经济数学典型案例

1、共享知识分享快乐盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。经济应用典型问题1 .按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2%,半年期存款的年利率为 4.0%,每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款能有较多的收益，多多少？解(i )设货币存一年期，则一年后货币总数为：A 1 4.2%2两个后货币总数：A 1 4.2% 1 4.2% A 1 4.2%1.085764 A(ii)设货币存半年期，则存半年的利率：2.0%半年后货币总数：A 1 2.0%一 一 .一 一2一年后货币总数：A 1 2.0% 1 2

2、.0% A 1 2.0%2 3一年半后货币总数： A 1 2.0%1 2.0% A 1 2.0%3 4两年后货币总数：A 1 2.0% 1 2.0% A 1 2.0%1.082432A比较(i), (ii )知货币存一年期有较多收益，多0.00333A.2.某工厂生产某种产品，年产量为x,每台售价250元，当年产量为 600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系.解 (当。x 600时，R 250x(ii)当 600 x 800时，R 250x 20 x 600

3、230x 1.2 1045(ill)当 x 800时，R 800g250 20 200 1.96 10250x,0 x 600.一4故 R x 230x 1.2 10 , 600 x 80051.96 105,x 8003.某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台 60元.(1)要卖多少台手掌机，厂家才可保本(收回投资) ；(2)卖掉100台的话，厂家赢利或亏损了多少？(3)要获得1250元利润，需要卖多少台？解(1)设厂家生产的台数为 x,则总成本c x 7500 60x总收益 R x 110x,令 R x c x , 110x 7500 60x解得：x 1

4、50故要卖150台，厂家才可保本.(2) c 1007500 60 100 13500, R 10011000卑微如蟋轨坚型c共享知识分享快乐c 100 R 1002500故卖掉100台的话，厂家亏损 2500元(3)L x R x c x 110x 7500 60x 50x 7500Lx 1250,则 50x 7500 1250 ,解得 x 175故要获得1250元利润，需卖175台.2004 .有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费 元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素， 你会选择哪一家俱乐部（根据你每月健身次数 决定）？解 设每月健身次数为x,则第一

5、家每月总费用 C1 300 x第二家每月总费用 C2 200 2x令 C C2 ,贝U 300+x=200+2x,解得：x=100当0 x 100时，C1 C2这时选择第二家俱乐部当x 100时，C1这时选择第一家俱乐部当x 100时，C1 G,这时选择任一家俱乐部5 .设某商品的需求函数与供给函数分别为DP 变00和SP P 10.P找出均衡价格，并求此时的供给量与需求量；6 2）在同一坐标中画出供给与需求曲线；何时供给曲线过 P轴，这一点的经济意义是什么？解（1）令 D P S P ,则 5600 P 10,解得：P 80P故均衡价格为80,此时供给量与需求量为：5600 7080图1-2

6、3 （可加第6期）（2）卑微如蟋蚊、坚弓瑁叱共享知识分享快乐令S P 0,即P 10 0,P 10,故价格P 10时，供给曲线过 P轴，这一点的经济意义是当价格低于 10时，无人供货.6 .某化肥厂生产某产品 1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价 出售，超过700吨时超过的部分需打 9折出售，请将销售总收益与总销售量的函数关系用数 字表达式表出.解Q为销售量，RQ为总收益。由题意知y是x的一次函数，故设y ax b且当 x 200 时，y 60 ;当 x 210, y 59,60 200a b a 0.159 210a b b 80故 y 0.1x 80故租金为x时，

7、饭店房租收入为：22R x xy 0.1x80x0.1 x 40016000故租金为400元/套时，房租收入最大，为 16000元，当x 400时，y 40,此时饭店将空出 20套高级客房(图形略)7 .收音机每台售价为 90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购 量超过100台以上的，每多订购 100台售价就降低1元，但最低价为每台 75元：(1)将每台的实际售价 P表示为iT购量x的函数；(2)将厂方所获的利润 L表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1000台，厂方可获利润多少？解(1)当 0 x 100 时，P x 90当x 100时，由题意P是x的一次函数设

