m2m7m15m11m3m6m14m10DCBA139对折方法ABC0001111001m0m4m1m5m2m6m3m7140对折方法ABC0001111001141逻辑函数在卡诺图中的表示 逻辑函数中有某一最小项逻辑函数中有某一最小项,则在其对应的方则在其对应的方格填格填1,使其成为使其成为1方格否则为方格否则为0方格。方格。 某一变量取值组合下逻辑函数的值为某一变量取值组合下逻辑函数的值为1则在则在其对应的方格填其对应的方格填1,使其成为使其成为1方格方格,否则为否则为0方格。方格。变量取值变量取值组合下逻组合下逻辑函数的

43、辑函数的值为值为1最小项最小项1方格方格142最小项表达式最小项表达式F1的卡诺图的卡诺图)7 ,6 , 5 , 3(),(1mCBAFABC00011101111011143最大项表达式最大项表达式F2的卡诺图的卡诺图)10, 8 , 7 , 6 , 4 , 2 , 0(),(2MDCBAF)15,14,13,12,11, 9 , 5 , 3 , 1 (mABCD00011110000111100000000111111111144与或表达式与或表达式F3的卡诺图的卡诺图ABCD0001111000011110010100111111BCDCBCDAABDCBAF),(31000145或与表

44、达式或与表达式F4的卡诺图的卡诺图ABCD0001111000011110)()(),(4CBDCABADCBAF0000000000111111146F5的卡诺图的卡诺图ABCD00011110000111101101110111110011DCBBCDCBACBADCBAF)()(),(5DCBBCDCABACAAB147卡诺图上最小项的合并规律 相邻最小项的数目必须为2i个才能合并为一项，并消去i个变量。 包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。148消去一个变量 任何两个标1的相邻最小项合并为一项。CBBCDBADBA14

45、9消去2个变量 任何4个标1的相邻最小项合并为一项。 CB ABCD00011110000100011111110110100100DCBDBA150消去2个变量DB ABC D00011110000110011001111001100110DB ABC D00011110001001010110110110101001DBBD151消去3个变量 任何8个标1的相邻最小项合并为一项。 ABC D00011110000000011111111111100000DB ABCD00011110001001011001111001101001152图形法化简的基本步骤 作函数的卡诺图作函数的卡诺图 画

46、卡诺圈画卡诺圈(卡诺圈最少、最大卡诺圈最少、最大1方格方格 2i 个个) 写表达式写表达式(相同变量留下相同变量留下,不同变量去掉不同变量去掉)153ABCBCCAABFABCBCCAAB，蕴涵项：BCCAAB，质蕴涵项：CAAB，必要质蕴涵项：CAABF 0 0 1 0 1 1 1 0 00 01 11 10 0 1ABC154画卡诺圈三条原则 圈越大越好，但每个圈中标的方格数目圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为必须为2i个。个。 同一个方格可同时画在几个圈内，但每个同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。圈都要有新的方格，否则它就是多余的。 不能漏掉任

47、何一个标的方格。不能漏掉任何一个标的方格。155示例:第一步(作函数的卡诺图)15,13,12,11, 8 , 7 , 5 , 3(),(mDCBAY A BC D0 00 11 11 00 000110 101101 111111 00000156第二步(画卡诺圈) A BC D0 00 11 11 00 000110 101101 111111 00000冗余项冗余项BDCDDCADCACDBDDCBAY ),(157两点说明 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，在有些情况下，最小项的圈法不只一种，哪个是最简的需经过比较才能确定。哪个是最简的需经过比较才能确定。ADCBADCBDCA AB

48、CD00011110001101010111110011100000ADCBADCB ABCD00011110001101010111110011100000158一个函数的最简与或表达式不是唯一的一个函数的最简与或表达式不是唯一的 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。式都是最简形式。DCBABCDBACA ABCD00011110001100011110110010101010ABDABCDBACA ABCD00011110001100011110110010101010159用卡诺图化简下列逻辑函数)15,13,11,10, 7 , 6

49、, 5 , 3 , 0(),() 1 (mDCBAF)12,10, 8 , 7 , 6 , 3 , 2(),()2(mDCBAF)15,14,13,12,11, 7 , 6 , 4 , 3(),() 3(MDCBAF)15,13,12,11, 7 , 6 , 5 , 1 (),()4(mDCBAFCBCBBABACBAF),()5()15,13,11,10, 7 , 4 , 3 , 2(),()6(mDCBAF160 1 1 1 1 1 1 1 1 1ABCD0001111000011110DCBACBABCACDBDF) 1 (161 1 1 1 1 1 1 1ABCD00011110000

50、11110DCBDCACAF)2(162 1 1 1 1 1 1 1ABCD0001111000011110DBADCACAF)2(163DCADBCBF)3( 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1ABCD00011110000111101641 0 01 0 0 0 01 0 111 0 01ABCD0001111000011110)15,14,13,12,11, 7 , 6 , 4 , 3(),() 3(MDCBAFDBCDABmF)10,9,8,5,2,1 ,0()()(DBDCBAF0 1 10 1 1 1 10 1 000 1 10ABCD000111100

