不定积分习题

1、习题课(六)内容：不定积分的概念及积分方法根本要求：1.理解原函数与不定积分的概念.2 .掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系.3 .掌握不定积分的积分方法.4 .会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分. 内容与方法精讲：1 .原函数与不定积分的概念1 .原函数定义：在区间I上假设F (x) f(x)(即dF(x) f(x)dx),称函数F(x) 是函数f(x)在区间I上的一个原函数.2 .原函数存在的条件：假设函数f (x)在区间I上连续.那么f (x)在区间I上有原函数.3 .不定积分：函数 f (x)在区间I上的所有原函数 F(x) C称为f (x)在区间I上 的不定

2、积分,记作 f(x)dx F (x) C.4 .不定积分与导数的关系：(1) 先积分再求导(或微分)f(x)dx f(x),或 d f(x)dx f(x)dx；(2) 先求导(或微分)再积分F (x)dx F(x) C,或dF(x) F(x) C.5 .不定积分的线性性：(1) kf (x)dx k f (x)dx ；(2) f (x) g(x)dx f (x)dxg(x)dx.2 .根本积分公式(略)3 .不定积分的方法1 .拆项积分法：利用不定积分的线性性,将一个复杂的不定积分拆成假设干个根本积分公 式中的积分,从而进行积分.(关键表达在拆项上,例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一

3、项,减一项等都是常用的手段)2 .凑微分法：f (x) (x)dx f (x)d (x) F (x) C.主要用来解决复合函数的积分 确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分要熟练常用的几个凑微分式子：1(1) f (ax b)dx 一 f (ax b)d(ax b) (a 0)； a0)；,i 一, i .、. i , , i ., ., i .、,(2) x f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) (a a(3)f (ln x)dx f(lnx)dlnx; x(4) exf (ex)dxf(ex)dex；一、 f (arctanx),-2-dxf (arctanx)d ar

4、ctanx ;1 x2(6)f (arcsin x)1 x2dxf (arcsin x)d arcsin x; f (sin x) cosxdx f (sinx)dsinx ；(8)f (cosx)sin xdxf (cosx)dcosx；2(9) f (tan x) sec xdx f (tan x) d tan x ;df (x)f(x)ln f(x) C.(10) f (secx) secxtan xdxf (secx) d secx ；f (x)(11) dxf(x)史换元积分法加二！.力男新多用于解决无理函数的积分.要掌握几个常用的固定换元:换几名称被积函数特点具体换元公式换兀目的含

5、有da2 x2x asint二角换兀去根号化含有Vx2a2x atant为有理函含有x atantx a sect数或二角根式换元含有uaxbt v ax b函数有理根式换兀人士 1 ax b含有n cx dt阴式的积分倒代换分母哥次比分子嘉次较高x t降低分母哥次4.分部积分法：u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx或 u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分.关键是掌握好u(x)与v (x)的选取,原那么是v (x)好找原函数,u(x)的导数简单,积分 u(x)v(x)dx积分u(x)v (x)dx容易(至少

6、不难).要掌握以下几种常见类型的分部积分：被积函数类型条件u( x)取作v (x)取作目的哥函数X三角函数正整数次募哥函数三角函数降低哥次哥函数X指数函数正整数次募哥函数指数函数降低哥次哥函数X对数函数实数次哥对数函数哥函数去掉对数函数哥函数X反三角函数实数次哥反三角函数哥函数去掉反三角函数指数函数X三角函数u(x)与v(x)任取,用两次分部积分,出现“打回头四.几类特殊函数的积分例题精讲1,假设 f (x)dx (x 1)e3.设函数f (x),sin x, C,求函数 f (x).解：(此题考核导数与积分的关系.给出不定积分,求被积函数,只需对等式两边求导)xxx对等式两边同日求导,有 f

7、(x) e (x 1)e xe .2.假设函数 f (x)满足 f (tanx 当 x 0时,F(x) f (x)dx ( x)dx - C；2 x) sec2 x ,且 f(0) 1,求函数 f (x).解：(此题也是考核导数与积分的关系.给出导数,求原函数,只需对等式两边求积分.此题要注意积分变量是 tan2 x ,或先将式子f (tan2 x) sec2 x改写为f (x) 1 x ,再两边求积分)对等式两边同时求积分,有2、,2(1 tan x)d tan x22、,22, ,2f (tan x) f (tan x)d tan x sec xd tan x21 .2 . 2 一tan

8、x - (tan x) C.一,-1 2_1 2所以,f (x) Cx 万 x,由 f (0) 1,得 C1 ,于是 f(x) 1 x -x .x 0, 求不定积分f(x)dx.x 0.当 x 0时,F(x)f (x)dx sin xdx cosx C1.解：(这是分段函数求不定积分问题,要注意原函数F (x) f (x)dx.在分界点处应连续)有 F(0 )F(0 ) F(0),有Cx 0,x 0.x所以, f (x)dx一C,21 cosx C, 4.假设f (x)的一个原函数为ln2x ,求不定积分 xf (x)dx.解：(尽管这也是考核原函数概念的题目,但是由于在被积函数中出现了一个函