8、P ax b,当 x 100时，P 90,当 x 200时，P 8990 100aba 0.01故，解得：，故P 91 0.01x89 200a bb 91但 P 75,故 91 0.01x 75,即 x 1600故当 100 x 1600 时，P 91 0.0仅当 x 1600 时，P 7590,0 x 100故 P 91 0.01x, 100 x 160075,x 1600(2)( i)当 0 x 100 时，P 90,收益 R Px 90x,成本 C 60x故禾ij润 L R C 90x 60x 30x(ii)当 100 x 1600 时，P 91 0.0仅，收益 R 91 0.01xx

9、,成本 C 60x故利润 L R C91 0.01x x 60x(iii)当 x 1600 时，P 75,收益 R 75x,成本 C 60x故禾ij润 L R C 75x 60x 15x30x,0 x 100故利润 L 91 0.01x x 60x,100 x 160015x,x 1600当x 1000时，L91 0.01。000。000 60gl000 21000故厂方可获21000元的利润.8 .一种汽车出厂价45000元，使用后它的价值按年降价率I的标准贬值，试求此车的价3值y （元）与使用时间t （年）的函数关系. 1解使用一年的汽车的价值 y 45000 1 -32 111使用两年的

10、汽车的价值y 45000 1-1-45000 1-333tt 12故使用t年的汽车的价值 y 45000 1 -45000 -339 .某大楼有50间办公室出租，若定价每间每月租金120元，则可全部租出，租出的办公室每月需由房主负担维修费10元，若每月租金每提高一个5元，将空出一间办公室，试求房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系，并确定每间月租金多少时才能获得最大利润？这时利润是多少？解 设x为每间月租金，y为闲置办公室的间数，L为利润贝U L50 y x 10由已知当x 120时，y是x的一次函数，故设y ax b ,当 x 120 时，y 0 ;当 x 125, y 1故有0 120

11、a b1 125a b1 a5b 24,1一故 y x 24,贝U x 5y 1205故 L 50 y 5y 120 1050 y 5y 110一2即 L 5 y 146480, y 0,50故当y 14,即当闲置办公室14间时，可获得最大利润，最大利润为 6480元，此时每 间月租金为190元10.每印一本杂志的成本为 1.22元，每售出一本杂志仅能得1.20元的收入，但销售额卑微如蟋蚁坚以大象共享知识分享快乐超过15000本时还能取得超过部分收入的10%作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？销售量达到多少时才能获利达1000元？解(i )设x为销售量，则成本 C 1.22x收益

12、 R 1.20x x 15000 1.20 10%令 C R,则 1.22x 1.20x x 15000 1.20 10%解得：x 18000故至少销售18000本杂志才能保本.(ii) L R C 1.20x x 150001.20 10% 1.22x 0.1x 1800令 L 1000,则 0.1x 1800 1000,解得 x 28000故销售量达到28000时才能获利达1000元.11.某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？解 设发行时每份债券的价格定为A0元，则6.5% 100.650

13、.651000 A0eA)e，.二 A0 1000ge522.046 (兀)12.一片森林现有木材a m3,若以年增长率1.2%均匀增长，问t年后，这片森林有木材多少?n解一年后森林木材数:lim a 1 n1.2%0.012 aen2n二年后森林木材数：y2 lima 1 12% ae0.012 2 nntn1.2%0.012t故t年后森林木材数:13.国家向某企业投资ytlim a 1 agenn2万元，这家企业将投资作为抵押品向银贷款，得到相当于抵押品价格80%的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品价格80%的贷款，该企业又将新贷款进行

