热学第二章2012

1、2.3 2.3 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律气体分子速率分布具有规律性气体分子速率分布具有规律性平衡态时平衡态时,大量大量 气体分子速率具有确定的分布规律气体分子速率具有确定的分布规律:如平衡态时如平衡态时,理想理想 气体分子气体分子:个别个别 气体分子速率气体分子速率 0 :vkTm23212 vkTm32 vkTm32 vvrms 分子方均根速率分子方均根速率Root-mean-square speed (rms)1.实验装置实验装置测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏D狭缝狭缝接抽气泵接抽气泵 麦克斯韦分子速率分布定律

2、麦克斯韦分子速率分布定律朗缪尔实验朗缪尔实验 vllHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵2.实验原理实验原理vlt t由于缝有一定的宽度由于缝有一定的宽度vvv l v1 vvv 112 vvv 22 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律分子速率分布图分子速率分布图)/(vNNovvvvSv NNv表示速率在表示速率在 附近单位速率区间的附近单位速率区间的分子数占总数的百分比分子数占总数的百分比 .表示速率在表示速率在 区间的分区间的分子数占总数的百分比子数占总数的百分比 .vvvNNS 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律3.实验结果实验结果分子速

3、率分布图分子速率分布图)/(vNNovvvvS(2).2).实验条件不变下实验条件不变下, ,分布在不同速率区间的分子分布在不同速率区间的分子数相对比值是确定的数相对比值是确定的. .(3). 大量分子的速率分布遵从分子速率分布规律大量分子的速率分布遵从分子速率分布规律.(1). 分布在不同速率区间的分子数分布在不同速率区间的分子数 不同不同. .N 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律2.3.2 . 麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律1. 速率分布函数速率分布函数v NN0v 是速率是速率 的连续函数的连续函数,用用 表示表示.v)(vfvvvvvvdd1lim1l

4、im)(00NNNNNNf分布函数分布函数 表示在温度为表示在温度为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近附近单位单位速率速率区间区间 的分子数占总数的的分子数占总数的百分比百分比概率密度概率密度.v物理意义物理意义Tv)(vfo2 . 麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律 反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律分子数占总分子数的百分比的规律 .（1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。（2）概率密度取极大值时的速率为最概然速率）概率密度取极大值时的速率为最概然速率（也称

5、最可几速率），以（也称最可几速率），以vp表示。表示。 （3）麦克斯韦分布本身是统计平均的结果，它与）麦克斯韦分布本身是统计平均的结果，它与其它的统计平均值一样，也会有涨落，但当粒子数其它的统计平均值一样，也会有涨落，但当粒子数为大数时，其相对均方根偏差是微不足道的。为大数时，其相对均方根偏差是微不足道的。 （4）我们只要记住麦克斯韦速率分布的函数形式，）我们只要记住麦克斯韦速率分布的函数形式，则通过归一化求出系数。则通过归一化求出系数。 （5）利用量纲有助于我们对分布公式的记忆。）利用量纲有助于我们对分布公式的记忆。 说明如下几点：说明如下几点： 三种统计速率三种统计速率pv1 最概然速率最

6、概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT41. 12pvMRTmkT22p vkNRmNMAA,v)(vfopvmaxf 气体在一定温度下分布在最概然气体在一定温度下分布在最概然速率速率 附近单位速率间隔内的相对附近单位速率间隔内的相对分子数最多分子数最多 .（最可几速率）（最可几速率）pv物理意义物理意义NNNNNnniidddd2211vvvvv2 平均速率平均速率vNNfNNN0vvvvvd)(d0mkTf8d)(0vvvvMRTmkT88vv)(vfo3 方均根速率方均根速率2vNNfNNN0vvvvvd)(d2022MRTmkTrms332v mkTvvfvv3d2024 三种统计

