河南省信阳市高二数学下学期期末试卷理(含解析)

1、河南省信阳市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理（含解析）-2 - / 142015-2016学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1.若函数 f （x） =sin1 cosx ,贝U f' （1） = （）A. sin1+cos12.设随机变量 WB. cos1 C . sin1 D . sin1 cos1N(g2.b )，且 P(E v 1)=P(E >2) =0.3，贝U P ( E v 2 w +1)=(A. 0.4B, 0.5 C. 0.63.用反证法证明命题：“ a少有一个负数”时的假设为（D. 0.7b, c, d

2、 R,)a+b=1, c+d=1 ,且 ac+bd> 1,贝U a, b, c, d中至A.C.a,a,c, d中至少有一个正数c, d全都大于等于0 D.B. a, a, b,c,c, d全为正数中至多有一个负数4.3 =8C n二,则n的值为（A.B. 7C. 8 D. 95.在复平面内,若复数Z1和Z2对应的点分别是这2A ( 2, - 1)和 B (0, 1),则一=(E1A.B.-i C.52.6.A.7.Lia）展开式中的常数项为（第5项B.第6项C.第5项或第6项已知 ABC的周长为c,它的内切圆半径为 r,D.不存在则 ABC的面积为寺cr.运用类比推理可知,若三棱椎D-

3、 ABC的表面积为6/3，内切球的半径为,则三棱锥 D- ABC的体积为（A.B. . ：； C. 3 D. 2.8.小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习，每人只去人去的城市都不同”事件B为“小张单独去了一个城市”，则个城市，设事件P （A|B）=（A为“三个）A.B.9.若函数f (x)A. (0, +8)C旦g=x3- ax2B. (1,D.-ax在区间（0, 1）内只有极小值，则实数 a的取值范围是（+ OO)C. (0, 1) D. (0, 2)10.甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为32二和二（两人是否击中目标相互独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等

4、的概率为（A.B.25144D.6114411.设函数当x>0时, A.（一巴f' (x)是偶函数 f (x) (xC (-8, 0) U ( 0, xf' ( x) - f (x) V0,则使得 f (x) >0 成立的1) U ( 0, 1)B. (T, 0) U ( 1, +8)+ oo)的导函数，f ( - 1) =0, x的取值范围是()C. ( 1, 0) U ( 0, 1)D. (0, 1) U ( 1 , +8)河南省信阳市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)-12 - / 141拆分成多个不同的12.定义：分子为1且分母为正整数

5、的分数叫做单位分数，我们可以把_*m, n C N ,则 m，依此拆分法n=()A. - 2 B. - 4 C. - 6 D. - 8二、填空题(每题5分，共20分)13.对具有线性相关关系的变量x, y,有一组观测数据(K, y) (i=1 , 2,，8),其回归直线方程是 OBx+“，且X1+X2+X3+X8=3 (y1+y2+y3+y8)=6,则”二.y 6 aa 14 .某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天，则不同的值班安排种数为 (用数字作答).15 .(理)设整数 m是从不等式x2-2x-8W0的整数解的集合 S中随机抽取的

6、一个元素，记随机变量E=m2,则 七的数学期望EE=.16 .已知e是自然对数的底数，实数a,b满足eb=2a- 3,则12a - b- 1|的最小值为 三、解答题-|!17117 .已知复数z=k- 2i (kC R)的共轲复数士，且z- (b-i) 卫 - 2i . 22(I)求k的值；(n)若过点(0, - 2)的直线l的斜率为k,求直线l与曲线yG以及y轴所围成的图形 的面积.18 .为研究心理健康与是否是留守儿童的关系，某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本，其中留守儿童有40人，非留守儿童有 70人，对他们进行了心理测试，并绘制了如图的等高条形图，试问：能否在犯错误的概率

7、不超过0.001的前提下认为心理健康与是否0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828是留守儿童有关系？ 参考数据： P ( K2 0.500.400.25>k) k 0.4550.7081.323(n=a+b+c+d)K2=门 Cad- be) ”(afb) (c+d) (d+c) Cb+d)19.已知函数f (x)二也(I)求f (x)的极值；(n)试比较20162017与20172016的大小，并说明理由.20.甲、乙、丙三人准备报考某大学， 假设甲考上的概率为,甲，丙两都考不上的概率为25