14、再投资，这样贷款一投资一再贷款一再投资，如此反复扩大再投资，问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？解设 Sn 2 2 0.8 2 0.82 L 2 0.8n 1n1 2 1 (0.8)n 2则 lim Snlim2 2 0.8 L 2 0.8 lim 10n nn 1 0.80.2故其实际效果相当于国家投资10万元所产生的直接效果14.设某商品的总收益 R关于销售量Q的函数为2R(Q) 104Q 0.4Q2求：(1)销售量为Q时总收入的边际收入；(2)销售量Q 50个单位时总收入的边际收入；(3)销售量Q 100个单位时总收入对 Q的弹性.解 R(Q) 104 0.8QEREQQ

15、 100(2)R(Q) q 50 104 0.8g50 64(104 0.8Q) Q 100 9 Q 100 R15.某化工厂日产能力最高为 吨)的函数1000吨，每日产品的总成本 C (单位：元)是日产量x(单位:卑微如蟋蚊、坚却以大C C(x) 1000 7x 50 x x 0,1000(1)求当日产量为100吨时的边际成本；(1)求当日产量为100吨时的平均单位成本解(1)C(x)x1007 502.xx 1009.5(2) C(x) x ioO 1000 700 500 2200C(x) x 10022001002216.某商品的价格P关于需求量Q的函数为P 10 Q,求:5(1)总收

16、益函数、平均收益函数和边际收益函数；(2)当Q 20个单位时的总收益、平均收益和边际收益.12解(1) R(Q) PQ 10Q Q5R(Q) RQ) 10 1QQ 5共享知识分享快乐_ _ _ 2L(Q) R(Q) (Q) 40Q (100 12Q Q )_2 Q 28Q 1000L (Q) 2Q 28 0可得Q 14故边际利润为零时的每周产量为 14百件.18 .设巧克力糖每周的需求量 Q (单位：公斤Q f(P)求当P 10(元)时，巧克力糖的边际需求量,)是价格P (单位：元)的函数10002(2P 1)求说明其经济意义解 Q(P)2g1000g24000(2P 1) Q (10)0.4

17、32(2P-31)其经济意义为：巧克力糖价格由原10元价再增加1元.每周需求量将减少 0.432公斤.19 .证明:若f (x),g(x)是可导函数,则: Ef(x)gg(x)ExEf(x) Eg(x).;ExEx(2)当 g(x) 0时,E f(x) g(x)Ex(3)若 y f(u),u(x)都可导，则Ef(x)ExEfEg(x).Ex(x)Ex证明ExEfExEg xEx(2)g xEx2(x)Ef xExx xg xEg xExEf (x)Ex(x)fx(x)f (u)x(x)f(u)fx(x)uf (u)uf(u)(x)Ef(u) E(x)Eu Ex20 .设某商品的需求函数为Q_p

18、e 5,求:(1)需求弹性函数；(2) p 3, 5, 6时的需求弹性，并说明其经济意义卑微如蟋蚊、嬖却以大象共享知识分享快乐解(1) (p)p dQp1p pp-e eQ dpe:55(2) (3) 0.6 1,说明当 p格上涨1%,需求减少0.6%.3时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度,即p 3时，价(5) 1,说明当p 5时，价格与需求变动的幅度相同.(6) 1.2 1,说明当p 6时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即 p 6时，价格上涨1%,需求减少1.2%.21.设某商品的需求函数为Q 100 5p,其中Q,p分别表示需求量和价格，试分别求出需求弹性大于1 ,等于1的商品价格的

19、取值范围.解 (p)(p) 1 时p dQQ dpp 10g( 5)100 5p5P100 5p(p) 1 时5P100g5 P1 可得 10 p 20.22.某商品需求函数为 Q f(p) 12 -: 2(1)求需求弹性函数；(2)求p 6时的需求弹性；(3)在p 6时，若价格上涨1%,总收益增加还是减少？将变化百分之几?解(1) (p)p dQQ dp224 p1(2) (6)- 3ER p dR1Ep R dp一 ER2故一p6 1(6) - 0.67Ep3在p 6时，若价格上涨1%,总收益增加0.67%.23.设某商品的供给函数 Q 4 5p ,求供给弹性函数及p 2时的供给弹性5P4