7、速率的比较三种统计速率的比较(1) 均正比于均正比于 ,反比于反比于 或或 .TmM(2) 2pvvv 12483 msvKT300 :2 o(3) 三种速率的应用三种速率的应用mkT2pvmkT8vmkT32v速率分布速率分布分子碰撞分子碰撞分子平均平动动动能分子平均平动动动能 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律mkT2pvmkT8vmkT32v 同一温度下不同同一温度下不同气体的速率分布气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo N2 分子在不同温分子在不同温度下的速率分布度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo(4) 麦氏速率分布曲线随麦氏速率分

8、布曲线随T、M的关系的关系 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.pvpvpvpv 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律 例例1 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方

9、均根时，氢气和氧气分子的方均根速率速率 .rmsvC271Hmolkg002. 0M1Omolkg032. 0M11molKJ31. 8RK300TMRT3rmsv13rmssm1093. 1v氢气分子氢气分子1rmssm483v氧气分子氧气分子 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律vvvvpd)(Nf1）pd)(212vvvv Nfm2） 例例 2 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和 . vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速

10、率在 间的分子数间的分子数vvvd 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律 例例 3 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率。上数据求出氢气和氧气的最可几速率。vv )( fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律说明下列各量的物理意义：说明下列各量的

11、物理意义：1.( )f v dv2.( )Nfv dv3.( )nf v dv214 .()vvfvd v215.( )vvNf v dv06 .()fv d v207.()vfv dv思考题解：解： 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数占速率区间内的分子数占总分子数的比率总分子数的比率(概率概率)。 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。 单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。1.( )dNf v dvN2.(

12、 )Nf v dvdN3.( )NdNdNnf v dvVNVNdvdNvf )(2211()()4.( )vNvvNvdNfv dvN 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率。子数的比率。2211()()5.( )vNvvNvNf v dvdN 分布在有限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。内的分子数。06 .()1fv d v 分布在分布在 0 速率区间速率区间内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）归一化条件）2207.( )v f v dvv v2 的平均值。的平均值。2.4 麦克斯韦速

13、度分布麦克斯韦速度分布 P所有分子速度矢量的起始点所有分子速度矢量的起始点都平移到原点都平移到原点O上。上。在平移时，矢量的大小、方在平移时，矢量的大小、方向都不变。向都不变。 平移后，以矢量的箭头端点平移后，以矢量的箭头端点的点来表示这一矢量，而把的点来表示这一矢量，而把矢量符号抹去。矢量符号抹去。 这样的点称为这样的点称为代表点。代表点。2.2.以直角坐标表示的速度空间以直角坐标表示的速度空间 以速度分量以速度分量vx、vy、vz为坐标轴，以从原点向为坐标轴，以从原点向代表点所引矢量来表示分子速度方向和大小的坐代表点所引矢量来表示分子速度方向和大小的坐标系称为速度空间。标系称为速度空间。

14、注意：注意： 速度空间是人们想象中的空间坐标，所描述的速度空间是人们想象中的空间坐标，所描述的不是分子的空间位置，而是速度的大小与方向。不是分子的空间位置，而是速度的大小与方向。 二、速度空间中代表点的分布二、速度空间中代表点的分布 若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形。布图形。 如何来描述速度空间中如何来描述速度空间中分子代表点的分布？分子代表点的分布？ 在三维速度空间中，在在三维速度空间中，在vx 到到vx+dvx，vy 到到vy+dvy

15、，vz 到到vz+dvz区间内区间内,划出一个体积划出一个体积dvxdvydvz的微分元，若此微分元中的代表点的的微分元，若此微分元中的代表点的数目数目dN（vx、vy、vz）zyxzyxzyxvvvNvvvNvvvfddd),(d),(速度空间中小立方体速度空间中小立方体dvxdvydvz中的概率是怎样来求得的中的概率是怎样来求得的?首先求出速度空间中速度分量在首先求出速度空间中速度分量在vx 到到vx+dvx， 为为厚为厚为dvx 无限大平板中的概率无限大平板中的概率:dN（vx）/N = f(vx)dvxdN（vy ）/N = f(vy )dvydN（vz ）/N = f(vz )dvz