8、乙，丙两都考上的概率为310,且三人能否考上相互独立.22.已知函数(I )若函数1上的最值；(n)若 a=(I)求乙、丙两人各自考上的概率；X的分布列(n)设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求 与数学期望.21.对于任意实数x,符号冈表示不超过x的最大整数，如2.2=2，-3.5= -4,设数列 an的通项公式为 an=log 21+log 22+log 23+log 2 (2n1).(I)求 a1?a2?a3的值；(n)是否存在实数a,使得an= (n-2) ?2n+a (nCN*),并说明理由.f (x) =ex+ax+b (awo, bw。).f (x)的图

9、象在点(0, f (0)处的切线方程为 y=2,求f (x)在区间-2, b,试讨论函数f (x)在区间(1, +8)上零点的个数.2015-2016学年河南省信阳市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分，共60分)1 .若函数 f (x) =sin1 cosx ,贝U f' (1) = ()A. sin1+cos1B. cos1 C . sin1 D . sin1 cos1【考点】导数的运算.【分析】先求出函数的导数f' (x)的解析式，再把 x=1代入f' (x)的解析式运算求得结果.【解答】 解：,函数f (x) =sin1 cos

10、x, f' ( x) =sinx ,1 . f (1) =sin1 , 故选：C2 .设随机变量 E N(科，b2),且 P ( E v 1) =P( E >2) =0.3，贝U P ( E v 2 科 +1)=()A. 0.4 B, 0.5 C, 0.6 D. 0.7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】随机变量 七服从正态分布 N (小b 2),且P ( E v - 1) =P ( E >2) =0.3 ,到曲线 关于x=0.5对称，利用P (E >2) =0.3 ,根据概率的性质得到结果.【解答】解：二.随机变量 士服从正态分布 N (gb 2)

11、,且P ( E v - 1) =P ( E >2) =0.3 ,曲线关于x=0.5对称，. P ( E >2) =0.3 , .P (E2+1) =P (E V 2) =0.7 , 故选：D.3.用反证法证明命题："a, b, c, dC R, a+b=1, c+d=1 ,且 ac+bd> 1,则 a, b, c, d 中至 少有一个负数”时的假设为()A. a, b, c, d中至少有一个正数B. a, b, c, d全为正数C. a, b, c, d全都大于等于0 D. a, b, c, d中至多有一个负数 【考点】反证法.【分析】用反证法证明数学命题时，应先假

12、设结论的否定成立.【解答】解：“a, b, c, d中至少有一个负数”的否定为“ a,b, c, d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“ a,b, c, d全都大于等于0”，故选C.324 .若A #8C 则n的值为()A. 6B. 7C. 8D. 9【考点】排列及排列数公式.【分析】根据排列与组合的公式，列出方程, 【解答】解： A3=8G2,求出解即可.1. n ( n 1) ( n - 2)=8Xn(n- 1)即 n - 2=4;解得n=6.故选：A.Z n5 .在复平面内，若复数 zi和Z2对应的点分别是 A( - 2, - 1)和B (0, 1),则一二=()

13、D.【考点】复数代数形式的乘除运算.A ( 2, - 1)和 B (0, 1),得 Z1=- 2- i ,Z2=i ,【分析】由复数Z1和Z2对应的点分别是后把Z1, Z2的值代入再由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求.【解答】解：由复数Z1和Z2对应的点分别是 A (-2, - 1)和B(0, 1),得 Z1= 2 i > Z2=i .21 式-2S- 1 - 21 _ 12 .川 三i"-T = (-2-i)(-2+i)= 5-二一三重故选：A.6 .【冥士)i"展开式中的常数项为()A.第5项B.第6项 C.第5项或第6项 D.不存在【考点】二项式系数的性质