20、 5 pp 2时，Ep104 1024.设某产品的需求函数为Q Q(p),收益函数R pQ,其中p为产品价格.Q(p)为单调减少函数.如果当价格为dRp0对应广量为Q。时,边际记a 0,收益对价格的边际收益为dRdp pC p00 ,需求对价格的弹性为b 1,求 p 与 Q.dR dR dQQ dp dQ dp卑微如咬蚊、蹩氮以犬豫共享知识分享快乐卑微如蟋蚊、同氮以大罢c=adQ dpdRdpQodQdpp p0po dQQo dpQo, b pod( pQ)dpdQ po-dpPopo由可得,dQ故dpPodQ p -dpc 一Qo po c aPoQoabbn旦b po25.某企业生产一种

21、商品，年需求量是价格P的线性函数 Q a bp,其中a,b o,试求:(1)需求弹性；(2)需求弹性等于(p)1时的价格.p dQdppa bpg(b)bpa bp(2) (p)bpa bp1可得a2b26.设某产品的成本函数和收入函数分别为C(x) 1oo 5x 2x2, R(x) 2oox x2,其中 x 表示产品的产量，求：(1)边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数；(2)已生产并销售25个单位产品，第26个单位产品会有多少利润?解(1)C(x) 5 4xR(x) 2oo 2xL (x) R(x) C (x) 195 2x(2) L 2514527.某商品的需求量 Q为价格P的函数Q

22、 150 2P2求：(1)当P 6时的边际需求，并说明其经济意义；(2)当P 6时的需求弹性，并说明其经济意义；(3)当P 6时，若价格下降2%,总收益将变化百分之几？是增加还是减少?解(1) Q(P) 4PQ (6)24共享知识分享快乐4P22150 2P2说明当彳格为6时，再提高(下降)一个单位价格，需求将减少 (增加)24个单位商品量.小、 P dQ(2) (P)Q dP(6) 1.85说明价格上升(下降)1%,则需求减少(增加)1.85%.3 R(P) 150 2PERP dREPR dPP2丽一节(150 6P)2150 6P2150 2P卑微如蟋蚊、坚强似大塞，若价格下降2%,总收

23、益增加(0.846 2)% ,即1.692%.ER.p 6 0.846EP128.求下列经济应用问题中的最大值或最小值：(1)假设某种商品的需求量 Q是单价P的函数Q 12000 80P ,商品的总成本C是需求 量Q的函数C 25000 50Q,每单位商品需纳税2.试求使销售利润最大的商品价格和最大利润;x(2)设价格函数P 15e 3( x为产量)求最大收益时的产量、价格和收益；(3)某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为N批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批(此时商品的库存量的平均彳1为

24、商品批量的一半).问N为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？(4)设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R(x) 100x x2 ,总成本函数为C(x) 200 50x x2 ,问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得最大利润的情况 下，总税额最大?(5)设生产某商品的总成本为 C(x) 10000 50x x2 (x为产量)，问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？解 (1) L(P) P(12000 80P) 25000 50(12000 80P) 2(12000 80P)2649000 16160P 80PL (P) 16160 160P 0得 P 101L (P)160

25、 0 , P 101 为极小值点.依题意，最值一定存在，所以 P 101为使销售利润最大的商品价格，此时最大利润为L(101)649000 16160g101 80g012 167080x(2) R(x)xg15e 3x15xe 3XR(x) 15e 3x15xe 3gx5e 3(3 x)R(x) 0 得 x 30 x 3 时 R (x) 0x 3时 R(x) 0x 3为极大值点依题意，此唯一的极大值点即为最大值点，即 x 3时有最大收益1此时P 15e1最大收益为R(3) 45e(3)设每年的生产准备费与库存费之和为C,批量为x则C(x) 10001000000xx 0.05 2910 xx