51、0011110165ACDCABBCADCAF)4( ABCD00011110000010011110110111100100166BACBCAF)5(CBCABAF)5(167DCBAABDCBCDF)6(1682.4.3 逻辑函数化简中有关问题的考虑 包含无关最小项的逻辑函数的化简 多输出函数的化简 输入不提供反变量的情况下逻辑函数的化简169无关最小项定义 在逻辑函数中有些变量的取值组合不可能出现，或在某些变量的取值组合下逻辑函数的值为0或1对逻辑功能无影响，则这些变量的取值组合对应的最小项称为无关最小项。 如8421BCD码中1010，1011，1100，1101，1110，1111的

52、输入对应的最小项。170无关最小项化简规则 在无关最小项对应的变量取值下，逻辑函数的值可以为0或1，记为d（或） 。 在无关最小项对应的变量取值下，逻辑函数的值可以为0或1，具体由电路的最简而定。171 0 0 1 0 1ABCD0001111000011110BCDADABF101dddddd00)15,14,13, 2 , 1 , 0()12,11, 9 , 7(),(dmDCBAF172多输出函数的化简 多数出函数的组合逻辑电路设计时，需找到各输出函数的公用项，以实现各输出逻辑函数的逻辑门共享，从而使逻辑电路总体最简。173化简示例化简示例) 7 , 6 , 2 (),() 7 , 3

53、, 1 (),(21mCBAFmCBAF AB C 00 01 11 10 0 0 000 1 1 1 10BCCAF1ABCCAF1 AB C 00 01 11 10 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 ABCBF2ABCCBF2174 输入不提供反变量，输入不提供反变量，寻找公共替代因子寻找公共替代因子BABAFABAABBFABAABB175 输入不提供反变量，用与非门实现函数输入不提供反变量，用与非门实现函数DACCBACBBADCBAF),(DACCBACBBADCBAF),(DACBACCAB)(BDACACBBDACACB176CABCABACBAF),(BCACBACBAF

54、)(),(ABCBCABCABCABCA177CDBDBDBCDBCACBAF)(),(CDBDBDBCBDCACDBDCADBCCBACBAF),(178CBCABACBAF),(ABCCABCBABCA AB C 00 01 11 10 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 179大纲 2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念 2.2 逻辑代数的公理、定理及规则逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换逻辑函数表达式的形式与转换 2.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简180小结 三种基本逻辑运算（与或非） 逻辑函数的三种表达形式（函数表达式，真值表和卡诺图） 逻辑函

55、数表达式两种基本形式（积之和及和之积） 逻辑函数的化简（代数法和卡诺图法）181习题二解答 2.1(1)CABDBF) 1 (ABCDF0001100111100111011111001110111822.1(2)ABCDF00011001110101101111DDBABADBABABABAF)()()2(ABCDF100111011111011111111832.1(3)DCBADCBADCADACDBADCAAF)()()3(ABCDF00001000110010101001010110110101111ABCDF1000110011101011100111011111011842.2(

56、1)CABACAAB)( ) 1 (CABACBCABACABACAAB）（)(1852.2(2)1)2(BABABAAB1)()()(AABBABBABABABAAB1862.2(3)CABCBACBAABCA)3(CABCBACBACBACABCBACBABBCACCBACABACBAAABCA)()()(1872.2(4)CBAABCCABCCABACACBBACACBBA)()()(CACBBACBAABC)4(1882.2(5)BABCBAABC)()5(BABABCCBBACABABCBACBABCBAABC)(1892.2(5)BABCBAABC)()5(BACBACBABACB

57、BAABCBCBAABC)1 ()()( 1902.2(6)CDBBDACACBBACADCA)()()6(CDBBDACADCBABCDACDBACDBADCBADCABCADCABDCBACDBADCBABCDACDBACADCBDBACDACACBBACADCACBBACADCA)()()(1912.3(1)() 1 (BABAABBAABLeftRight00110100100011111922.3(2)CABACAAB)( )2(ABCLeftRight00011001000101101111100111011111000111001932.4(1)CBCAF) 1 ()(CBCAF

58、)(CBCAF1942.4(2)()2(DCACBBAF)()(DCACBBAF)()(DCACBBAF1952.4(3)() 3(GFEDCBAF)(GFEDCBAF)(GFEDCBAF1962.4(4)EDCBAF)4(EDCBAF EDCBAF 1972.4(5)()5(CABBAF)(CABBAF)(CABBAF1982.5 (1)若A=B，则AB=A。 (2)若AB=AC，则B=C。(A=0) (3)若A+B=A+C，则B=C。(A=1) (4)若A+B=A+C且AB=AC，则B=C。1992.6(1)BCDBBAF) 1 (BABBA2002.6(2)1)()1 (AABBABABAABBAAF)2(2012.6(3)DCADBADABF) 3(DBADBCAACADBDBADBCADBADBDCBADBDCDBA)()()(2022.6(4)()() 4(DCEDCACBAAFADEACEDCEADACDCEDCADCEDCAA)()(3)(定理2032.6(5)CABCBBCAACF)5(BCBCBCABCABBACBCBABACBCBACBCBACBACBC