14、.【分析】根据题意，写出 在J )1 0展开式中的通项为 1+1,令x的指数为0,可得r的值，由 项数与r的关系，可得答案.【解答】解：根据题意， &+» 1。展开式中的通项为 Tr+1=C0r (x) 10r 4)r=C0r (x) 102r, 令 10-2r=0 ,可得 r=5 ;则其常数项为第5+1=6项；故选B.7 .已知 ABC的周长为c,它的内切圆半径为r,则 ABC的面积为有cr .运用类比推理可知, 若三棱椎D- ABC的表面积为6V3,内切球的半径为y,则三棱锥D- ABC的体积为()【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点

15、类比点或直线，由直线 类比 直线或平面, 由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类 比求四面体的体积即可.【解答】解：设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是 R,，四面体的体积等于以 O为顶点，分别以四个面为底面的 4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为 V四面体A- BCD=- (S1+S2+S3+S4) RvSR=|xWx=/1故选：B.8 .小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习，每人只去一个城市，设事件A为“三个人去的城市都不同”事件 B为“小张单独去了一个城市"，则 P (A|B)=()A-1 B-1 C-卷 D&a

16、mp;【考点】条件概率与独立事件.【分析】这是求小张单独去了一个城市的前提下，三个人去的城市都不同的概率，求出相应 基本事件的个数，即可得出结论.3个城市可选，小王、小李只能在小张剩下的两【解答】解：小张单独去了一个城市，则有 个城市中选择，可能性为 2X2=4所以小张单独去了一个城市的可能性为3X2X2=12因为三个人去的城市都不同的可能性为3X2X 1=6,所以 P (A|B)=-L dLa故选：D.9 .若函数f (x) =x3-ax2-ax在区间(0, 1)内只有极小值，则实数 a的取值范围是()A. (0, +8)B. (1, +oo)C. (0, 1) D, (0, 2)【考点】利

17、用导数研究函数的极值.【分析】求出函数的导数，根据二次函数的性质以及极值的意义得到关于a的不等式组，解出即可.【解答】解：函数f (x) =x3- ax2- ax,f' ( x) =3x2- 2ax - a,若f (x)在区间(0, 1)内只有极小值，(0)<0产>0即f - a<0 3 _ 2a _解得：0vav1, 故选：C.10.甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为q o一一和2(两人是否击中目标相互独4 3立)，若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为(A.B.2512D.61144互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式.先求

18、出两个人都击中一次的概率、两个人都击中2次的概率，相加，即得所求.解：两个人都击中一次的概率为132/1两个人都击中2次的概率为号)2?寻故两人命中目标的次数相等的概率为 故选：C.11.设函数 f' (x)是偶函数 f (x) (xC (-8, 0) U ( 0, +8)的导函数，f ( - 1) =0, 当x>0时，xf ' ( x) - f (x) < 0,则使得f (x) >0成立的x的取值范围是()A.(一巴1)u (0,1)B.(T,0)U ( 1, +8)C.(T,0)U ( 0, 1)D. (0, 1) U ( 1 , +8)【考点】利用导数研

19、究函数的单调性；函数奇偶性的性质.【分析】由已知当x>0时总有xf ' (x) - f (x) V0成立，可判断函数 g (x)=在(0,+8)上为减函数，由已知 f (x)是定义在 R上的奇函数，可证明 g (x)在(-8, 0)上为 减函数，不等式f (x) >0等价于x?g (x) >0,分类讨论即可得到答案.f(K)【解答】解：令g (x)4巴 戈贝U g， (x) =2,. xf ' ( x) - f (x) V 0, g' ( x) < 0,，g (x)在(0, +8)上为减函数，又g ( x) =-g (x),，函数g (x)为定义

20、域上的奇函数，g (x)在(-8, 0)上为减函数.又 g (T) =0, g (1) =0,.不等式 f (x) >0? x?g (x) >0,. . x> 0, g (x) >0 或 x<0, g (x) V0,0< x< 1 或-1vxv 0,. f (x) > 0成立的x的取值范围是(-1, 0) u (0,1),故选：C.12 .定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和.例如:1 .1 ,1 . 12 4 6 12,依此拆分法可得1+工+工+工+1 + + *+ '+1+】 +1