26、 40由 C(x)1109、2得驻点 x040 x2 105由 C(x)2 1093x0,知驻点为最小值点,因此，x 20万件时，C最小，此时N10cg20万(4)设每件商品征收的货物税为a ,L(x) R(x) C(x) ax22100x x (200 50x x ) ax22x2 (50 a)x 200L(x) 4x 50 a.,、八 50 a .,、令L (x) 0得x .此时L(x)取最大值.4税收为Taxa(50 a)41T -(50 2a) 0a 25共享知识分享快乐.1T 2 ，a 25时T取最大值.故征收货物税应为25.(5) C(x) 210000 50x xx50幽0C(x

27、) 1100002- x令 C (x) 0得 x 100(x100 舍去)C (x)20000 八30xx 100时C(x)取得最小值，即产量为 100时，平均成本最低29.求下列经济应用问题的最大、最小值：(1)某商场一年内要分批购进某商品2400件，每件商品批发价为 6元(购进)，每件商品每年占用银行资金为10%利率，每批商品的采购费用为160元，问分几批购进时，才能使上述两项开支之和最少(不包括商品批发价)?(2)某企业生产产品x件时，总成本函数为C(x) ax2 bx c,总收益函数为2R(x) ax x (a,b,c,0,a),当企业按最大利润投产时，对每件产品征收税额为多少才能使总

28、税额最大？解(1)设分x批购进，两项开支之和为g(x)2400 c, g(x) 160x g6g0%x240C6160x -xg (x) 160240C62-x令 g (x) 0 得 x 3g (x)2g240gs3xg(x)在x 3也取最小值.故分三批购g(x)在x 3取得极小值，由于驻点唯一，所以 进，两项开支之和最少.(2)设每件产品税额为t ,那么利润为L(x) R(x) C(x) tx/22(x x) (ax bx c) tx2( a)x ( b t)x c ,L (x) 2( a)x b t ,卑微如蟋蚊、蟹琳以大塞共享知识分享快乐令L (x) 0 ,得驻点x一bt，又 L (x)

29、 2(2( a)a) 0所以此时取得最大利润,总税额为T txT (t) 0 即(b2t 0 a)t)t a)卑微如蟋蚊、坚却以大象2此时总税额最大.征收税额应为一b230.已知某产品产量的变化率是时间t的函数f(t) at b (a,b为带数)，该此产品的产量为 P(t),且 P(0) 0,求 P(t)解依题意得P(t) = at + b1 2_所以 P(t) = (at + b) dt = at + bt + C2而P(0) = C = 0所以P(t)=1at 10001n 3 - dp + bt231.设某商品的需求量 Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为1000 (即P 0时Q 10

30、00 ),已知需求量的变化率(也除需求)为 Q(P)10001n3 a1)P求需求量关于价格3的弹性.解 Q(P) Q(P)dPp11000 - C3由 Q(0) 1000 得 C 0p1(P) 1000 3需求量关于价格的弹性pQJ(P) P Q(P)1 1000ln 3 Pln33p11000 -332.已知边际成本为C(x)257 国，固定成本为1000,求总成本函数解 C(x) 725Jx，C(x)(7 手)dx 7x 50 Vx C共享知识分享快乐卑微如蟋蚊、坚目骑以大罢又 C(0) 1000C 1000. C(x) 7x 50. x 10005 2.已知边际收益R(x) a bx

31、,求收益函数解 R(x) (a bx)dxb 2ax x C t/ R(0)02，人，b 2 ax - x232.汽船所耗燃料与其行进的速度的立方成正比，已知汽船行进中，当速度是10哩/小时时，燃料耗费是 a元，其他耗费是b元(人力、保险、以及各种耗费).问汽船的经济速 度是多少？解 设汽船的速度是v哩/小时，每小时运行汽船的费用是f元/小时.则设汽船行进了 S哩，则S vt .总费用是F ,则S o b F ft f S S(kv2 b).vv上式两端对v求导，则得F S(2kv 与)， v由此求出驻点v0b，且当v v0时F 0 ,当v v0时F极小值.又由题设条件有k(10)3 a ，0