9、数与f (x)的导数f (x)乘积的形式,因此首先要进行分部积分)由 f(x)的一个原函数为 ln 2 x ,即 f (x)dx ln2 x C,所以 f (x)21n x .是,xf (x)dx xf (x)2f (x)dx 2ln x In x C.5 .设函数F(x)是f(x)在x 0时的一个原函数,满足xxef (x)F(x) 2,且2(1 x)2F(0) 1, F(x) 0.求函数f(x).解：(此题还是考核原函数概念.由于在条件f(x)F(x)xxe一2中同时出现了f (x)2(1 x)2与F(x),为方便都统一于 F (x),然后再积分)由F(x)是f(x)的一个原函数及f (x

10、) F (x)xxe22(1 x)2xxe,有 F(x)F(x) 22(1 x)2对上式两边同时求积分,得F2(x)2F (x)F(x)dxxxe .2 dx2(1 x)1 x ,.xe d( 2由 F(0)x1 xe1 及 F(x)所以,f (x) F (x)(10 ,得 C 0 ,x/2美-)xe2(1 x)3/2 .6.求以下不定积分 (本例都是典型的、常见的凑微分类型,有些题目要经过屡次凑微分)(2)(5)1n xx J ln x(2dx/ x x 4 (e e )dx.4 x2 arcsinx(4)arctan 三1 x2dx ；tan x .dx ；cosx(6)ln tan x

11、, dx.sin xcosxln x解：(1 ),dxx、1 ln x(11ln x)ln x1d(1 ln x)(2)x(e(3)(4)(6).1 Indxx、4e )1/ 2x 773(e 1)11二 / 2x7724(e 1)4x Ie dxd(1 x(e2x 1)4212x/ 2x7-4 d(e(e 1)1_C 6 (e2x 1)3dx4 x2 arcsin 21arctan三1 x2dx1 (x)21arctan 夕,dxx21 G)2arctand arctan-tanxcosxsin xln tanxsin x cosxln x) 2(1lnx)3/23(e： 1)41d (e2

12、x 1) (e2x1)41)2x1 3e12(e2xarcsin 22 . 1 In x C .3 o1)3 Cd arcsin 2arcsing.xln arcsin 21 kG) 1 G)2 x-(arctan-)dx2 Cocosx % cosx3(cosx) 2d cosxC.cosx, ln tanx ,dx -dxtanxcos xln tanx ., dtanx tanx12 .ln tanxdln tanx ln tanx 2C.7.求以下不定积分本例都是有理函数的积分,有理函数的积分不一定都拆成局部分式/ y、x3 1(1)-dx ;x 1(2)x(xdx 1)2 ;(3)d

13、xx8(1x2) 解：此题除了利用局部分式,没有太好的方法.x3 1；dxx3 131n31n11n 3(13x13(2x 1)dx)dx x 1d(x 2)(；)2(x 如1231n(x1)1 arctanv3(x i)-73一2一(x 1)12arctan2?C.R(xn)(2)(此题属于 -dx型,可以凑成R(xn)dxn 型)dxx(x3 1)2dx3x3(x3 1)233(x 1) x(3)(此题由于分母的哥次相对于分子的哥次较高,133/ 3x (xdx3-3x1)2 d(x3F xdx31A因此应当用到代换dtFdxx8 (1 x2己ti7 t-t-dt1 tt arctant)

14、(t6t4t2 1士)dt7x7 5x513x3,1-arctan- C.x8.求以下不定积分(本例都是三角函数有理式的积分,能不用万能代换的,尽量不用万能代换,通常都可以用凑微分求解)sin xcosx , (D -dx ;1 sin x(2)2sin x tan x4 cos xdx ；dx ；sin2x 2 cosx(4)sinx .dx.sinx cosx解：(1)(此题属于f (sin x) cosxdx 型)sin xcosx1 sindxsinx4- sin xdsinx 1 2d sin2 x1 (sin2 x)21., . 2 、-arctan(sin x) C.(2)(此题

15、属于R(sin2x,2cos x,tanx)dx型,可作代换tanx t.也可以直接凑微分)一 2sin xtan x ,4dxcos x(tan2 x2sec xtan x)d tan x3 X 2(tan x tan xtan x)d tan x,4tan x4,一3tan x tan x C.(3)(此题有两个关键点,一是要统一角度,二是要将分母上的两项之和化为一项)dxsin 2x 2cosx 2dxcosx(sin x 1)1z 32(sec x sec xtanx)dx -(secxtanx1 (secxtanx In secx4tanx) 1sec2 x1 sin x .3 dx