21、+1 ),其中 m, neN,则 m2 6 12 m n p30 42 56 72 90 110 133 156 182n=(A. - 2【考点】【分析】【解答】B. - 4 C. - 6 D. - 8归纳推理.结合裂项相消法，可得1 1 nH-n 1I = -一m n mn 411111= 15 14 20 14解得m, n值，可得答案.解：: 1=L+jL+_Ld+_L+-L+-LuL+L+_LLL+.2 6 12 ID n 30 42 56 72 90 110 32 156 1822=1 X2, 6=2 X 3, 30=5X6, 42=6X7,56=7X8,72=8X9, 90=9X10

22、,110=10X 11, 132=11X12, 156=12X 13, 182=13X 14J+U J2+L，2 6 12 nl nW 42 5® 72 90 110 132 156 152=(1 - )+冉+)l 4，m n 5 14 人1111_min111,1 .11m1 nrm-451 -14一事-2011141. m=14 n=20, " m- n= 6, 故选：C.二、填空题(每题5分，共20分)13 .对具有线性相关关系的变量x, y,有一组观测数据(x, y) (i=1 , 2,，8),其回归八1-、八直线方程是 IF-X+ _ ,且 X1+X2+X3+X8

23、=3 (y1+y2+y3+y8)=6,贝U 1a = .【考点】线性回归方程."-5 !八【分析】由题意求得样本中心点(乂，T),代入回归直线方程即可求得占的值.【解答 解：由 X1+X2+X3+X8=3 (y1+y2+y3+y8) =6,(X1+X2+X3+X8)告，式=g (y1+yz+y3+y8)lx 3.16 4g由回归直线方程过样本中心点（八-I_ _ 1 _ 1 3 =厂不支=故答案为：IO14 .某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天，则不同的值班安排种数为144 （用数字作答）.【考点】排列、组合及简单计数问题.

24、【分析】依题意，先求出相邻 2天的所有种数，再选 2名值相邻的2天，剩下2人各值1天 利用分步乘法计数原理即可求得答案.【解答】解：单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天.故相邻的有 12, 34, 5, 6 和 12, 3, 45, 6 和 12, 3, 4, 56 和 1, 23, 45, 6 和 1, 23, 4,56和1, 2, 34, 56,共6种情形，选2名值相邻的2天，剩下2人各值1天，故有6A42A22=144种，故答案为：14415 .（理）设整数 m是从不等式x2-2x-8W0的整数解的集合 S中随机抽取的一个元素，记随

25、 机变量E=m：则七的数学期望EE= 5 .【考点】离散型随机变量的期望与方差；二次函数的性质.【分析】先解不等式x2-2x-8W0的整数解的集合 S,再由随机变量 E=R,求出分布列，用公式求出期望.S= -2, - 1, 0, 1,【解答】解：由x2-2x-8W0得-2WxW4,符合条件的整数解的集合2, 3, 4.Y =南，故变量可取的值分别为0, 1, 4, 9, 16,相应的概率分别为y,宁,寺，十1?2:11 I的:七 的数学期望 EE =0X +1X+4X+9X+16X=5故答案为：5.16.已知e是自然对数的底数，实数 a, b满足eb=2a - 3,则12a - bT|的最小

26、值为3 .【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函 数的单调性.【分析】利用已知条件化简表达式，利用构造法以及函数的导数求解函数的最值.【解答】解：e是自然对数的底数，实数 a, b满足eb=2a-3, 2a-3>0,可得b=ln （2a-3）, |2a - b- 1|=|2a - In （2a 3） 1| ,令 2a 3=x,上式化为 |xTnx+2|,令 y=x Tnx+2 ,可得 y' =1 -,由 y' =0,可得x=1 ,当 xC（0, 1）时，y' v 0,函数是减函数，x>1时，v >0,函数是增函

27、数，x=1时，y=x- lnx取得最小值：3.则12a -b- 1|的最小值为3.故答案为：3.河南省信阳市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理（含解析）三、解答题1- 11717 .已知复数z=k - 2i （kC R）的共轲复数历，且z- 吟-i ）磊-2i .I2（I）求k的值；（n）若过点（0, - 2）的直线l的斜率为k,求直线l与曲线y值以及y轴所围成的图形 的面积.【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义.【分析】（I）利用复数相等与代数运算，列出方程求出k的值;再利用积分求对应的面积.（n）写出直线l的方程，求出直线l与曲线y=q的交点,【解答】解