32、,即F在vv0达到a从而求得k ，最后得到100031000b ,2a33.已知边际成本C (x) 100 2x ,求当产量由x 20增加到x 30时，应追加的成本解应追加的成本数为:303020 c (x)dx 20 (100 2x)dx 50034.已知边际成本C (x)130 4x,边际收益为R(x) 60 2x ,求最大利润(设固定成本为0).共享知识分享快乐22解 C(x) (30 4x)dx 30x 2x C 30x 2x (.固定成本为 0) 2R(x) (60 2x)dx 60x x C . - R(0) 0. C 02 ,R(x) 60x x2.L(x) R(x) C(x)

33、60x x2 30x 2x2 30x 3x2L (x) 30 6x 0, x 5, L (x)6 0当x 5时有最大利润，最大利润为L 7535.某地区居民购买冰箱的消费支出W(x)的变化率是居民总收入 x的函数，1W(x) 200Vx当居民收入由4亿元增加至9亿元时，购买冰箱的消费支出增加多少？9 911 厂91解4W(x)4 20双而44赤(亿)1 故购买冰箱的消费支出增加而亿.36.某公司按利率10%(连续复利)贷款100万元购买某设备，该设备使用10年后报废,公司每年可收入b元.b为何时，公司不会亏本?(2)20万元时，求内部利率(应满足的方程),20万元时，求收益的资本价值10100

34、.1 10年后这笔贷款的本利和：100e100e年后的总收益:1010,0.1(10 t)be dt 10eb 1 e0若公司不亏本，则1、100e 10eb(1 e )则 b1011 e(2)设内部利率为10010 t 200 20e dt (110即51 e资本价值=攵益流现值-投入资金的现值100 1t20e dt 1000卑微如蟋蚊、坚却以大象1200 200e100 1001200e37.解下列经济应用问题。(1)已知生产某产品的边际成本一一 2 一C (x) 3x 18x30 ,问当产量x由12单位减少到3单位时,总成本减少多少?(2)利率,某企业投资232万元扩建一个工厂, (只

35、需求出个满足的方程)该厂投产期20年,每年收益20万元，求内部x已知某商场销售电视机的边际利润为20)L (x) 250 (x10试求售出40台电视机的总利润售出60台时，前30台与后30台的平均利润各为多少?解(1)减少的成本123 c (x)dx123x2 18x 30 dx 75620(2) 设内部利润为则23220e tdt解得：11.620 eL(x)250x .dx102250x c20L(0) 0 c 0L(x) 250x20售出40台电视机的总利润为：L (40) 9920? L(30) 7455,L (30)7455248.53030L(60) 14820, L(60) L(

36、30) 7365故售出60台时, 后30台的平均利润为L(60) L(30)245.530前30台的平均利润为248.5245.5.38.X公司和Y公司机床行业的两个竞争对手，这两家公司的主要产品的供给函数分别 为PX 1000 5QX； PY 1600 4QY(1)X公司和Y公司当前的价格弹性是多少?(2)假定Y降价后，使Qy增加到300个单位，同时导致 X的销售量Qx下降到75个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少?解 (1)X 公司 Px 500, Qx 100dQxPx1PXdPT QX 5 Q；故X公司当前的价格弹性为 -500 1.5 100Y 公司 PY 600, Qy 25

37、0dQY PY 1 PY dPT QT 4 QY故Y公司当前的价格弹性为1 600 0.6.4 250(2)Qy 300 时，PY 400Qx 75 时，PY 625X公司产品的交叉价格弹性为75 1000.7（注：用弧交叉弹性公式）.75 100400 600400 60039.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为P1和P2,销售量分别为Q1和Q2,需求函数分别为Q1240.2R,Q210 0.5P2 ；总成本函数为C 34 40Q1Q2,问厂家如何确定两个市场的售价，能使得获得的总利润最大？最大利润为多少？解设利润函数为L,则L PQ1 P2Q2 C _2_2 32P 30P