16、分子速度分量处于分子速度分量处于vx 到到vx+dvx，vy 到到vy+dvy，vz 到到vz+dvz范围内的概率：范围内的概率：dN（vx、vy、vz）/N = f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvzzzyyxxxxvvfvvfvvfvvfd)(d)(d)(d)( 分子速度的分子速度的x x分量在分量在v vx x 到到v vx x+d+dv vx x内、内、而而v vy y、v vz z任意的概率任意的概率f f（v vx x）d dv vx x ： 2/122/1)2(d)2exp()2(kTmvkTmvkTmxxzzyyvkTmvkTmvkTmvd2exp)2(d2exp22

17、xxxxvkTmvkTmvvfd2exp)2(d)(22/1用定积分公式知上式中两个积分都是用定积分公式知上式中两个积分都是1 1，故，故x 方向速度分量的概率方向速度分量的概率分布曲线如图所示：分布曲线如图所示：xxxxxvkTmvkTmNvNvvfd2exp)2()(dd)(22/1三、麦克斯韦速度分布三、麦克斯韦速度分布zyxzyxzyxzyxvvvkTvvvmkTmvvvvvvfddd2)(exp2ddd(2222/3),iiiivkTmvkTmvvfd2exp2d)(22/1麦克斯韦速度分量分布可以表示麦克斯韦速度分量分布可以表示为为其中其中i i 可分别代表可分别代表x、y、z。平

18、衡态平衡态理想气体分子的速度分布：理想气体分子的速度分布：022/1ddd)2exp()2(tAvvkTmvkTmnxxxtAvvvfnNxxxddd)(0tAvntAmkTndd41dd2例例 求单位时间内碰在单位面积上的总分子数求单位时间内碰在单位面积上的总分子数tvAabczx0y4vndAdtN 单位时间内碰在单位面积器壁上单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数：的平均分子数：一、自由度一、自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例He2OOH23

19、NH2.5 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理xzy),(zyxC 双原子分子双原子分子xzy),(zyxC单原子分子单原子分子平动自由度平动自由度t=33 rti平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=25 rtixzy),(zyxC 三原子分子三原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=36 rti二、能量均分定理二、能量均分定理kTvmw23212 222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 气体分子沿气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的平均平动三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动动能完全相等，可以认

20、为分子的平均平动动能能 均匀分配在每个平动自由度上。均匀分配在每个平动自由度上。kT23平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能自由度的平均动能都是kT21能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理如果气体分子有如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为个自由度，则分子的平均动能为kTik2 注意注意1）各种振动、转动自由度都应是确实对能量均分定理作 全部贡献的自由度。 2）只有在平衡态下才成立。 3）它是对大量分子统计平均所得结果。 4）它不仅适用于理想气体，而且也适用于液体和固体。 5）气体：靠分子间大量无规则的碰撞来实现； 液体

21、、固体：分子间强相互作用来实现。每一个分子的总的平均能量为：每一个分子的总的平均能量为：vrtiikTkTvrt2212)2(，三、理想气体的热容三、理想气体的热容 热容热容C C 定义式定义式 TQTQCTddlim0热容是物体升高或降低单位温度所吸热容是物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量收或放出的热量。（一）热容（一）热容mCCmcC 比比 热热 容：容： 单位质量物体的热容单位质量物体的热容c摩尔热容：摩尔热容：每摩尔物体的热容每摩尔物体的热容mC（二）理想气体热容与理想气体内能（二）理想气体热容与理想气体内能2/3tkT单原子理想气体单原子理想气体只有热运动平动动能，没有势能。只有热运动平动动能，没有势能。每一分子的热运动平均平动动能为每一分子的热运动平均平动动能为理想气体的总动能就是内能理想气体的总动能就是内能U U ，故摩尔内能为故摩尔内能为 U Um m = = N NA A (3/2) (3/2)kTkT = (3/2) = (3/2)RTRTRTUTQCV23ddddm,单原子理想气体的单原子理想气体的定体摩尔热容定体摩尔热容 理想气体的内能理想气体的内能molmM2m iERTMdd