28、：（I）复数z=k - 2i的共轲复数；=k+2i ,口 1171且 z - （- i ） =Z - 2i ,22(k 2i )(k+2i )-i= k - i 2即k -13 - / 14解得k=1;（n）过点（0, - 2）的直线l的斜率为k=1,直线l的方程为：y=x-2；，直线l与曲线y=F的交点为（4, 2）；如图所示,曲线y=-八与直线y=x-2以及y轴所围成的图形的面积为:S>A OBC+ 0 02Vxdx+ / 24 (Vic - x+2)(f-yx2+2x)1618 .为研究心理健康与是否是留守儿童的关系，某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本，其中留守儿童有

29、40人，非留守儿童有 70人，对他们进行了心理测试，并绘制了河南省信阳市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)如图的等高条形图，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系？参考数据：P ( K2 0.500.400.250.150.100.05>k) k 0.4550.7081.3232.0722.7063.841K2="_) (n=a+b+c+d)(a-Hb) (c+d) a+c) Cb+d)0.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828【考点】独立性检验的应用.【分析】根据等高条形

30、图，可得留守儿童有40人，心理健康的有12人，心理不健康的有 28人，非留守儿童有 70人，心理健康的有 56人，心理不健康的有14人，把数据代入公式，求 出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论.【解答】解：根据等高条形图，可得留守儿童有40人，心理健康的有12人，心理不健康的有28人，非留守儿童有 70人，心理健康的有 56人，心理不健康的有 14人，/'一：68X 42X 40X7026.96 >10.828.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系.19.已知函数f (x)上区.(I )求f(X)的极值；(n)试比较20162017与2

31、0172016的大小，并说明理由.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】(I)求出f (x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出 函数的极值即可；(n)根据函数的单调性判断即可.【解答】解：(I) f(X)亍二的定义域是(0, +8),-18 - / 141 - Lnx令 f' (x) >0,解得：xv e,令 f'.f (x)在(0e)递增，在(e, +00(x) < 0,解得：x> e, )递减， f ( x)极大值 =f(e)，无极小值;e(n) f (x),+°°)递减,20162017 .20171n201

32、6 >20161n2017 ,.20162017> 2017201620.甲、乙、丙三人准备报考某大学， 假设甲考上的概率为,甲，丙两都考不上的概率为25乙，丙两都考上的概率为310,且三人能否考上相互独立.(I)求乙、丙两人各自考上的概率；X的分布列(n)设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求 与数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列.【分析】(I)设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，由已知条件利 用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出乙、丙两人各自考上的概率

33、.(n)由题意 X的可能取值为1, 3,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望.【解答】解：(I)设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，2则 P (A)=,且3解得P (C)=二,P (B) =Lbl，乙考上的概率为,丙考上的概率为(n)由题意 X的可能取值为1, 2,P(X=1)=二十=上二-PX " = 525 525?13P(丁 一一X的分布列为：XX X2一丁+一119252625312521.对于任意实数x,符号冈表示不超过x的最大整数，如2.2=2，-3.5= -4,设数列an的通项公式为 an=log 2l+log 22+log 23+log

34、2 (2n-1).(I)求 a1?a2?a3的值；(n)是否存在实数a,使得an= (n-2) ?2 n+a (nCN*),并说明理由.【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(1)计算a1=0,故a?a2?a3=0；(2)根据对数性质得出an=1?0+2?1+22?2+23?3+2n ” (n-1),使用错位相减法求出an,得出a的值.【解答】 解：(I) a1=log 21=0 , a2=log 21+log 22+log 23=0+1+1=2 ,a3=log 21+log 22+log 23+ - +log 27=0+1 + 1+2+2+2+2=10 .a1?a2?a3=0.(II )当 2n1wxw 2n 1 时，log 2x=n - 1 .log 22n 1+log 22n 1+1+log 22n 1+2+ +log 2(2n1) = (n1) (2n1 2n1+1) =2n 1(n - 1).an=1?0+2?1+22?2+23?3+ -