38、2 0.2P0.5P21394又 Lp1 32 0.4P1, Lp2 30 P2令其为0,解得P1=80, P2=30,此为唯一驻点.又由题意知最大利润一定存在，故 P1=80, P2=30时取得最大利润336.36.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为3 x y x, 4 x 2 y y, d 0，求使产鱼总量最大的放养数？x y x 4 x 2 y y2 x 4 y为0,解得3243-22 , y022-解设产鱼总量为T,则T 3令 Tx 3 2 x 2 y, Ty 4x。共享知识分享快乐唯一驻点，且由题意知最大值一定存在，故xo,

39、 y。即为所求.40 .假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 Pi=18-2Qi; P2=12-Q2,其中Pi和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Qi和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是C 2Q 5 ,其中Q表示该产品在两个市场的销售总量即Q Q1 Q2.(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企 业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售最及其统一的价 格，使该企业的总利润最大，并比较两种价格策略下的总

40、利润大少解(1)设利润函数为L,则L P1Q1 P2Q22 Q Q25 _2_216Q110Q22Q Q25令 LQ1 16 4Q1,LQ2 10 2Q2为0,解得唯一驻点Q1 4, Q 5,又因最大利润一定存在.故 Q1=4, P1=10； Q2=5, P2=7 时有最大利润 L=52;(2)令 P1 = P2=P,则L PQ1 PQ2 2 Q Q253 224P - P 472令dL 24 3P 0 ,得唯一驻点P=8. dP因最大利润一定存在，故P1桂8, Q1 5, Q2 4时有最大利润 L=49,显然，实行价格差别策略时总利润要大些.41 .从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周

41、长的直角三角形,一 .222解设另两边长分别为x, y,则x y L ,周长C x y l ,题目即为求C x y l在约束条件x2 y2 L2下的极值问题.设拉格朗日函数222F x, y, x y l x y l令 Fx 1 2xFy 1 2y222F x y l为0,联立解方程组得x y l ,唯一驻点，且最大周长一定存在，2故当x y l时有最大周长.242 .某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，根据统计资料，钺售收入R（万元）与电台广告费用 X1（万元）及报纸广告费用 X2（万元）之间的关系有如下的经验公式:22R 15 14x1 32x2 8X1X2 2x1 10x2

42、在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略解利润函数XiX21513xi2231x2 8x1x2 2x110x2令 Lx14x1 8x213Lx28x120x2 31为0,联立解得Xi0.75（万元），X21.25（万元）ACL4,B 为上8c8, CX1 X22l20X2_ 2B 16 0,A0,故点（0.75, 1.25）为极大值点,由问题的实际意义可知，它为最大值点，即此时的最优广告策略为用 广告，用1.25万元作报纸广告.（2）做拉格朗日函数0.75万元作电台F X1 ,X2,L x1,x2x11513X31X2x2 1.5228x

43、1x2 2x110x2X1x21.5卑微如蟋蚊、蹩瑁以大裁令 FX1 13 8x2 4X1为0,联立解得为0,X21.5Fx2F31X）8x120x2X2 1.5即广告费用1.5万元全部用于报纸广告,43.设生产某种产品需要投入两种要素，可使利润最大X1和X2分别为两要素的投入量，Q为产出量,若生产函数为Q 2X1X2 ,其中，为正常数，且1 ,假设两种要素的价格分别为PiT PX12X2在约束条件和P2,试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小解此为有约束条件的多元函数的极值问题，即投入总费用Q 2X1 x2 12下的极值问题.设拉格朗日函数F x”X2,用1巳X22X