16、 cos xIn secx tanx)1 sinx 1C (24 cos x4此题解法很多,下面仅介绍几种有代表型的解法方法一：此题可以通过拆项的方法求解sin x dx 1 (sin x cosx) (sin x cosx)dxsin x cosx 21d(sin x cos x)-Lx 2 sin x cosxsin x cosx方法二伴侣型积分：记11sin xsin x sin x sin xcosxdx cosxcosx , dxcosx两式相加,得In sin x cosx)sin x , dx, sin x cosxdx x C.C.d (sin x cosx)sin xcosx

17、1 secxdsecx2In secx tanx) C.1 sin x一(1 2 sin xcosxsin x cosxdx.cosx、I)dxcosxIn sin x cos x C.sinx , dx sin x cosxI12(xIn sin xcosx) C.方法三：为将分母化为一项,分子、分母同乘cosx2sin x , sin xcosx sin xdx 22sin x cos x cos x sin xsin 2x 1 cos2x , dxcos2x1_ 11. 1_一(1tan 2xsec2x)dx(xIn cos2x222In tan 2x sec2x) C1,.-(x In

18、 sin xcosx) C.方法四：分子、分母同乘2/2 ,通过两角和公式将分母唤为一项,那么sinx , dxsin x cosx1 sin(x2/ 4) cos(x / 4), dxsin(x1 , .-(dx cot(x/4)d(x/4)1 .2(x ln sin x cosx) C.(C/4)11-(x In sin(x /4) C1-1C1 31n 2).方法五：分子、分母同除cosx,然后令ttanx,贝U x arctant ,dxdt1 t2于是sin x , dx sin x cosxtan x , dx1 tan x1 , ,1 一(arctant ln(122t2) ln

19、1 t)tdt 1 (口 _X)dt (1 t)(1 t2)21 t21 t八 1,.、八C (x In sin x cosx) C.x方法k：用万能代换,令 tan u ,那么2sinx ,4udu/ 1dx 2(2sinx cosx (1 u )(1 2u u )1 u1,2、1,八 2 八arctanu -ln(1 u ) -ln 1 2u u C22u1 u21 u 2uj)du12 x一x ln(1 tan2 -) ln122x 2tan2tan2- C.29.求以下不定积分(本例都是无理函数积分,如果能够通过凑微分求解,当然最好；如果不能用凑微分求解,就要设法去根号)(1)x3 v

20、14 x2dx；(3)xdx解：(1)此题属于f(x2)xdx类型,直接凑微分即可,当然也可以用三角代换x 2sint方法一:x3 4 x2dx4 (4 x2) . 4 x2dx24(4 x2)1/2d(4 x2) 1(452 5/2 x )423/2二(4 x )3C.方法二：令 x 2sint ,贝U dx 2cost ,于2 ,cc .x dx 32 sin32t costdt 32/ 4(cos2 、,cos t)d cost32 cos5 t532 cos31 C35(42 )5/2f(4x2)3/2 C.(2)方法一 :x0 时,令 x sect(0 t/2),dxx i x2 1

21、sect tant , dtsect tantdtc arccos- C.x一 dx1x 0时,方法类似,结果为厂_ arccosj C.X、x2 1x方法二：此题也可以通过双曲函数代换到达去根号的目的.当 x 0时,令 x cht (t 0),(当dx ch t , dsh t 厂出Fx、x2 1 ch t 1 sh t方法三：此题特别,作代换 x2 1当x 0时,令Vx2 1 t ,那么xdxtdt 出x、x2 1t(1 t2)1 t2当x 0时,方法类似,令Jx2 1x 0时,方法类似,结果相同)2 arctan(sh t) C arctan. x 1 C.t ,也可以到达去根号的目的.

22、2tdt1 t ,dx 2,1 t2arctan t C arctan . x2 1 C.,那么xv1 t2 ,结果相同dxx x2 1_dt_,1 t2当x 0时,dxx x x2 1dt1 t2arcsin t C,1-arcsin 一 C .x方法四：由于分母上x的哥次比分子上 x的哥次高一些,因此可考虑倒代换,人 1dt令x 7那么dx 干.于是,当x 0时,有八.1 八arcsin t C arcsin 一 C . x(3)此题解法也较多,各种解法的目的都是取根号.方法一：按R(x, n；,a-b-)dx类型作. cx ddx2tdt(1 t2)2于是dt1 t2C.arctan t