44、1X2 121令 Fx1P gz x X2共享知识分享快乐Fx22gzXiX2F2xiX212 _Po_P为0,联立解得x16, x26由题意分析可知，此时投入总费用最小44.某企业在雇用x名技术工人、y名非技术工人时，产品的产量Q 8x2 12xy 3y2若企业只能雇用 230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量Q最大？解问题为产量函数Q 8x2 12xy 3y2在附加条件x y 230下的极值问题作拉格朗日函数 22L x,y, 8x 12xy 3y x y 230令 Lx 16x 12y0Ly 12x 6y 0L x y 230 0解得 x 90 , y 140因为由问题

45、本身可知最大产量一定存在，所以用90名技术工人、140名非技术工人时产量Q最大 45.为修建高速公路，要在一山坡中辟出一条长500m,宽20m的通道，据测量，以出发点一侧为原点，往另一侧方向为x轴(0 x 20),往公路延伸方向为 y轴(0 y 500),且山坡的高度为 . 兀.兀、z 10(siny sin x)50020试计算所需挖掉的土方量。解这是一个二重积分的应用问题，其中积分区域 D (x,y) 0 x 20,0 y 500于 是所需挖掉的土方量卑微如蟋蚊、坚却以大象共享知识分享快乐10(sinD500 y si喝 X)db20dx0500兀(10sin y050010sin x)d

46、y202005005000兀.兀,cosy 10ysin x dx50020020(也兀104X兀54 10兀5000sin x) dx2052010 兀cos x兀2003127324(m )7t46.某商品的销售量x是价格P的函数，如果要使该商品的销售收入在价格变化的情况下保持不变，则销售量x对于彳格P的函数关系满足什么样的微分方程？在这种情况下，该商品的需求量相对价格 P的弹性是多少？解 由题意得销售收入 R(P) P x(P) C (常数)，在上式两端对 P求导，得到x(P)所 满足的微分方程.x P Px P 0即史上卫dP P口 Ex P dx P x ,1.EP x dP x P

47、47.已知某商品的需求价格弹性为EQEPp 1np 1 ,且当P 1时，需求量Q 1.(1)求商品对价格的需求函数；(2)当P时，需求是否趋于稳定.解由 EP P dQ P lnP 1 EP Q dP得到dQQ两端积分得lnQ1 ln P dP.C Pln P将初始条件P 1时，Q1代入上式得C0于是所求的需求函数为Q P P.(2)因为当P时，Q 0,即需求趋于稳定48 .已知某商品的需求量 Q对价格P的弹性3P3,而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数.EQ P dQ 3/曰解 由3P得到EP Q dP_2 -3P dPdQQ两边积分，得lnQ P3 Ci卑微如蟋蚊、要谓以大象共享

48、知识分享快乐a _ _2, S=S p =bP.其中a 0, b0为常数，价格P是时间t的函数，且满足dP 1 Q PdtP (K为正常数),Ce P33又P 0时，Q 1,故C 1,于是所求的需求函数为 Q e P49 .已知某商品的需求量 Q与供给量S都是价格P的函数：Q Q卑微如蟋蚊、坚却以大象假设当t 0时，价格为1,试求:(1)需求量等于供给量的均衡价格Pe；(2)价格函数P t ; tlim P t解(1)由鸟 PbP即得P Pea (2)由(1)得一bpA将其代入方程dt_ kb a=2 P b得到dP dtkbP2abPPe3P3即用kbdt两边积分，得P3P3e3kbtCe将t 0,P 1代入上式,Pe3 ,于是Pe31Pe33kbt e3kbt因为tlime0,k0,b0，故lim P(t)Pe.50.某银行帐户，以连续复利方式计息, 人民币的速率用这一帐户支付职工工资，若年利率为5%,希望连续t以年为单位，号上余额20年以每年12000元B f(t)所满足的微分方程，且问当初始存入的数额Bo为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0.解 虽然，银行余额的变化速率 =利息盈取速率-工资支付速率因为时间t以年为单位，银行余额的变化速率为dB,利息盈取的速率为每年 0.05B元,dt工资支付的速率为每年 12000元，于是，有0