23、 2 C arctan1 t2方法二：分子、分母同乘 x,转化为 R(x, Vax2 bx c)dx型xdxx d(x 1/2)dx2 xd(x x2)(1/2)2 (x 1/2)21 2xdxx x212-arcsin(2x 1) x x C.xdx 一 注：转化为. 后,也可以用代换 x. x x21 1sint22求解方法三：令x.2 ,sin t ,贝U dx 2sintcostdt ,arcsin xc 2 ,2 sin t costdt (1 cos 2t)dt costx x2 C.4此题不是常见的典型题,这里出现了复合函数,当时看不到解法时,可以考虑用中间变量作代换进行试解.如

24、该题可考虑的换元有:x2、t Vx、t 1 3x2或t V1 Vx2 ,通过试解,发现第二和第四种换元更好一些.2 一3t dt ,于方法一：不妨设x 0 x 0时也类似令t 次,那么x t3, dxxdxt2)5/2.t5dt31 t23 (1 t22 2_22)22(1 t2) 1)()d(11 t2t2)51I.注：转化为方法二：令txdx2(1 t2)3/23.1 t2CC.、5/232、3/2)2(1 x ), 5 ,3 1出后也可以再作代换 t tanu求解 ,1 t2V1 Vx2 ,那么 xv1(t2 1)3 , dx3t43.3x2)5/210.求以下不定积分c c t 52t

25、33 (t 1)出 3(gT t) C本例都属于分部积分类型C.xcosx(1)-3sin xarcsin x .一,dx；,1 xxln x .()2.3/2 dx ;(1 x )arctan xxeXdx(4)用；(5 ).,x (1 x )e* * x 1(6)1ndeX)dx.解：1此题属于募函数正整数次哥x三角函数类型的积分,要试图先将三角函数凑到微分号后面,即先求出三角函数局部的积分.xcosx ,3 dx sin xxd sin x 1,1, 3二 xdsin x2 sin xdx 1 x)二(cotx)sin x2 sin xC.2此题属于募函数非正整数次哥X对数函数类型的积分

26、,要试图先将备函数凑到微分号后面,微分号外面只留对数函数.xln xZ 23/2(1 x )dx1 ln xd (1 x2) 2(1 x2)3/21ln xln xd.1 x21 x2dxx“1 x2ln x d (1/ x).1 x21 (1/x)2ln x1nLi f CC.ln x ,1. 1 x2ln1 x2 (1 x ) x13此题属于募函数非正整数次哥x反三角函数类型的积分,要试图先将备函数凑到微分号后面,微分号外面只留反三角函数.arcsin x , 八dx 21 xarcsin xd 1 x 2.1 x arcsin x1 ( x)2 xdx2 1 x arcsin . xW

27、2v1 x arcsin 7 x 2Jx C .x4此题也属于募函数非正整数次哥X反三角函数类型的积分,直接将募函数凑到微分号后面有一定困难,可以先单独进行这局部的积分.由于T)dx x1,一 arctan x C,所以 xarctanxx2(1 x(arctanxx(arctanxx-dx ),2 arctan,2 arctanarctan x, .J ,、arctanxd(- arctanx)xx)x)(x(xarctanx)-x2)dx xdx2 xarctanxdarctanxarctan2 x2Iln-212x2xC.5此题属于募函数正整数次哥X指数函数类型的积分,要试图先将指数函数

28、凑到微分号后面.xexdxxd(ex 1)一 ex 12 xd . ex 12(x. ex 1.ex 1dx)对积分 vex 1dx ,令Jexln(1t2) , dx2tdt2 ,1 t2、ei 2 霁22(. ex 1 arctan. ex 1)(1C/2.2(tarctant)xexdxx d2(x 2), e 1 ex 14arctan ex 1)C.6此题比拟特殊,困难在于含有对数函数,这时可以先将对数以外的东西凑到微分号内微分号外只留对数函数,通过分部积分进行试解.ln(1 ex)xeln(1 ex)dxln(1 ex)deln(1 ex)/ 11 a x9 rv)dexeln(1

29、 ex)exdxxxe (1 e )11.求以下不定积分本例又是一种积分类型.积分的即原函数不能用初等函数表示ln(1 ex) C.在这种积分中,其中有一局部是不能进行,这一局部暂时不要管它,先对其它局部进行积分,在积分过程中会产生出不能进行积分的局部的相反的值,从而将那局部抵消掉解：1ln x 1 , 一2一dx；ln2xln x 12dx ln xdxln x(2) e2x(1 tanx)2dx.dx 2 ln xx( )1dx ln x ln x xdx 2 ln xdxdx2, 2In x In x In xxIn xC.(2)e2x(1 tanx) 一 arctanxdxe2x(1 2tanx tan2 x)dx2x,2e (sec x 2tan x)dx2x2x ,e d tan x 2 e tan xdx2 x_ 2x_ 2xe tan x 2 e tan xdx 2 e tan xdx2x , e tan x C.同步练习:/3 3 3 -、(-x4 - x x C )54